8.2. Leis básicas usadas na resistência dos materiais

Relações estáticas. Eles são escritos na forma das seguintes equações de equilíbrio.

Lei de Hooke ( 1678): quanto maior a força, maior a deformação e, além disso, é diretamente proporcional à força. Fisicamente, isso significa que todos os corpos são molas, mas com grande rigidez. Quando uma viga é simplesmente esticada por uma força longitudinal N= F esta lei pode ser escrita como:

Aqui
força longitudinal, eu- comprimento do feixe, A- sua área transversal, E- coeficiente de elasticidade do primeiro tipo ( Módulo de Young).

Levando em consideração as fórmulas para tensões e deformações, a lei de Hooke é escrita da seguinte forma:
.

Uma relação semelhante é observada em experimentos entre tensões tangenciais e ângulo de cisalhamento:

.

G chamadomódulo de cisalhamento , menos frequentemente – módulo elástico do segundo tipo. Como qualquer lei, a lei de Hooke também tem um limite de aplicabilidade. Tensão
, até o qual a lei de Hooke é válida, é chamado limite de proporcionalidade(esta é a característica mais importante na resistência dos materiais).

Vamos descrever a dependência  de  graficamente (Fig. 8.1). Esta imagem é chamada diagrama de estiramento . Após o ponto B (ou seja, em
) esta dependência deixa de ser linear.

No
após a descarga, aparecem deformações residuais no corpo, portanto chamado limite elástico .

Quando a tensão atinge o valor σ = σ t, muitos metais começam a exibir uma propriedade chamada fluidez. Isto significa que mesmo sob carga constante, o material continua a deformar-se (ou seja, comporta-se como um líquido). Graficamente, isso significa que o diagrama é paralelo à abcissa (seção DL). A tensão σ t na qual o material flui é chamada força de rendimento .

Alguns materiais (St. 3 - aço de construção) após um curto fluxo começam a resistir novamente. A resistência do material continua até um determinado valor máximo σ pr, então começa a destruição gradual. A quantidade σ pr é chamada resistência à tracção (sinônimo de aço: resistência à tração, para concreto - resistência cúbica ou prismática). As seguintes designações também são usadas:

=R b

Uma relação semelhante é observada em experimentos entre tensões de cisalhamento e cisalhamento.

3) Lei de Duhamel-Neumann (expansão linear de temperatura):

Na presença de uma diferença de temperatura, os corpos mudam de tamanho, e em proporção direta a essa diferença de temperatura.

Que haja uma diferença de temperatura
. Então esta lei se parece com:

Aqui α - coeficiente de expansão térmica linear, eu - comprimento da haste, Δ eu- seu alongamento.

4) Lei da Rastejamento .

A pesquisa mostrou que todos os materiais são altamente heterogêneos em pequenas áreas. A estrutura esquemática do aço é mostrada na Fig.

Alguns dos componentes têm propriedades de um líquido, portanto, muitos materiais sob carga recebem alongamento adicional ao longo do tempo
(Fig. 8.3.) (metais em altas temperaturas, concreto, madeira, plásticos - em temperaturas normais). Este fenômeno é chamado rastejar material.

A lei para líquidos é: quanto maior a força, maior a velocidade de movimento do corpo no líquido. Se esta relação for linear (ou seja, a força é proporcional à velocidade), então ela pode ser escrita como:

E
Se passarmos para forças relativas e alongamentos relativos, obtemos

Aqui o índice " cr "significa que é considerada a parte do alongamento causada pela fluência do material. Características mecânicas chamado de coeficiente de viscosidade.

Lei da conservação de energia.

Considere uma viga carregada

Vamos introduzir o conceito de mover um ponto, por exemplo,

- movimento vertical do ponto B;

- deslocamento horizontal do ponto C.

Poderes
enquanto faço algum trabalho você. Considerando que as forças
começam a aumentar gradativamente e assumindo que aumentam proporcionalmente aos deslocamentos, obtemos:

.

