8.2. Undang-undang asas yang digunakan dalam kekuatan bahan

Hubungan statik. Mereka ditulis dalam bentuk persamaan keseimbangan berikut.

undang-undang Hooke ( 1678): lebih besar daya, lebih besar ubah bentuk, dan, lebih-lebih lagi, adalah berkadar terus dengan daya. Secara fizikal, ini bermakna semua badan adalah mata air, tetapi dengan ketegaran yang besar. Apabila rasuk hanya diregang oleh daya membujur N= F undang-undang ini boleh ditulis sebagai:

Di sini
daya membujur, l- panjang rasuk, A- luas keratan rentasnya, E- pekali keanjalan jenis pertama ( Modulus Young).

Dengan mengambil kira formula untuk tegasan dan terikan, hukum Hooke ditulis seperti berikut:
.

Hubungan yang serupa diperhatikan dalam eksperimen antara tegasan tangen dan sudut ricih:

.

G dipanggilmodulus ricih , kurang kerap – modulus elastik jenis kedua. Seperti mana-mana undang-undang, undang-undang Hooke juga mempunyai had kebolehgunaan. voltan
, yang mana undang-undang Hooke adalah sah, dipanggil had perkadaran(ini adalah ciri yang paling penting dalam kekuatan bahan).

Mari kita gambarkan pergantungan  daripada  secara grafik (Rajah 8.1). Gambar ini dipanggil rajah regangan . Selepas titik B (iaitu di
) pergantungan ini tidak lagi menjadi linear.

Pada
selepas memunggah, ubah bentuk sisa muncul di dalam badan, oleh itu dipanggil had elastik .

Apabila voltan mencapai nilai σ = σ t, banyak logam mula menunjukkan sifat yang dipanggil kecairan. Ini bermakna walaupun di bawah beban berterusan, bahan itu terus berubah bentuk (iaitu, ia berkelakuan seperti cecair). Secara grafik, ini bermakna rajah itu selari dengan absis (bahagian DL). Voltan σ t di mana bahan mengalir dipanggil kekuatan hasil .

Sesetengah bahan (St. 3 - keluli pembinaan) selepas aliran pendek mula menentang semula. Rintangan bahan berterusan sehingga nilai maksimum tertentu σ pr, kemudian pemusnahan beransur-ansur bermula. Kuantiti σ pr dipanggil kekuatan tegangan (sinonim untuk keluli: kekuatan tegangan, untuk konkrit - kekuatan padu atau prismatik). Penamaan berikut juga digunakan:

=R b

Hubungan yang sama diperhatikan dalam eksperimen antara tegasan ricih dan ricih.

3) Hukum Duhamel–Neumann (pengembangan suhu linear):

Dengan adanya perbezaan suhu, jasad menukar saiznya, dan berkadar langsung dengan perbezaan suhu ini.

Biar ada perbezaan suhu
. Kemudian undang-undang ini kelihatan seperti:

Di sini α - pekali pengembangan haba linear, l - panjang batang, Δ l- pemanjangannya.

4) Hukum Rayapan .

Penyelidikan telah menunjukkan bahawa semua bahan sangat heterogen di kawasan kecil. Struktur skematik keluli ditunjukkan dalam Rajah 8.2.

Sesetengah komponen mempunyai sifat cecair, jadi banyak bahan di bawah beban menerima pemanjangan tambahan dari semasa ke semasa
(Rajah 8.3.) (logam pada suhu tinggi, konkrit, kayu, plastik - pada suhu biasa). Fenomena ini dipanggil merayap bahan.

Hukum bagi cecair ialah: semakin besar daya, semakin besar kelajuan pergerakan badan dalam cecair. Jika hubungan ini adalah linear (iaitu daya berkadar dengan kelajuan), maka ia boleh ditulis sebagai:

E
Jika kita beralih kepada daya relatif dan pemanjangan relatif, kita dapat

Di sini indeks " cr “bermaksud bahagian pemanjangan yang disebabkan oleh rayapan bahan itu dipertimbangkan. Ciri-ciri mekanikal dipanggil pekali kelikatan.

Undang-undang penjimatan tenaga.

