8.2. Ligjet bazë të përdorura në forcën e materialeve

Marrëdhëniet statike. Ato shkruhen në formën e ekuacioneve të ekuilibrit të mëposhtëm.

Ligji i Hukut ( 1678): sa më e madhe të jetë forca, aq më i madh është deformimi dhe, për më tepër, është drejtpërdrejt proporcional me forcën. Fizikisht, kjo do të thotë se të gjithë trupat janë burime, por me ngurtësi të madhe. Kur një tra thjesht shtrihet nga një forcë gjatësore N= F ky ligj mund të shkruhet si:

Këtu
forca gjatësore, l- gjatësia e rrezes, A- sipërfaqja e saj tërthore, E- koeficienti i elasticitetit të llojit të parë ( Moduli i Young).

Duke marrë parasysh formulat për sforcimet dhe sforcimet, ligji i Hooke shkruhet si më poshtë:
.

Një marrëdhënie e ngjashme vërehet në eksperimentet midis sforcimeve tangjenciale dhe këndit të prerjes:

.

G thirrurmoduli i prerjes , më rrallë - moduli elastik i llojit të dytë. Ashtu si çdo ligj, ligji i Hooke gjithashtu ka një kufi zbatueshmërie. Tensioni
, deri në të cilën është i vlefshëm ligji i Hukut, quhet kufiri i proporcionalitetit(kjo është karakteristika më e rëndësishme në forcën e materialeve).

Le të përshkruajmë varësinë  nga  grafikisht (Fig. 8.1). Kjo foto quhet diagrami i shtrirjes . Pas pikës B (d.m.th. në
) kjo varësi pushon së qeni lineare.

Në
pas shkarkimit, në trup shfaqen deformime të mbetura, pra thirrur kufi elastik .

Kur voltazhi arrin vlerën σ = σ t, shumë metale fillojnë të shfaqin një veti të quajtur rrjedhshmëri. Kjo do të thotë që edhe nën ngarkesë të vazhdueshme, materiali vazhdon të deformohet (d.m.th., ai sillet si një lëng). Grafikisht, kjo do të thotë se diagrami është paralel me abshisën (seksioni DL). Tensioni σ t në të cilin rrjedh materiali quhet forca e rendimentit .

Disa materiale (St. 3 - çelik ndërtimi) pas një rrjedhje të shkurtër fillojnë të rezistojnë përsëri. Rezistenca e materialit vazhdon deri në një vlerë maksimale të caktuar σ pr, pastaj fillon shkatërrimi gradual. Sasia σ pr quhet qëndrueshmëria në tërheqje (sinonim për çelikun: qëndrueshmëri në tërheqje, për beton - rezistencë kub ose prizmatik). Përdoren gjithashtu emërtimet e mëposhtme:

=R b

Një marrëdhënie e ngjashme vërehet në eksperimentet midis sforcimeve prerëse dhe prerësve.

3) Ligji Duhamel-Neumann (zgjerimi linear i temperaturës):

Në prani të një ndryshimi të temperaturës, trupat ndryshojnë madhësinë e tyre dhe në proporcion të drejtë me këtë ndryshim të temperaturës.

Le të ketë një ndryshim të temperaturës
. Atëherë ky ligj duket si ky:

Këtu α - koeficienti i zgjerimit termik linear, l - gjatësia e shufrës, Δ l- zgjatjen e saj.

4) Ligji i zvarritjes .

Hulumtimet kanë treguar se të gjitha materialet janë shumë heterogjene në zona të vogla. Struktura skematike e çelikut është paraqitur në Fig. 8.2.

Disa nga komponentët kanë vetitë e një lëngu, kështu që shumë materiale nën ngarkesë marrin zgjatim shtesë me kalimin e kohës
(Fig. 8.3.) (metalet në temperatura të larta, betoni, druri, plastika - në temperatura normale). Ky fenomen quhet zvarriten material.

Ligji për lëngjet është: sa më e madhe të jetë forca, aq më e madhe është shpejtësia e lëvizjes së trupit në lëng. Nëse kjo marrëdhënie është lineare (d.m.th. forca është proporcionale me shpejtësinë), atëherë mund të shkruhet si:

E
Nëse kalojmë në forcat relative dhe zgjatimet relative, marrim

Këtu është indeksi " kr “do të thotë që merret parasysh pjesa e zgjatjes që shkaktohet nga zvarritja e materialit. Karakteristikat mekanike i quajtur koeficienti i viskozitetit.

Ligji i ruajtjes së energjisë.

Konsideroni një rreze të ngarkuar

Le të prezantojmë konceptin e lëvizjes së një pike, për shembull,

- lëvizja vertikale e pikës B;

- zhvendosja horizontale e pikës C.