De acordo com a lei de conservação: nenhum trabalho desaparece, é gasto em outro trabalho ou se transforma em outra energia (energia- este é o trabalho que o corpo pode fazer.).

Trabalho de forças
, é gasto na superação da resistência das forças elásticas que surgem em nosso corpo. Para calcular este trabalho, levamos em consideração que o corpo pode ser considerado constituído por pequenas partículas elásticas. Vamos considerar um deles:

Está sujeito à tensão de partículas vizinhas . A tensão resultante será

Sob a influência a partícula se alongará. De acordo com a definição, alongamento é o alongamento por unidade de comprimento. Então:

Vamos calcular o trabalho dW, o que a força faz dN (aqui também é levado em consideração que as forças dN começam a aumentar gradualmente e aumentam proporcionalmente aos movimentos):

Para todo o corpo obtemos:

.

Trabalho C que foi cometido , chamado energia de deformação elástica.

De acordo com a lei da conservação da energia:

6)Princípio movimentos possíveis .

Esta é uma das opções para escrever a lei da conservação da energia.

Deixe as forças agirem na viga F 1 , F 2 , … . Eles fazem com que pontos se movam no corpo
e tensão
. Vamos dar o corpo pequenos movimentos possíveis adicionais
. Em mecânica, uma notação da forma
significa a frase “valor possível da quantidade A" Esses possíveis movimentos farão com que o corpo possíveis deformações adicionais
. Eles levarão ao aparecimento de forças e tensões externas adicionais
, δ.

Vamos calcular o trabalho das forças externas sobre pequenos deslocamentos adicionais possíveis:

Aqui
- movimentos adicionais dos pontos onde as forças são aplicadas F 1 , F 2 , …

Considere novamente um pequeno elemento com seção transversal dA e comprimento dz (ver Fig. 8.5. e 8.6.). De acordo com a definição, alongamento adicional  dz deste elemento é calculado pela fórmula:

dz=  dz.

A força de tração do elemento será:

dN = (+δ) dA ≈  dA..

O trabalho das forças internas em deslocamentos adicionais é calculado para um elemento pequeno da seguinte forma:

dW = dN  dz = dA dz =  dV

COM
somando a energia de deformação de todos os pequenos elementos obtemos a energia de deformação total:

Lei da conservação de energia C = você dá:

.

Essa proporção é chamada princípio dos movimentos possíveis(também é chamado princípio dos movimentos virtuais). Da mesma forma, podemos considerar o caso em que as tensões tangenciais também atuam. Então podemos obter isso para a energia de deformação C o seguinte termo será adicionado:

Aqui  é a tensão de cisalhamento,  é o deslocamento do pequeno elemento. Então princípio dos movimentos possíveis assumirá a forma:

Ao contrário da forma anterior de escrever a lei da conservação da energia, não há suposição aqui de que as forças comecem a aumentar gradualmente, e aumentem na proporção dos deslocamentos

7) Efeito Poisson.

Consideremos o padrão de alongamento da amostra:

O fenômeno de encurtamento de um elemento do corpo na direção do alongamento é chamado Efeito Poisson.

Vamos encontrar a deformação relativa longitudinal.

A deformação relativa transversal será:

Razão de Poisson a quantidade é chamada:

Para materiais isotrópicos (aço, ferro fundido, concreto) coeficiente de Poisson

Isto significa que na direção transversal a deformação menos longitudinal

Observação : as tecnologias modernas podem criar materiais compósitos com índice de Poisson >1, ou seja, a deformação transversal será maior que a longitudinal. Por exemplo, este é o caso de um material reforçado com fibras rígidas num ângulo baixo
<<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине
, ou seja quanto menos , maior será o índice de Poisson.