Pertimbangkan rasuk yang dimuatkan

Mari kita perkenalkan konsep menggerakkan titik, contohnya,

- pergerakan menegak titik B;

- anjakan mendatar titik C.

Kuasa
semasa melakukan sesuatu kerja U. Memandangkan bahawa kuasa
mula meningkat secara beransur-ansur dan dengan mengandaikan bahawa ia meningkat mengikut perkadaran dengan anjakan, kita memperoleh:

.

Mengikut undang-undang pemuliharaan: tiada kerja yang hilang, ia dibelanjakan untuk melakukan kerja lain atau bertukar menjadi tenaga lain (tenaga- ini adalah kerja yang boleh dilakukan oleh badan.).

Kerja angkatan
, dibelanjakan untuk mengatasi rintangan daya kenyal yang timbul dalam badan kita. Untuk mengira kerja ini, kita mengambil kira bahawa badan boleh dianggap terdiri daripada zarah elastik kecil. Mari kita pertimbangkan salah satu daripada mereka:

Ia tertakluk kepada ketegangan daripada zarah jiran . Tekanan yang terhasil ialah

Di bawah pengaruh zarah akan memanjang. Mengikut definisi, pemanjangan ialah pemanjangan per unit panjang. Kemudian:

Mari kita mengira kerja dW, yang dilakukan oleh kuasa itu dN (di sini juga diambil kira bahawa kuasa dN mula meningkat secara beransur-ansur dan mereka meningkat secara berkadar dengan pergerakan):

Untuk seluruh badan kita dapat:

.

Kerja W yang telah dilakukan , dipanggil tenaga ubah bentuk elastik.

Mengikut undang-undang pemuliharaan tenaga:

6)Prinsip pergerakan yang mungkin .

Ini adalah salah satu pilihan untuk menulis undang-undang pemuliharaan tenaga.

Biarkan daya bertindak pada rasuk F 1 , F 2 , … . Mereka menyebabkan mata bergerak di dalam badan
dan voltan
. Mari berikan badan pergerakan kecil tambahan yang mungkin
. Dalam mekanik, notasi bentuk
bermaksud frasa “nilai kemungkinan kuantiti A" Pergerakan yang mungkin ini akan menyebabkan badan ubah bentuk tambahan yang mungkin
. Mereka akan membawa kepada kemunculan daya dan tekanan luaran tambahan
, δ.

Mari kita mengira kerja daya luar pada anjakan kecil tambahan yang mungkin:

Di sini
- pergerakan tambahan bagi titik-titik di mana daya dikenakan F 1 , F 2 , …

Pertimbangkan sekali lagi elemen kecil dengan keratan rentas dA dan panjang dz (lihat Rajah 8.5. dan 8.6.). Mengikut definisi, pemanjangan tambahan  dz unsur ini dikira dengan formula:

dz=  dz.

Daya tegangan unsur tersebut ialah:

dN = (+δ) dA ≈  dA..

Kerja daya dalaman pada anjakan tambahan dikira untuk elemen kecil seperti berikut:

dW = dN  dz = dA dz =  dV

DENGAN
merumuskan tenaga ubah bentuk semua unsur kecil kita memperoleh jumlah tenaga ubah bentuk:

Undang-undang penjimatan tenaga W = U memberikan:

.

Nisbah ini dipanggil prinsip pergerakan yang mungkin(ia juga dipanggil prinsip pergerakan maya). Begitu juga, kita boleh mempertimbangkan kes apabila tegasan tangensial juga bertindak. Kemudian kita boleh mendapatkannya kepada tenaga ubah bentuk W istilah berikut akan ditambah:

Di sini  ialah tegasan ricih,  ialah sesaran unsur kecil. Kemudian prinsip pergerakan yang mungkin akan mengambil borang:

Tidak seperti bentuk penulisan undang-undang pemuliharaan tenaga sebelum ini, tidak ada andaian di sini bahawa daya mula meningkat secara beransur-ansur, dan ia meningkat mengikut perkadaran dengan anjakan.

7) Kesan Poisson.

Mari kita pertimbangkan corak pemanjangan sampel:

Fenomena memendekkan unsur badan merentasi arah pemanjangan dipanggil Kesan Poisson.