Fuqitë
duke bërë disa punë U. Duke pasur parasysh se forcat
fillojnë të rriten gradualisht dhe duke supozuar se rriten në raport me zhvendosjet, marrim:

.

Sipas ligjit të ruajtjes: asnjë punë nuk zhduket, harxhohet për të bërë punë tjetër ose kthehet në një energji tjetër (energji- kjo është puna që mund të bëjë trupi.).

Puna e forcave
, shpenzohet për të kapërcyer rezistencën e forcave elastike që lindin në trupin tonë. Për të llogaritur këtë punë, marrim parasysh se trupi mund të konsiderohet se përbëhet nga grimca të vogla elastike. Le të shqyrtojmë një prej tyre:

Është subjekt i tensionit nga grimcat fqinje . Stresi rezultues do të jetë

Nën ndikimin grimca do të zgjatet. Sipas përkufizimit, zgjatimi është zgjatimi për njësi gjatësi. Pastaj:

Le të llogarisim punën dW, të cilën e bën forca dN (këtu merret parasysh edhe se forcat dN fillojnë të rriten gradualisht dhe rriten proporcionalisht me lëvizjet):

Për të gjithë trupin marrim:

.

Punë W e cila u krye , thirri energjia e deformimit elastik.

Sipas ligjit të ruajtjes së energjisë:

6)Parimi lëvizjet e mundshme .

Ky është një nga opsionet për të shkruar ligjin e ruajtjes së energjisë.

Lërini forcat të veprojnë në rreze F 1 , F 2 , … . Ata bëjnë që pikat të lëvizin në trup
dhe tensionit
. Le të japim trupin lëvizje të vogla të mundshme shtesë
. Në mekanikë, një shënim i formës
nënkupton shprehjen “vlera e mundshme e sasisë A" Këto lëvizje të mundshme do të shkaktojnë trupin deformime të mundshme shtesë
. Ato do të çojnë në shfaqjen e forcave dhe streseve shtesë të jashtme
, δ.

Le të llogarisim punën e forcave të jashtme në zhvendosje të vogla të mundshme shtesë:

Këtu
- lëvizjet shtesë të atyre pikave në të cilat zbatohen forcat F 1 , F 2 , …

Konsideroni përsëri një element të vogël me një seksion kryq dA dhe gjatësia dz (shih Fig. 8.5. dhe 8.6.). Sipas përkufizimit, zgjatim shtesë  dz i këtij elementi llogaritet me formulën:

dz=  dz.

Forca tërheqëse e elementit do të jetë:

dN = (+δ) dA ≈  dA..

Puna e forcave të brendshme në zhvendosjet shtesë llogaritet për një element të vogël si më poshtë:

dW = dN  dz = dA dz =  dV

ME
Duke përmbledhur energjinë e deformimit të të gjithë elementëve të vegjël, marrim energjinë totale të deformimit:

Ligji i ruajtjes së energjisë W = U jep:

.

Ky raport quhet parimi i lëvizjeve të mundshme(quhet edhe parimi i lëvizjeve virtuale). Në mënyrë të ngjashme, mund të shqyrtojmë rastin kur veprojnë edhe sforcimet tangjenciale. Atëherë ne mund ta marrim atë në energjinë e deformimit W termi i mëposhtëm do të shtohet:

Këtu  është sforcimi i prerjes,  është zhvendosja e elementit të vogël. Pastaj parimi i lëvizjeve të mundshme do të marrë formën:

Ndryshe nga forma e mëparshme e shkrimit të ligjit të ruajtjes së energjisë, këtu nuk supozohet se forcat fillojnë të rriten gradualisht dhe ato rriten në raport me zhvendosjet.

7) Efekti Poisson.

Le të shqyrtojmë modelin e zgjatjes së mostrës:

Dukuria e shkurtimit të një elementi të trupit në drejtim të zgjatjes quhet Efekti Poisson.

Le të gjejmë deformimin relativ gjatësor.

Deformimi relativ tërthor do të jetë:

raporti i Poisson-it sasia quhet:

Për materialet izotropike (çeliku, gize, betoni) raporti Poisson

Kjo do të thotë se në drejtim tërthor deformimi më pak gjatësore

shënim : teknologjitë moderne mund të krijojnë materiale të përbëra me raport Poisson >1, pra deformimi tërthor do të jetë më i madh se ai gjatësor. Për shembull, ky është rasti për një material të përforcuar me fibra të ngurtë në një kënd të ulët
<<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине
, d.m.th. aq më pak , aq më i madh është raporti i Poisson-it.

Fig.8.8. Fig.8.9

Edhe më befasues është materiali i paraqitur në (Fig. 8.9.), dhe për një përforcim të tillë ka një rezultat paradoksal - zgjatja gjatësore çon në një rritje të madhësisë së trupit në drejtim tërthor.

8) Ligji i përgjithësuar i Hukut.