Figura 8.8. Figura 8.9

Ainda mais surpreendente é o material mostrado na (Fig. 8.9.), e para tal reforço há um resultado paradoxal - o alongamento longitudinal leva a um aumento no tamanho do corpo na direção transversal.

8) Lei de Hooke generalizada.

Consideremos um elemento que se estende nas direções longitudinal e transversal. Vamos encontrar a deformação que ocorre nessas direções.

Vamos calcular a deformação decorrente da ação :

Vamos considerar a deformação da ação , que surge como resultado do efeito Poisson:

A deformação total será:

Se for válido e , então outro encurtamento será adicionado na direção do eixo x
.

Por isso:

Da mesma maneira:

Essas relações são chamadas lei de Hooke generalizada.

É interessante que, ao escrever a lei de Hooke, seja feita uma suposição sobre a independência das deformações de alongamento das deformações de cisalhamento (sobre a independência das tensões de cisalhamento, que é a mesma coisa) e vice-versa. As experiências confirmam bem essas suposições. Olhando para o futuro, notamos que a resistência, pelo contrário, depende fortemente da combinação de tensões tangenciais e normais.

Observação: As leis e suposições acima são confirmadas por numerosos experimentos diretos e indiretos, mas, como todas as outras leis, têm um escopo de aplicabilidade limitado.

Como você sabe, a física estuda todas as leis da natureza: das mais simples às mais gerais princípios das ciências naturais. Mesmo naquelas áreas onde parece que a física não é capaz de compreender, ela ainda desempenha um papel fundamental, e cada menor lei, cada princípio - nada lhe escapa.

Em contato com

É a física a base dos fundamentos; é ela que está na origem de todas as ciências.

Física estuda a interação de todos os corpos, ambos paradoxalmente pequenos e incrivelmente grandes. A física moderna está estudando ativamente não apenas corpos pequenos, mas também hipotéticos, e até mesmo isso lança luz sobre a essência do universo.

A física é dividida em seções, isso simplifica não apenas a própria ciência e sua compreensão, mas também a metodologia do estudo. A mecânica trata do movimento dos corpos e da interação dos corpos em movimento, a termodinâmica trata dos processos térmicos, a eletrodinâmica trata dos processos elétricos.

Por que a mecânica deveria estudar a deformação?

Ao falar sobre compressão ou tensão, você deve se perguntar: qual ramo da física deve estudar esse processo? Com fortes distorções, o calor pode ser liberado, talvez a termodinâmica deva lidar com esses processos? Às vezes, quando os líquidos são comprimidos, ele começa a ferver e, quando os gases são comprimidos, formam-se líquidos? Então, a hidrodinâmica deveria entender a deformação? Ou teoria cinética molecular?

Tudo depende na força de deformação, no seu grau. Se o meio deformável (material que é comprimido ou esticado) permitir, e a compressão for pequena, faz sentido considerar esse processo como o movimento de alguns pontos do corpo em relação a outros.

E como a questão é puramente relacionada, significa que a mecânica cuidará dela.

A lei de Hooke e a condição para seu cumprimento

Em 1660, o famoso cientista inglês Robert Hooke descobriu um fenômeno que pode ser usado para descrever mecanicamente o processo de deformação.

Para entender em que condições a lei de Hooke é satisfeita, Vamos nos limitar a dois parâmetros:

• Quarta-feira;
• força.

Existem meios (por exemplo, gases, líquidos, especialmente líquidos viscosos próximos do estado sólido ou, inversamente, líquidos muito fluidos) para os quais é impossível descrever o processo mecanicamente. Por outro lado, existem ambientes em que, com forças suficientemente grandes, a mecânica para de “funcionar”.

Importante!À pergunta: “Sob quais condições a lei de Hooke é verdadeira?”, uma resposta definitiva pode ser dada: “Em pequenas deformações”.

Lei de Hooke, definição: A deformação que ocorre em um corpo é diretamente proporcional à força que causa essa deformação.