Mari kita cari ubah bentuk relatif membujur.

Ubah bentuk relatif melintang ialah:

Nisbah Poisson kuantiti dipanggil:

Untuk bahan isotropik (keluli, besi tuang, konkrit) nisbah Poisson

Ini bermakna bahawa dalam arah melintang ubah bentuk kurang membujur

Catatan : teknologi moden boleh mencipta bahan komposit dengan nisbah Poisson >1, iaitu, ubah bentuk melintang akan lebih besar daripada yang membujur. Sebagai contoh, ini adalah kes bagi bahan yang diperkuat dengan gentian tegar pada sudut rendah
<<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине
, iaitu lebih kurang , semakin besar nisbah Poisson.

Rajah 8.8. Rajah 8.9

Lebih mengejutkan ialah bahan yang ditunjukkan dalam (Rajah 8.9.), dan untuk tetulang sedemikian terdapat hasil yang paradoks - pemanjangan membujur membawa kepada peningkatan saiz badan dalam arah melintang.

8) Undang-undang umum Hooke.

Mari kita pertimbangkan unsur yang terbentang dalam arah membujur dan melintang. Mari kita cari ubah bentuk yang berlaku dalam arah ini.

Mari kita mengira ubah bentuk timbul daripada tindakan :

Mari kita pertimbangkan ubah bentuk daripada tindakan itu , yang timbul akibat daripada kesan Poisson:

Ubah bentuk keseluruhan akan menjadi:

Jika sah dan , maka satu lagi pemendekan akan ditambah ke arah paksi x
.

Oleh itu:

Begitu juga:

Hubungan ini dipanggil generalisasi undang-undang Hooke.

Adalah menarik bahawa apabila menulis undang-undang Hooke, andaian dibuat tentang kebebasan terikan pemanjangan daripada terikan ricih (tentang kebebasan daripada tegasan ricih, yang merupakan perkara yang sama) dan sebaliknya. Eksperimen mengesahkan andaian ini dengan baik. Memandang ke hadapan, kami perhatikan bahawa kekuatan, sebaliknya, sangat bergantung pada gabungan tegasan tangensial dan normal.

Catatan: Undang-undang dan andaian di atas disahkan oleh banyak eksperimen langsung dan tidak langsung, tetapi, seperti semua undang-undang lain, ia mempunyai skop kebolehgunaan yang terhad.

Seperti yang anda ketahui, fizik mengkaji semua undang-undang alam: dari yang paling mudah kepada prinsip sains semula jadi yang paling umum. Walaupun dalam bidang yang nampaknya fizik tidak dapat memahami, ia masih memainkan peranan utama, dan setiap undang-undang terkecil, setiap prinsip - tiada apa yang terlepas daripadanya.

Bersentuhan dengan

Fiziklah yang menjadi asas kepada asas-asas; inilah yang terletak pada asal-usul semua sains.

Fizik mengkaji interaksi semua badan, kedua-duanya secara paradoks kecil dan luar biasa besar. Fizik moden sedang giat mengkaji bukan sahaja kecil, tetapi badan hipotesis, malah ini memberi penerangan tentang intipati alam semesta.

Fizik dibahagikan kepada beberapa bahagian, ini memudahkan bukan sahaja sains itu sendiri dan pemahamannya, tetapi juga metodologi kajian. Mekanik berurusan dengan pergerakan jasad dan interaksi jasad yang bergerak, termodinamik berurusan dengan proses terma, elektrodinamik berurusan dengan proses elektrik.

Mengapa mekanik perlu mengkaji ubah bentuk?

Apabila bercakap tentang mampatan atau ketegangan, anda harus bertanya kepada diri sendiri soalan: cabang fizik mana yang harus mengkaji proses ini? Dengan herotan yang kuat, haba boleh dibebaskan, mungkin termodinamik harus menangani proses ini? Kadang-kadang apabila cecair dimampatkan, ia mula mendidih, dan apabila gas dimampatkan, cecair terbentuk? Jadi, perlukah hidrodinamik memahami ubah bentuk? Atau teori kinetik molekul?