Le të shqyrtojmë një element që shtrihet në drejtimet gjatësore dhe tërthore. Le të gjejmë deformimin që ndodh në këto drejtime.

Le të llogarisim deformimin , që rrjedhin nga veprimi :

Le të shqyrtojmë deformimin nga veprimi , e cila lind si rezultat i efektit Poisson:

Deformimi i përgjithshëm do të jetë:

Nëse është e vlefshme dhe , atëherë do të shtohet një shkurtim tjetër në drejtim të boshtit x
.

Prandaj:

Po kështu:

Këto marrëdhënie quhen përgjithësoi ligjin e Hukut.

Është interesante se kur shkruhet ligji i Hukut, bëhet një supozim për pavarësinë e sforcimeve të zgjatjes nga sforcimet prerëse (rreth pavarësisë nga sforcimet prerëse, që është e njëjta gjë) dhe anasjelltas. Eksperimentet vërtetojnë mirë këto supozime. Duke parë përpara, vërejmë se forca, përkundrazi, varet fuqishëm nga kombinimi i streseve tangjenciale dhe normale.

Shënim: Ligjet dhe supozimet e mësipërme konfirmohen nga eksperimente të shumta direkte dhe indirekte, por, si të gjitha ligjet e tjera, ato kanë një shtrirje të kufizuar zbatueshmërie.

Siç e dini, fizika studion të gjitha ligjet e natyrës: nga më të thjeshtat deri te parimet më të përgjithshme të shkencës natyrore. Edhe në ato fusha ku duket se fizika nuk është në gjendje të kuptojë, ajo ende luan një rol parësor, dhe çdo ligji më i vogël, çdo parim - asgjë nuk i shpëton.

Në kontakt me

Është fizika ajo që është baza e themeleve; është kjo që qëndron në origjinën e të gjitha shkencave.

Fizika studion ndërveprimin e të gjithë trupave, si paradoksalisht i vogël dhe tepër i madh. Fizika moderne po studion në mënyrë aktive jo vetëm trupa të vegjël, por hipotetikë, madje kjo hedh dritë mbi thelbin e universit.

Fizika është e ndarë në seksione, kjo thjeshton jo vetëm vetë shkencën dhe kuptimin e saj, por edhe metodologjinë e studimit. Mekanika merret me lëvizjen e trupave dhe bashkëveprimin e trupave në lëvizje, termodinamika merret me proceset termike, elektrodinamika merret me proceset elektrike.

Pse mekanika duhet të studiojë deformimin?

Kur flisni për ngjeshjen ose tensionin, duhet t'i bëni vetes pyetjen: cila degë e fizikës duhet ta studiojë këtë proces? Me shtrembërime të forta, nxehtësia mund të lirohet, ndoshta termodinamika duhet të merret me këto procese? Ndonjëherë kur lëngjet janë të ngjeshur, ai fillon të vlojë, dhe kur gazrat janë të ngjeshur, formohen lëngje? Pra, a duhet hidrodinamika të kuptojë deformimin? Apo teoria kinetike molekulare?

Gjithçka varet mbi forcën e deformimit, në shkallën e tij. Nëse mediumi i deformueshëm (materiali i ngjeshur ose i shtrirë) lejon, dhe ngjeshja është e vogël, ka kuptim ta konsiderojmë këtë proces si lëvizje të disa pikave të trupit në krahasim me të tjerat.

Dhe meqenëse pyetja është thjesht e lidhur, do të thotë se mekanika do të merret me të.

Ligji i Hukut dhe kushti për përmbushjen e tij

Në vitin 1660, shkencëtari i famshëm anglez Robert Hooke zbuloi një fenomen që mund të përdoret për të përshkruar mekanikisht procesin e deformimit.

Për të kuptuar se në çfarë kushtesh përmbushet ligji i Hukut, Le të kufizohemi në dy parametra:

• e mërkurë;
• forcë.

Ka media (për shembull, gaze, lëngje, veçanërisht lëngje viskoze afër gjendjeve të ngurta ose, anasjelltas, lëngje shumë të lëngshme) për të cilat është e pamundur të përshkruhet mekanikisht procesi. Anasjelltas, ka mjedise në të cilat, me forca mjaft të mëdha, mekanika nuk "punon".

E rëndësishme! Në pyetjen: "Në cilat kushte është i vërtetë ligji i Hooke?", mund të jepet një përgjigje e prerë: "Në deformime të vogla".

Ligji i Hukut, përkufizimi: Deformimi që ndodh në një trup është drejtpërdrejt proporcional me forcën që shkakton atë deformim.

Natyrisht, ky përkufizim nënkupton që:

• ngjeshja ose shtrirja është e vogël;
• objekt elastik;
• ai përbëhet nga një material në të cilin nuk ka procese jolineare si rezultat i ngjeshjes ose tensionit.