Naturalmente, esta definição implica que:

• compressão ou alongamento é pequeno;
• objeto elástico;
• consiste em um material no qual não existem processos não lineares resultantes de compressão ou tensão.

Lei de Hooke em forma matemática

A formulação de Hooke, que citamos acima, permite escrevê-la da seguinte forma:

onde é a mudança no comprimento do corpo devido à compressão ou estiramento, F é a força aplicada ao corpo e causa deformação (força elástica), k é o coeficiente de elasticidade, medido em N/m.

Deve-se lembrar que a lei de Hooke válido apenas para pequenos trechos.

Notamos também que tem a mesma aparência quando esticado e comprimido. Considerando que a força é uma grandeza vetorial e tem direção, então no caso de compressão a seguinte fórmula será mais precisa:

Mas, novamente, tudo depende de para onde será direcionado o eixo em relação ao qual você está medindo.

Qual é a diferença fundamental entre compressão e extensão? Nada se for insignificante.

O grau de aplicabilidade pode ser considerado da seguinte forma:

Vamos prestar atenção ao gráfico. Como podemos ver, com pequenos trechos (primeiro quarto das coordenadas), por muito tempo a força com a coordenada tem uma relação linear (linha vermelha), mas depois a relação real (linha pontilhada) torna-se não linear, e a lei deixa de ser verdade. Na prática, isso se reflete em um estiramento tão forte que a mola deixa de retornar à sua posição original e perde suas propriedades. Com ainda mais alongamento ocorre uma fratura e a estrutura entra em colapso material.

Com pequenas compressões (terceiro quarto das coordenadas), por muito tempo a força com a coordenada também tem uma relação linear (linha vermelha), mas depois a relação real (linha pontilhada) torna-se não linear e tudo para de funcionar novamente. Na prática, isso resulta em uma compressão tão forte que o calor começa a ser liberado e a mola perde suas propriedades. Com uma compressão ainda maior, as espirais da mola “grudam” e ela começa a se deformar verticalmente e depois derreter completamente.

Como você pode ver, a fórmula que expressa a lei permite encontrar a força, conhecendo a variação do comprimento do corpo, ou, conhecendo a força elástica, medir a variação do comprimento:

Além disso, em alguns casos, você pode encontrar o coeficiente de elasticidade. Para entender como isso é feito, considere um exemplo de tarefa:

Um dinamômetro está conectado à mola. Foi esticado aplicando uma força de 20, com a qual ficou com 1 metro de comprimento. Então eles a soltaram, esperaram até que as vibrações parassem e ela voltasse ao seu estado normal. Em condições normais, seu comprimento era de 87,5 centímetros. Vamos tentar descobrir de que material é feita a mola.

Vamos encontrar o valor numérico da deformação da mola:

A partir daqui podemos expressar o valor do coeficiente:

Olhando a tabela, podemos constatar que este indicador corresponde ao aço para molas.

Problemas com coeficiente de elasticidade

A física, como sabemos, é uma ciência muito precisa; além disso, é tão precisa que criou ciências aplicadas inteiras que medem erros. Modelo de precisão inabalável, ela não pode se dar ao luxo de ser desajeitada.

A prática mostra que a dependência linear que consideramos nada mais é do que Lei de Hooke para uma barra fina e elástica. Somente como exceção pode ser usado para molas, mas mesmo isso é indesejável.

Acontece que o coeficiente k é um valor variável que depende não apenas do material de que o corpo é feito, mas também do diâmetro e de suas dimensões lineares.

Por este motivo, as nossas conclusões carecem de esclarecimento e desenvolvimento, pois caso contrário, a fórmula:

pode ser chamado nada mais do que uma dependência entre três variáveis.

Módulo de Young

Vamos tentar descobrir o coeficiente de elasticidade. Este parâmetro, como descobrimos, depende de três quantidades:

• material (que nos cai muito bem);
• comprimento L (que indica sua dependência);
• área S.