Semuanya bergantung pada daya ubah bentuk, pada tahapnya. Jika medium boleh ubah bentuk (bahan yang dimampatkan atau diregangkan) membenarkan, dan pemampatan adalah kecil, masuk akal untuk menganggap proses ini sebagai pergerakan beberapa titik badan berbanding yang lain.

Dan kerana soalan itu berkaitan semata-mata, ini bermakna mekanik akan menanganinya.

Undang-undang Hooke dan syarat untuk memenuhinya

Pada tahun 1660, saintis Inggeris terkenal Robert Hooke menemui satu fenomena yang boleh digunakan untuk menerangkan secara mekanikal proses ubah bentuk.

Untuk memahami di bawah syarat apa undang-undang Hooke dipenuhi, Mari hadkan diri kita kepada dua parameter:

• Rabu;
• memaksa.

Terdapat media (contohnya, gas, cecair, terutamanya cecair likat yang hampir dengan keadaan pepejal atau, sebaliknya, cecair yang sangat cair) yang mustahil untuk menerangkan proses secara mekanikal. Sebaliknya, terdapat persekitaran di mana, dengan daya yang cukup besar, mekanik berhenti "berfungsi".

Penting! Kepada soalan: "Di bawah syarat apakah hukum Hooke benar?", jawapan yang pasti boleh diberikan: "Pada ubah bentuk kecil."

Undang-undang Hooke, definisi: Ubah bentuk yang berlaku dalam jasad adalah berkadar terus dengan daya yang menyebabkan ubah bentuk tersebut.

Sememangnya, definisi ini membayangkan bahawa:

• mampatan atau regangan adalah kecil;
• objek elastik;
• ia terdiri daripada bahan di mana tiada proses tak linear hasil daripada mampatan atau ketegangan.

Hukum Hooke dalam Bentuk Matematik

Rumusan Hooke, yang kami sebutkan di atas, memungkinkan untuk menulisnya dalam bentuk berikut:

di mana ialah perubahan panjang badan akibat mampatan atau regangan, F ialah daya yang dikenakan pada badan dan menyebabkan ubah bentuk (daya kenyal), k ialah pekali keanjalan, diukur dalam N/m.

Perlu diingat bahawa undang-undang Hooke sah hanya untuk regangan kecil.

Kami juga ambil perhatian bahawa ia mempunyai rupa yang sama apabila diregangkan dan dimampatkan. Memandangkan daya adalah kuantiti vektor dan mempunyai arah, maka dalam kes pemampatan, formula berikut akan lebih tepat:

Tetapi sekali lagi, semuanya bergantung pada ke mana paksi relatif yang anda ukur akan diarahkan.

Apakah perbezaan asas antara pemampatan dan sambungan? Tiada apa-apa jika ia tidak penting.

Tahap kebolehgunaan boleh dipertimbangkan seperti berikut:

Mari kita perhatikan graf. Seperti yang dapat kita lihat, dengan regangan kecil (suku pertama koordinat), untuk masa yang lama daya dengan koordinat mempunyai hubungan linear (garis merah), tetapi kemudian hubungan sebenar (garis putus-putus) menjadi tidak linear, dan undang-undang tidak lagi benar. Dalam amalan, ini dicerminkan oleh regangan yang kuat sehingga spring berhenti kembali ke kedudukan asalnya dan kehilangan sifatnya. Dengan lebih regangan patah berlaku dan struktur runtuh bahan.

Dengan mampatan kecil (suku ketiga koordinat), untuk masa yang lama daya dengan koordinat juga mempunyai hubungan linear (garis merah), tetapi kemudian hubungan sebenar (garisan bertitik) menjadi tidak linear, dan semuanya berhenti berfungsi semula. Dalam amalan, ini menghasilkan pemampatan yang begitu kuat sehingga haba mula dibebaskan dan mata air kehilangan sifatnya. Dengan mampatan yang lebih besar, gegelung spring "melekat bersama" dan ia mula berubah bentuk secara menegak dan kemudian cair sepenuhnya.