Ligji i Hukut në formë matematikore

Formulimi i Hooke, të cilin e cituam më lart, bën të mundur shkrimin e tij në formën e mëposhtme:

ku është ndryshimi i gjatësisë së trupit për shkak të ngjeshjes ose shtrirjes, F është forca që aplikohet në trup dhe shkakton deformim (forca elastike), k është koeficienti i elasticitetit, i matur në N/m.

Duhet mbajtur mend se ligji i Hukut e vlefshme vetëm për shtrirje të vogla.

Vëmë re gjithashtu se ka të njëjtën pamje kur shtrihet dhe kompresohet. Duke marrë parasysh që forca është një sasi vektoriale dhe ka një drejtim, atëherë në rastin e ngjeshjes, formula e mëposhtme do të jetë më e saktë:

Por përsëri, gjithçka varet nga ajo se ku do të drejtohet boshti në lidhje me të cilin po matni.

Cili është ndryshimi themelor midis ngjeshjes dhe zgjatjes? Asgjë nëse është e parëndësishme.

Shkalla e zbatueshmërisë mund të konsiderohet si më poshtë:

Le t'i kushtojmë vëmendje grafikut. Siç mund ta shohim, me shtrirje të vogla (çereku i parë i koordinatave), për një kohë të gjatë forca me koordinatat ka një marrëdhënie lineare (vijë e kuqe), por më pas marrëdhënia reale (vija me pika) bëhet jolineare, dhe ligji pushon së qeni i vërtetë. Në praktikë, kjo reflektohet nga një shtrirje kaq e fortë sa pranvera ndalon të kthehet në pozicionin e saj origjinal dhe humbet vetitë e saj. Me shtrirje edhe më shumë ndodh një frakturë dhe struktura shembet material.

Me ngjeshje të vogla (çereku i tretë i koordinatave), për një kohë të gjatë forca me koordinatën gjithashtu ka një marrëdhënie lineare (vija e kuqe), por më pas marrëdhënia reale (vija me pika) bëhet jolineare dhe gjithçka pushon së punuari përsëri. Në praktikë, kjo rezulton në një ngjeshje kaq të fortë sa nxehtësia fillon të lëshohet dhe pranvera humbet vetitë e saj. Me një ngjeshje edhe më të madhe, mbështjelljet e sustës "ngjiten" dhe ajo fillon të deformohet vertikalisht dhe më pas shkrihet plotësisht.

Siç mund ta shihni, formula që shpreh ligjin ju lejon të gjeni forcën, duke ditur ndryshimin në gjatësinë e trupit, ose, duke ditur forcën elastike, të matni ndryshimin në gjatësi:

Gjithashtu, në disa raste, mund të gjeni koeficientin e elasticitetit. Për të kuptuar se si bëhet kjo, merrni parasysh një detyrë shembull:

Një dinamometër është i lidhur me burimin. Ajo u shtri duke ushtruar një forcë prej 20, për shkak të së cilës u bë e gjatë 1 metër. Më pas e lëshuan, pritën derisa të pushonin dridhjet dhe ajo u kthye në gjendjen e saj normale. Në gjendje normale, gjatësia e saj ishte 87.5 centimetra. Le të përpiqemi të zbulojmë se nga çfarë materiali është bërë pranvera.

Le të gjejmë vlerën numerike të deformimit të sustës:

Nga këtu mund të shprehim vlerën e koeficientit:

Duke parë tabelën, mund të zbulojmë se ky tregues korrespondon me çelikun e pranverës.

Probleme me koeficientin e elasticitetit

Fizika, siç e dimë, është një shkencë shumë precize, për më tepër, është aq e saktë sa ka krijuar shkenca të tëra të aplikuara që matin gabimet. Një model i saktësisë së palëkundur, ajo nuk mund të përballojë të jetë e ngathët.

Praktika tregon se varësia lineare që shqyrtuam nuk është asgjë më shumë se Ligji i Hukut për një shufër të hollë dhe tërheqëse. Vetëm si përjashtim mund të përdoret për susta, por edhe kjo është e padëshirueshme.

Rezulton se koeficienti k është një vlerë e ndryshueshme që varet jo vetëm nga materiali nga i cili është bërë trupi, por edhe nga diametri dhe dimensionet e tij lineare.

Për këtë arsye, konkluzionet tona kërkojnë sqarim dhe zhvillim, sepse në të kundërt, formula:

nuk mund të quhet asgjë më shumë se një varësi midis tre variablave.

Moduli i Young

Le të përpiqemi të kuptojmë koeficientin e elasticitetit. Ky parametër, siç zbuluam, varet nga tre sasi:

• materiali (që na përshtatet mjaft mirë);
• gjatësia L (që tregon varësinë e saj);
• zona S.