Importante! Assim, se conseguirmos “separar” de alguma forma o comprimento L e a área S do coeficiente, obteremos um coeficiente que depende totalmente do material.

O que nós sabemos:

• quanto maior a área da seção transversal do corpo, maior o coeficiente k, e a dependência é linear;
• quanto maior o comprimento do corpo, menor o coeficiente k, e a dependência é inversamente proporcional.

Isso significa que podemos escrever o coeficiente de elasticidade desta forma:

onde E é um novo coeficiente, que agora depende apenas do tipo de material.

Vamos introduzir o conceito de “alongamento relativo”:

. 

Conclusão

Vamos formular a lei de Hooke para tensão e compressão: Para pequenas compressões, a tensão normal é diretamente proporcional ao alongamento.

O coeficiente E é denominado módulo de Young e depende exclusivamente do material.

As observações mostram que para a maioria dos corpos elásticos, como aço, bronze, madeira, etc., a magnitude das deformações é proporcional à magnitude das forças atuantes. Um exemplo típico que explica esta propriedade é uma balança de mola, na qual o alongamento da mola é proporcional à força atuante. Isso pode ser visto pelo fato de que a escala de divisão de tais escalas é uniforme. Como propriedade geral dos corpos elásticos, a lei da proporcionalidade entre força e deformação foi formulada pela primeira vez por R. Hooke em 1660 e publicada em 1678 na obra “De potentia restitutiva”. Na formulação moderna desta lei, não são consideradas as forças e movimentos dos pontos de sua aplicação, mas sim as tensões e as deformações.

Assim, para tensão pura assume-se:

Aqui está o alongamento relativo de qualquer segmento obtido na direção do alongamento. Por exemplo, se as costelas mostradas na Fig. 11 os prismas antes da aplicação da carga eram a, b e c, conforme mostrado no desenho, e após a deformação serão respectivamente, então .

A constante E, que tem a dimensão da tensão, é chamada de módulo de elasticidade, ou módulo de Young.

A tensão dos elementos paralelos às tensões atuantes o é acompanhada por uma contração dos elementos perpendiculares, ou seja, uma diminuição nas dimensões transversais da haste (dimensões no desenho). Deformação transversal relativa

será um valor negativo. Acontece que as deformações longitudinais e transversais em um corpo elástico estão relacionadas por uma razão constante:

A quantidade adimensional v, constante para cada material, é chamada de taxa de compressão lateral ou razão de Poisson. O próprio Poisson, partindo de considerações teóricas que mais tarde se revelaram incorretas, acreditava nisso para todos os materiais (1829). Na verdade, os valores deste coeficiente são diferentes. Sim, para aço

Substituindo a expressão na última fórmula, obtemos:

A Lei de Hooke não é uma lei exata. Para o aço, os desvios da proporcionalidade entre são insignificantes, enquanto o ferro fundido ou a escultura claramente não obedecem a esta lei. Para eles, e podem ser aproximados por uma função linear apenas na aproximação mais grosseira.

Durante muito tempo, a resistência dos materiais preocupou-se apenas com os materiais que obedecem à lei de Hooke, e a aplicação das fórmulas de resistência dos materiais a outros corpos só poderia ser feita com grande reserva. Atualmente, as leis de elasticidade não linear começam a ser estudadas e aplicadas na resolução de problemas específicos.

Lei de Hooke geralmente chamadas de relações lineares entre componentes de deformação e componentes de tensão.

Tomemos um paralelepípedo retangular elementar com faces paralelas aos eixos coordenados, carregado com tensão normal σ x, distribuído uniformemente em duas faces opostas (Fig. 1). Em que σy = σ z = τ x y = τ x z = τyz = 0.

Até o limite da proporcionalidade, o alongamento relativo é dado pela fórmula

Onde E— módulo de elasticidade à tração. Para aço E = 2*10 5 MPa, portanto, as deformações são muito pequenas e são medidas como uma porcentagem ou 1 * 10 5 (em dispositivos de extensômetro que medem deformações).