Seperti yang anda lihat, formula yang menyatakan undang-undang membolehkan anda mencari daya, mengetahui perubahan panjang badan, atau, mengetahui daya kenyal, mengukur perubahan panjang:

Juga, dalam beberapa kes, anda boleh mencari pekali keanjalan. Untuk memahami cara ini dilakukan, pertimbangkan contoh tugas:

Dinamometer disambungkan kepada spring. Ia diregangkan dengan menggunakan daya 20, yang menyebabkan ia menjadi 1 meter panjang. Kemudian mereka melepaskannya, menunggu sehingga getaran berhenti, dan dia kembali ke keadaan normalnya. Dalam keadaan biasa, panjangnya ialah 87.5 sentimeter. Mari cuba cari bahan dari apa spring itu dibuat.

Mari cari nilai berangka ubah bentuk spring:

Dari sini kita boleh menyatakan nilai pekali:

Melihat jadual, kita dapati bahawa penunjuk ini sepadan dengan keluli musim bunga.

Masalah dengan pekali keanjalan

Fizik, seperti yang kita ketahui, adalah sains yang sangat tepat; lebih-lebih lagi, ia sangat tepat sehingga ia telah mencipta keseluruhan sains gunaan yang mengukur ralat. Model ketepatan yang tidak berbelah bahagi, dia tidak mampu untuk menjadi kekok.

Amalan menunjukkan bahawa pergantungan linear yang kami pertimbangkan tidak lebih daripada Hukum Hooke untuk rod nipis dan tegangan. Hanya sebagai pengecualian ia boleh digunakan untuk mata air, tetapi ini juga tidak diingini.

Ternyata pekali k adalah nilai pembolehubah yang bergantung bukan sahaja pada bahan apa badan dibuat, tetapi juga pada diameter dan dimensi linearnya.

Atas sebab ini, kesimpulan kami memerlukan penjelasan dan pembangunan, kerana jika tidak, formula:

boleh dipanggil tidak lebih daripada pergantungan antara tiga pembolehubah.

Modulus Young

Mari cuba tentukan pekali keanjalan. Parameter ini, seperti yang kami ketahui, bergantung kepada tiga kuantiti:

• bahan (yang sesuai dengan kita dengan baik);
• panjang L (yang menunjukkan pergantungannya pada);
• kawasan-kawasan.

Penting! Oleh itu, jika kita berjaya "memisahkan" panjang L dan luas S daripada pekali, maka kita akan memperoleh pekali yang bergantung sepenuhnya pada bahan.

Apa yang kita tahu:

• lebih besar luas keratan rentas badan, lebih besar pekali k, dan pergantungan adalah linear;
• semakin besar panjang badan, semakin rendah pekali k, dan pergantungan adalah berkadar songsang.

Ini bermakna kita boleh menulis pekali keanjalan dengan cara ini:

di mana E ialah pekali baharu, yang kini bergantung sepenuhnya pada jenis bahan.

Mari kita perkenalkan konsep "pemanjangan relatif":

. 

Kesimpulan

Mari kita rumuskan hukum Hooke untuk ketegangan dan mampatan: Untuk pemampatan kecil, tegasan normal adalah berkadar terus dengan pemanjangan.

Pekali E dipanggil modulus Young dan bergantung semata-mata pada bahan.

Pemerhatian menunjukkan bahawa bagi kebanyakan jasad elastik, seperti keluli, gangsa, kayu, dsb., magnitud ubah bentuk adalah berkadar dengan magnitud daya bertindak. Contoh biasa yang menerangkan sifat ini ialah neraca spring, di mana pemanjangan spring adalah berkadar dengan daya bertindak. Ini dapat dilihat dari fakta bahawa skala pembahagian skala tersebut adalah seragam. Sebagai harta umum badan elastik, undang-undang perkadaran antara daya dan ubah bentuk pertama kali dirumuskan oleh R. Hooke pada tahun 1660 dan diterbitkan pada tahun 1678 dalam karya "De potentia restitutiva". Dalam rumusan moden undang-undang ini, bukan daya dan pergerakan titik aplikasinya yang dipertimbangkan, tetapi tekanan dan ubah bentuk.