E rëndësishme! Kështu, nëse arrijmë të "ndajmë" disi gjatësinë L dhe sipërfaqen S nga koeficienti, atëherë do të marrim një koeficient që varet plotësisht nga materiali.

Ajo që dimë:

• sa më e madhe të jetë zona e prerjes tërthore të trupit, aq më i madh është koeficienti k, dhe varësia është lineare;
• sa më e madhe të jetë gjatësia e trupit, aq më i ulët është koeficienti k dhe varësia është në përpjesëtim të zhdrejtë.

Kjo do të thotë që ne mund të shkruajmë koeficientin e elasticitetit në këtë mënyrë:

ku E është një koeficient i ri, i cili tani varet saktësisht vetëm nga lloji i materialit.

Le të prezantojmë konceptin e "zgjatjes relative":

. 

konkluzioni

Le të formulojmë ligjin e Hukut për tensionin dhe ngjeshjen: Për ngjeshjet e vogla, stresi normal është drejtpërdrejt proporcional me zgjatjen.

Koeficienti E quhet moduli i Young dhe varet vetëm nga materiali.

Vëzhgimet tregojnë se për shumicën e trupave elastikë, si çeliku, bronzi, druri, etj., madhësia e deformimeve është në përpjesëtim me madhësinë e forcave që veprojnë. Një shembull tipik që shpjegon këtë veti është një bilanc sustë, në të cilin zgjatja e sustës është proporcionale me forcën vepruese. Kjo mund të shihet nga fakti se shkalla e ndarjes së shkallëve të tilla është uniforme. Si veti e përgjithshme e trupave elastikë, ligji i proporcionalitetit ndërmjet forcës dhe deformimit u formulua për herë të parë nga R. Hooke në vitin 1660 dhe u botua në vitin 1678 në veprën “De potentia restitutiva”. Në formulimin modern të këtij ligji nuk merren parasysh forcat dhe lëvizjet e pikave të zbatimit të tyre, por stresi dhe deformimi.

Kështu, për tension të pastër supozohet:

Këtu është zgjatja relative e çdo segmenti të marrë në drejtimin e shtrirjes. Për shembull, nëse brinjët e paraqitura në Fig. 11 prizmat para aplikimit të ngarkesës ishin a, b dhe c, siç tregohet në vizatim, dhe pas deformimit ato do të jenë përkatësisht, atëherë .

Konstanta E, e cila ka dimensionin e sforcimit, quhet moduli elastik, ose moduli i Young.

Tensioni i elementeve paralel me sforcimet që veprojnë o shoqërohet me një tkurrje të elementeve pingul, domethënë një ulje të përmasave tërthore të shufrës (dimensionet në vizatim). Sforcim relativ tërthor

do të jetë një vlerë negative. Rezulton se deformimet gjatësore dhe tërthore në një trup elastik lidhen me një raport konstant:

Sasia pa dimension v, konstante për çdo material, quhet raporti i ngjeshjes anësore ose raporti i Poisson-it. Vetë Poisson, duke u nisur nga konsideratat teorike që më vonë doli të ishin të pasakta, besonte se për të gjitha materialet (1829). Në fakt, vlerat e këtij koeficienti janë të ndryshme. Po, për çelikun

Duke zëvendësuar shprehjen në formulën e fundit marrim:

Ligji i Hukut nuk është një ligj i saktë. Për çelikun, devijimet nga proporcionaliteti ndërmjet tyre janë të parëndësishme, ndërsa gize ose gdhendje në mënyrë të qartë nuk i binden këtij ligji. Për ta, dhe mund të përafrohet me një funksion linear vetëm në përafrimin më të përafërt.

Për një kohë të gjatë, forca e materialeve kishte të bënte vetëm me materialet që i binden ligjit të Hukut, dhe aplikimi i formulave të forcës së materialeve në trupa të tjerë mund të bëhej vetëm me rezervë të madhe. Aktualisht, ligjet jolineare të elasticitetit kanë filluar të studiohen dhe zbatohen për zgjidhjen e problemeve specifike.

Ligji i Hukut zakonisht quhen marrëdhënie lineare ndërmjet komponentëve të sforcimit dhe komponentëve të sforcimit.

Le të marrim një paralelopiped drejtkëndor elementar me faqe paralele me boshtet koordinative, të ngarkuar me stres normal σ x, të shpërndara në mënyrë të barabartë në dy faqe të kundërta (Fig. 1). ku σy = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.

Deri në kufirin e proporcionalitetit, zgjatja relative jepet me formulë

Ku E- moduli tërheqës i elasticitetit. Për çelikun E = 2*10 5 MPa, pra, deformimet janë shumë të vogla dhe maten në përqindje ose 1 * 10 5 (në pajisjet e sforcimit që matin deformimet).