Estendendo um elemento na direção do eixo X acompanhado de seu estreitamento no sentido transversal, determinado pelos componentes de deformação

Onde μ - uma constante chamada taxa de compressão lateral ou razão de Poisson. Para aço μ geralmente considerado entre 0,25-0,3.

Se o elemento em questão for carregado simultaneamente com tensões normais σx, σy, σ z, distribuído uniformemente ao longo de suas faces, então são adicionadas deformações

Sobrepondo as componentes de deformação causadas por cada uma das três tensões, obtemos as relações

Essas relações são confirmadas por numerosos experimentos. Aplicado método de sobreposição ou superposições encontrar as deformações e tensões totais causadas por diversas forças é legítimo, desde que as deformações e tensões sejam pequenas e linearmente dependentes das forças aplicadas. Nesses casos, negligenciamos pequenas alterações nas dimensões do corpo deformado e pequenos movimentos dos pontos de aplicação de forças externas e baseamos nossos cálculos nas dimensões iniciais e na forma inicial do corpo.

Deve-se notar que a pequenez dos deslocamentos não significa necessariamente que as relações entre forças e deformações sejam lineares. Assim, por exemplo, em uma força comprimida P haste carregada adicionalmente com força de cisalhamento R, mesmo com pequena deflexão δ surge um ponto adicional M = Qδ, o que torna o problema não linear. Nestes casos, as deflexões totais não são funções lineares das forças e não podem ser obtidas por simples superposição.

Foi estabelecido experimentalmente que se as tensões de cisalhamento atuam ao longo de todas as faces do elemento, então a distorção do ângulo correspondente depende apenas dos componentes correspondentes da tensão de cisalhamento.

Constante G chamado módulo de elasticidade de cisalhamento ou módulo de cisalhamento.

O caso geral de deformação de um elemento devido à ação de três componentes de tensão normal e três tangenciais sobre ele pode ser obtido por superposição: três deformações de cisalhamento, determinadas pelas relações (5.2b), são sobrepostas a três deformações lineares determinadas por expressões ( 5.2a). As equações (5.2a) e (5.2b) determinam a relação entre os componentes das deformações e tensões e são chamadas lei de Hooke generalizada. Vamos agora mostrar que o módulo de cisalhamento G expresso em termos de módulo de elasticidade à tração E e índice de Poisson μ . Para fazer isso, considere o caso especial quando σ x = σ , σy = -σ E σ z = 0.

Vamos cortar o elemento ABCD planos paralelos ao eixo z e inclinado em um ângulo de 45° em relação aos eixos X E no(Fig. 3). Como segue das condições de equilíbrio do elemento 0 porque, Estresse normal σ v em todas as faces do elemento ABCD são iguais a zero e as tensões de cisalhamento são iguais

Este estado de tensão é chamado cisalhamento puro. Das equações (5.2a) segue-se que

isto é, a extensão do elemento horizontal é 0 c igual ao encurtamento do elemento vertical 0 b: ey = -εx.

Ângulo entre faces ab E a.C. mudanças, e o valor de deformação de cisalhamento correspondente γ pode ser encontrado a partir do triângulo 0 porque:

Segue que

A ação de forças externas sobre um corpo sólido leva à ocorrência de tensões e deformações em pontos de seu volume. Neste caso, o estado de tensão em um ponto, a relação entre as tensões nas diferentes áreas que passam por este ponto, são determinadas pelas equações da estática e não dependem das propriedades físicas do material. O estado deformado, a relação entre deslocamentos e deformações, é estabelecido por meio de considerações geométricas ou cinemáticas e também não depende das propriedades do material. Para estabelecer uma relação entre tensões e deformações, é necessário levar em consideração as propriedades reais do material e as condições de carregamento. Modelos matemáticos que descrevem as relações entre tensões e deformações são desenvolvidos com base em dados experimentais. Esses modelos devem refletir as propriedades reais dos materiais e as condições de carregamento com um grau suficiente de precisão.

Os modelos mais comuns para materiais estruturais são elasticidade e plasticidade. A elasticidade é a propriedade de um corpo mudar de forma e tamanho sob a influência de cargas externas e restaurar sua configuração original quando a carga é removida. Matematicamente, a propriedade da elasticidade é expressa no estabelecimento de uma relação funcional um-para-um entre os componentes do tensor de tensão e do tensor de deformação. A propriedade de elasticidade reflete não apenas as propriedades dos materiais, mas também as condições de carga. Para a maioria dos materiais estruturais, a propriedade de elasticidade se manifesta em valores moderados de forças externas, levando a pequenas deformações, e em baixas taxas de carregamento, quando as perdas de energia devido aos efeitos da temperatura são insignificantes. Um material é chamado linearmente elástico se os componentes do tensor de tensão e do tensor de deformação estão relacionados por relações lineares.

Em altos níveis de carregamento, quando ocorrem deformações significativas no corpo, o material perde parcialmente suas propriedades elásticas: quando descarregado, suas dimensões e forma originais não são totalmente restauradas e, quando as cargas externas são totalmente removidas, são registradas deformações residuais. Nesse caso a relação entre tensões e deformações deixa de ser inequívoca. Esta propriedade material é chamada plasticidade. As deformações residuais acumuladas durante a deformação plástica são chamadas de plásticas.

Altos níveis de carga podem causar destruição, ou seja, divisão do corpo em partes. Sólidos feitos de materiais diferentes falham com diferentes quantidades de deformação. A fratura é frágil com pequenas deformações e ocorre, via de regra, sem deformações plásticas perceptíveis. Essa destruição é típica de ferro fundido, ligas de aço, concreto, vidro, cerâmica e alguns outros materiais estruturais. Aços de baixo carbono, metais não ferrosos e plásticos são caracterizados por um tipo de falha plástica na presença de deformações residuais significativas. No entanto, a divisão dos materiais em frágeis e dúcteis de acordo com a natureza da sua destruição é muito arbitrária; geralmente refere-se a algumas condições operacionais padrão. O mesmo material pode comportar-se, dependendo das condições (temperatura, natureza da carga, tecnologia de fabricação, etc.) como frágil ou dúctil. Por exemplo, materiais que são plásticos em temperaturas normais se tornam frágeis em baixas temperaturas. Portanto, é mais correto falar não de materiais frágeis e plásticos, mas do estado frágil ou plástico do material.

Seja o material linearmente elástico e isotrópico. Consideremos um volume elementar sob condições de estado de tensão uniaxial (Fig. 1), de modo que o tensor de tensão tenha a forma

Com tal carga, as dimensões aumentam na direção do eixo Oh, caracterizado por deformação linear, que é proporcional à magnitude da tensão

Figura 1. Estado de tensão uniaxial

Esta relação é uma notação matemática Lei de Hooke estabelecer uma relação proporcional entre a tensão e a deformação linear correspondente em um estado de tensão uniaxial. O coeficiente de proporcionalidade E é denominado módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young. Tem a dimensão do estresse.

Junto com o aumento do tamanho na direção de ação; Sob a mesma tensão, ocorre uma diminuição no tamanho em duas direções ortogonais (Fig. 1). Denotamos as deformações correspondentes por e , e essas deformações são negativas enquanto positivas e são proporcionais a:

Com ação simultânea de tensões ao longo de três eixos ortogonais, quando não há tensões tangenciais, o princípio da superposição (superposição de soluções) é válido para um material linearmente elástico:

Levando em consideração as fórmulas (1 4) obtemos

As tensões tangenciais causam deformações angulares e, em pequenas deformações, não afetam a mudança nas dimensões lineares e, portanto, nas deformações lineares. Portanto, eles também são válidos no caso de um estado de tensão arbitrário e expressam o chamado lei de Hooke generalizada.