Zgjerimi i një elementi në drejtim të boshtit X shoqëruar me ngushtimin e tij në drejtim tërthor, të përcaktuar nga komponentët e deformimit

Ku μ - një konstante e quajtur raporti i ngjeshjes anësore ose raporti i Poisson-it. Për çelikun μ zakonisht merret të jetë 0.25-0.3.

Nëse elementi në fjalë ngarkohet njëkohësisht me sforcime normale σx, σy, σ z, shpërndahet në mënyrë të barabartë përgjatë faqeve të saj, pastaj shtohen deformimet

Duke mbivendosur komponentët e deformimit të shkaktuar nga secili prej tre sforcimeve, marrim relacionet

Këto marrëdhënie konfirmohen nga eksperimente të shumta. Aplikuar metoda e mbivendosjes ose mbivendosjet gjetja e sforcimeve dhe sforcimeve totale të shkaktuara nga disa forca është e ligjshme për sa kohë që sforcimet dhe sforcimet janë të vogla dhe varen në mënyrë lineare nga forcat e aplikuara. Në raste të tilla, ne neglizhojmë ndryshimet e vogla në përmasat e trupit të deformuar dhe lëvizjet e vogla të pikave të zbatimit të forcave të jashtme dhe llogaritjet i bazojmë në përmasat fillestare dhe formën fillestare të trupit.

Duhet të theksohet se vogëlsia e zhvendosjeve nuk do të thotë domosdoshmërisht se marrëdhëniet ndërmjet forcave dhe deformimeve janë lineare. Kështu, për shembull, në një forcë të ngjeshur P shufra e ngarkuar shtesë me forcë prerëse R, edhe me devijim të vogël δ lind një pikë shtesë M = Qδ, gjë që e bën problemin jolinear. Në raste të tilla, devijimet totale nuk janë funksione lineare të forcave dhe nuk mund të përftohen me mbivendosje të thjeshtë.

Eksperimentalisht është vërtetuar se nëse sforcimet prerëse veprojnë përgjatë të gjitha faqeve të elementit, atëherë shtrembërimi i këndit përkatës varet vetëm nga përbërësit përkatës të stresit prerës.

Konstante G quhet moduli prerës i elasticitetit ose moduli i prerjes.

Rasti i përgjithshëm i deformimit të një elementi për shkak të veprimit të tre komponentëve normalë dhe tre komponentëve të stresit tangjencial mbi të mund të merret duke përdorur mbivendosje: tre deformime prerëse, të përcaktuara nga relacionet (5.2b), mbivendosen në tre deformime lineare të përcaktuara nga shprehjet ( 5.2a). Ekuacionet (5.2a) dhe (5.2b) përcaktojnë marrëdhënien ndërmjet përbërësve të sforcimeve dhe sforcimeve dhe quhen përgjithësoi ligjin e Hukut. Le të tregojmë tani se moduli i prerjes G e shprehur në termat e modulit të elasticitetit në tërheqje E dhe raporti i Poisson-it μ . Për ta bërë këtë, merrni parasysh rastin e veçantë kur σ x = σ , σy = -σ Dhe σ z = 0.

Le të presim elementin abcd plane paralele me boshtin z dhe të prirur në një kënd prej 45° ndaj boshteve X Dhe në(Fig. 3). Siç vijon nga kushtet e ekuilibrit të elementit 0 bs, stresi normal σ v në të gjitha anët e elementit abcd janë të barabarta me zero, dhe sforcimet prerëse janë të barabarta

Kjo gjendje tensioni quhet qethje e pastër. Nga ekuacionet (5.2a) rezulton se

pra shtrirja e elementit horizontal është 0 c e barabartë me shkurtimin e elementit vertikal 0 b: εy = -εx.

Këndi midis fytyrave ab Dhe para Krishtit ndryshon dhe vlera përkatëse e sforcimit të prerjes γ mund të gjendet nga trekëndëshi 0 bs:

Nga kjo rrjedh se

Veprimi i forcave të jashtme në një trup të ngurtë çon në shfaqjen e sforcimeve dhe deformimeve në pikat e vëllimit të tij. Në këtë rast, gjendja e stresuar në një pikë, marrëdhënia midis sforcimeve në zona të ndryshme që kalojnë nëpër këtë pikë, përcaktohen nga ekuacionet e statikës dhe nuk varen nga vetitë fizike të materialit. Gjendja e deformuar, marrëdhënia midis zhvendosjeve dhe deformimeve, vendosen duke përdorur konsiderata gjeometrike ose kinematike dhe gjithashtu nuk varen nga vetitë e materialit. Për të vendosur një marrëdhënie midis sforcimeve dhe sforcimeve, është e nevojshme të merren parasysh vetitë aktuale të materialit dhe kushtet e ngarkimit. Modelet matematikore që përshkruajnë marrëdhëniet midis sforcimeve dhe sforcimeve janë zhvilluar bazuar në të dhënat eksperimentale. Këto modele duhet të pasqyrojnë vetitë aktuale të materialeve dhe kushtet e ngarkimit me një shkallë të mjaftueshme saktësie.