A deformação angular é causada pela tensão tangencial, e a deformação e , respectivamente, pelas tensões e. Existem relações proporcionais entre as tensões tangenciais correspondentes e as deformações angulares para um corpo isotrópico linearmente elástico

que expressa a lei Tesoura de Hooke. O fator de proporcionalidade G é chamado módulo de cisalhamento.É importante que a tensão normal não afete as deformações angulares, pois neste caso apenas mudam as dimensões lineares dos segmentos, e não os ângulos entre eles (Fig. 1).

Também existe uma relação linear entre a tensão média (2.18), proporcional ao primeiro invariante do tensor de tensão, e a deformação volumétrica (2.32), coincidindo com o primeiro invariante do tensor de deformação:

Fator de proporcionalidade correspondente PARA chamado módulo de elasticidade volumétrico.

As fórmulas (1 7) incluem as características elásticas do material E, , G E PARA, determinar suas propriedades elásticas. No entanto, essas características não são independentes. Para um material isotrópico, existem duas características elásticas independentes, que geralmente são escolhidas como módulo de elasticidade E e índice de Poisson. Para expressar o módulo de cisalhamento G através E E , Consideremos a deformação por cisalhamento plano sob a ação de tensões tangenciais (Fig. 2). Para simplificar os cálculos, usamos um elemento quadrado com lado A. Vamos calcular as tensões principais , . Essas tensões atuam em áreas localizadas em ângulo com as áreas originais. Da Fig. 2 encontraremos a relação entre deformação linear na direção da tensão e deformação angular . A diagonal maior do losango, caracterizando a deformação, é igual a

Para pequenas deformações

Levando essas relações em consideração

Antes da deformação, esta diagonal tinha o tamanho . Então teremos

Da lei de Hooke generalizada (5) obtemos

A comparação da fórmula resultante com a notação da lei de Hooke para deslocamento (6) dá

Como resultado obtemos

Comparando esta expressão com a lei volumétrica de Hooke (7), chegamos ao resultado

Características mecânicas E, , G E PARA são encontrados após o processamento de dados experimentais de amostras de teste sob vários tipos de cargas. Do ponto de vista físico, todas estas características não podem ser negativas. Além disso, segue-se da última expressão que o coeficiente de Poisson para um material isotrópico não excede 1/2. Assim, obtemos as seguintes restrições para as constantes elásticas de um material isotrópico:

O valor limite leva ao valor limite , que corresponde a um material incompressível (at). Concluindo, a partir das relações de elasticidade (5) expressamos a tensão em termos de deformação. Vamos escrever a primeira das relações (5) na forma

Usando a igualdade (9) teremos

Relacionamentos semelhantes podem ser derivados para e . Como resultado obtemos

Aqui usamos a relação (8) para o módulo de cisalhamento. Além disso, a designação

ENERGIA POTENCIAL DE DEFORMAÇÃO ELÁSTICA

Consideremos primeiro o volume elementar dV=dxdydz sob condições de tensão uniaxial (Fig. 1). Conserte mentalmente o site x=0(Fig. 3). Uma força atua na superfície oposta . Esta força funciona no deslocamento . Quando a tensão aumenta do nível zero para o valor a deformação correspondente devido à lei de Hooke também aumenta de zero para o valor , e o trabalho é proporcional à figura sombreada na Fig. 4 quadrados: . Se negligenciarmos a energia cinética e as perdas associadas a fenômenos térmicos, eletromagnéticos e outros, então, devido à lei da conservação da energia, o trabalho realizado se transformará em energia potencial, acumulado durante a deformação: . Valor F= dU/dV chamado energia potencial específica de deformação, tendo o significado de energia potencial acumulada em uma unidade de volume de um corpo. No caso de um estado de tensão uniaxial