Modelet më të zakonshme për materialet strukturore janë elasticiteti dhe plasticiteti. Elasticiteti është vetia e një trupi që të ndryshojë formën dhe madhësinë nën ndikimin e ngarkesave të jashtme dhe të rivendosë konfigurimin e tij origjinal kur ngarkesa hiqet. Matematikisht, vetia e elasticitetit shprehet në vendosjen e një marrëdhënie funksionale një-me-një midis përbërësve të tensorit të stresit dhe tensorit të sforcimit. Vetia e elasticitetit pasqyron jo vetëm vetitë e materialeve, por edhe kushtet e ngarkimit. Për shumicën e materialeve strukturore, vetia e elasticitetit manifestohet në vlera të moderuara të forcave të jashtme që çojnë në deformime të vogla dhe në shkallë të ulët ngarkimi, kur humbjet e energjisë për shkak të efekteve të temperaturës janë të papërfillshme. Një material quhet linearisht elastik nëse përbërësit e tensorit të tensionit dhe tensorit të sforcimit lidhen me marrëdhënie lineare.

Në nivele të larta ngarkimi, kur ndodhin deformime të rëndësishme në trup, materiali humbet pjesërisht vetitë e tij elastike: kur shkarkohet, dimensionet dhe forma e tij origjinale nuk restaurohen plotësisht, dhe kur ngarkesat e jashtme hiqen plotësisht, regjistrohen deformimet e mbetura. Në këtë rast marrëdhënia midis sforcimeve dhe sforcimeve pushon së qeni e paqartë. Kjo veti materiale quhet plasticitet. Deformimet e mbetura të grumbulluara gjatë deformimit plastik quhen plastikë.

Nivelet e larta të ngarkesës mund të shkaktojnë shkatërrimi, pra ndarja e trupit në pjesë. Lëndët e ngurta të bëra nga materiale të ndryshme dështojnë në sasi të ndryshme deformimi. Thyerja është e brishtë në deformime të vogla dhe ndodh, si rregull, pa deformime të dukshme plastike. Një shkatërrim i tillë është tipik për gize, çeliqe të aliazhuara, beton, qelq, qeramikë dhe disa materiale të tjera strukturore. Çeliqet me karbon të ulët, metalet me ngjyra dhe plastika karakterizohen nga një lloj defekti plastik në prani të deformimeve të rëndësishme të mbetura. Sidoqoftë, ndarja e materialeve në të brishtë dhe duktile sipas natyrës së shkatërrimit të tyre është shumë arbitrare; zakonisht i referohet disa kushteve standarde të funksionimit. I njëjti material mund të sillet, në varësi të kushteve (temperatura, natyra e ngarkesës, teknologjia e prodhimit, etj.) si i brishtë ose i urtë. Për shembull, materialet që janë plastike në temperatura normale shpërbëhen si të brishtë në temperatura të ulëta. Prandaj, është më e saktë të mos flasim për materiale të brishta dhe plastike, por për gjendjen e brishtë ose plastike të materialit.

Lëreni materialin të jetë linearisht elastik dhe izotrop. Le të shqyrtojmë një vëllim elementar në kushtet e një gjendje stresi njëaksial (Fig. 1), në mënyrë që tensori i stresit të ketë formën

Me një ngarkesë të tillë, dimensionet rriten në drejtim të boshtit Oh, karakterizohet nga deformim linear, i cili është në përpjesëtim me madhësinë e stresit

Fig.1. Gjendja e stresit njëaksial

Kjo lidhje është një shënim matematikor Ligji i Hukut duke vendosur një marrëdhënie proporcionale midis stresit dhe deformimit linear përkatës në një gjendje stresi njëaksial. Koeficienti i proporcionalitetit E quhet moduli gjatësor i elasticitetit ose moduli i Young. Ka dimensionin e stresit.

Së bashku me rritjen e madhësisë në drejtim të veprimit; Nën të njëjtin stres, një rënie në madhësi ndodh në dy drejtime ortogonale (Fig. 1). Deformimet përkatëse i shënojmë me dhe , dhe këto deformime janë negative ndërsa pozitive dhe janë proporcionale me:

Me veprimin e njëkohshëm të sforcimeve përgjatë tre akseve ortogonale, kur nuk ka sforcime tangjenciale, parimi i mbivendosjes (mbivendosjes së zgjidhjeve) vlen për një material linearisht elastik:

Duke marrë parasysh formulat (1 4) marrim

Sforcimet tangjenciale shkaktojnë deformime këndore, dhe në deformime të vogla nuk ndikojnë në ndryshimin e dimensioneve lineare, pra deformime lineare. Prandaj, ato vlejnë edhe në rastin e një gjendje stresi arbitrar dhe shprehin të ashtuquajturat përgjithësoi ligjin e Hukut.

Deformimi këndor shkaktohet nga sforcimi tangjencial, dhe deformimi dhe, përkatësisht, nga sforcimet dhe. Ekzistojnë marrëdhënie proporcionale midis sforcimeve përkatëse tangjenciale dhe deformimeve këndore për një trup izotropik linear elastik

të cilat shprehin ligjin Qethja e Hukut. Faktori i proporcionalitetit G quhet modul prerës.Është e rëndësishme që sforcimi normal të mos ndikojë në deformimet këndore, pasi në këtë rast ndryshojnë vetëm dimensionet lineare të segmenteve dhe jo këndet ndërmjet tyre (Fig. 1).

Ekziston gjithashtu një marrëdhënie lineare midis stresit mesatar (2.18), proporcional me invariantin e parë të tensorit të stresit dhe sforcimit vëllimor (2.32), që përkon me invariantin e parë të tensorit të sforcimit:

Faktori përkatës i proporcionalitetit TE thirrur moduli vëllimor i elasticitetit.

Formulat (1 7) përfshijnë karakteristikat elastike të materialit E, , G Dhe TE, përcaktimi i vetive elastike të tij. Megjithatë, këto karakteristika nuk janë të pavarura. Për një material izotropik, ekzistojnë dy karakteristika elastike të pavarura, të cilat zakonisht zgjidhen si modul elastik E dhe raporti i Poisson-it. Për të shprehur modulin e prerjes G përmes E Dhe , Le të shqyrtojmë deformimin e prerjes së rrafshët nën veprimin e sforcimeve tangjenciale (Fig. 2). Për të thjeshtuar llogaritjet, ne përdorim një element katror me një anë A. Le të llogarisim sforcimet kryesore , . Këto strese veprojnë në zonat e vendosura në një kënd me zonat origjinale. Nga Fig. 2 do të gjejmë marrëdhënien ndërmjet deformimit linear në drejtim të sforcimit dhe deformimit këndor . Diagonalja kryesore e rombit, që karakterizon deformimin, është e barabartë me

Për deformime të vogla

Duke marrë parasysh këto marrëdhënie

Para deformimit, kjo diagonale kishte madhësinë . Atëherë do të kemi

Nga ligji i përgjithësuar i Hukut (5) marrim

Krahasimi i formulës që rezulton me shënimin e ligjit të Hukut për zhvendosjen (6) jep

Si rezultat marrim

Duke e krahasuar këtë shprehje me ligjin vëllimor të Hukut (7), arrijmë në rezultat

Karakteristikat mekanike E, , G Dhe TE gjenden pas përpunimit të të dhënave eksperimentale nga mostrat e testimit nën lloje të ndryshme ngarkesash. Nga pikëpamja fizike, të gjitha këto karakteristika nuk mund të jenë negative. Përveç kësaj, nga shprehja e fundit rezulton se raporti i Poisson-it për një material izotropik nuk kalon 1/2. Kështu, marrim kufizimet e mëposhtme për konstantet elastike të një materiali izotropik:

Vlera kufi çon në vlerën kufi , që i përgjigjet një materiali të pangjeshur (at). Si përfundim, nga marrëdhëniet e elasticitetit (5) shprehim stresin në terma të deformimit. Le të shkruajmë të parën e marrëdhënieve (5) në formën

Duke përdorur barazinë (9) do të kemi

Marrëdhënie të ngjashme mund të nxirren për dhe . Si rezultat marrim

Këtu përdorim relacionin (8) për modulin e prerjes. Përveç kësaj, emërtimi

ENERGJIA POTENCIALE E DEFORMIMIT ELASTIK

Le të shqyrtojmë së pari vëllimin elementar dV=dxdydz në kushte stresi njëaksial (Fig. 1). Rregulloni mendërisht faqen x=0(Fig. 3). Një forcë vepron në sipërfaqen e kundërt . Kjo forcë funksionon në zhvendosje . Kur tensioni rritet nga niveli zero në vlerë deformimi përkatës për shkak të ligjit të Hukut rritet gjithashtu nga zero në vlerë , dhe puna është proporcionale me figurën e hijezuar në Fig. 4 katrorë: . Nëse neglizhojmë energjinë kinetike dhe humbjet që lidhen me dukuritë termike, elektromagnetike dhe të tjera, atëherë, për shkak të ligjit të ruajtjes së energjisë, puna e kryer do të kthehet në energji potenciale, akumuluar gjatë deformimit: . Vlera Ф= dU/dV thirrur energjia specifike potenciale e deformimit, që ka kuptimin e energjisë potenciale të akumuluar në një njësi vëllimi të një trupi. Në rastin e gjendjes së stresit njëaksial