Oleh itu, untuk ketegangan tulen diandaikan:

Berikut ialah pemanjangan relatif mana-mana segmen yang diambil dalam arah regangan. Sebagai contoh, jika rusuk yang ditunjukkan dalam Rajah. 11 prisma sebelum menggunakan beban ialah a, b dan c, seperti yang ditunjukkan dalam lukisan, dan selepas ubah bentuk mereka akan masing-masing, maka .

Pemalar E, yang mempunyai dimensi tegasan, dipanggil modulus elastik, atau modulus Young.

Ketegangan unsur selari dengan tegasan bertindak o disertai dengan penguncupan unsur serenjang, iaitu penurunan dalam dimensi melintang rod (dimensi dalam lukisan). Regangan melintang relatif

akan menjadi nilai negatif. Ternyata ubah bentuk membujur dan melintang dalam badan elastik dikaitkan dengan nisbah tetap:

Kuantiti tanpa dimensi v, malar bagi setiap bahan, dipanggil nisbah mampatan sisi atau nisbah Poisson. Poisson sendiri, meneruskan dari pertimbangan teori yang kemudiannya ternyata tidak betul, percaya bahawa untuk semua bahan (1829). Malah, nilai pekali ini berbeza. Ya, untuk keluli

Menggantikan ungkapan dalam formula terakhir yang kita dapat:

Undang-undang Hooke bukanlah undang-undang yang tepat. Bagi keluli, sisihan daripada perkadaran antara adalah tidak ketara, manakala besi tuang atau ukiran jelas tidak mematuhi undang-undang ini. Bagi mereka, dan boleh dianggarkan oleh fungsi linear hanya dalam anggaran paling kasar.

Untuk masa yang lama, kekuatan bahan hanya mementingkan bahan yang mematuhi undang-undang Hooke, dan penggunaan formula kekuatan bahan kepada badan lain hanya boleh dilakukan dengan rizab yang besar. Pada masa ini, undang-undang keanjalan tak linear mula dikaji dan digunakan untuk menyelesaikan masalah tertentu.

undang-undang Hooke biasanya dipanggil hubungan linear antara komponen terikan dan komponen tegasan.

Mari kita ambil segi empat tepat asas selari dengan muka selari dengan paksi koordinat, dimuatkan dengan tegasan biasa σ x, teragih sama rata pada dua muka bertentangan (Rajah 1). Di mana σy = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.

Sehingga had perkadaran, pemanjangan relatif diberikan oleh formula

di mana E- modulus keanjalan tegangan. Untuk keluli E = 2*10 5 MPa, oleh itu, ubah bentuk adalah sangat kecil dan diukur sebagai peratusan atau 1 * 10 5 (dalam peranti tolok terikan yang mengukur ubah bentuk).

Memanjangkan elemen dalam arah paksi X disertai dengan penyempitannya dalam arah melintang, ditentukan oleh komponen ubah bentuk

di mana μ - pemalar dipanggil nisbah mampatan sisi atau nisbah Poisson. Untuk keluli μ biasanya diambil sebagai 0.25-0.3.

Jika elemen yang dimaksudkan dimuatkan serentak dengan tegasan biasa σx, σy, σ z, teragih sama rata di sepanjang mukanya, kemudian ubah bentuk ditambah

Dengan menindih komponen ubah bentuk yang disebabkan oleh setiap tiga tegasan, kita memperoleh hubungan

Hubungan ini disahkan oleh banyak eksperimen. Digunakan kaedah tindanan atau superposisi untuk mencari jumlah terikan dan tegasan yang disebabkan oleh beberapa daya adalah sah selagi terikan dan tegasan adalah kecil dan bergantung secara linear kepada daya yang dikenakan. Dalam kes sedemikian, kita mengabaikan perubahan kecil dalam dimensi badan yang cacat dan pergerakan kecil titik penggunaan daya luaran dan mendasarkan pengiraan kita pada dimensi awal dan bentuk awal badan.

Perlu diingatkan bahawa kekecilan anjakan tidak semestinya bermakna hubungan antara daya dan ubah bentuk adalah linear. Jadi, sebagai contoh, dalam daya termampat Q rod dimuatkan tambahan dengan daya ricih R, walaupun dengan pesongan kecil δ satu titik tambahan timbul M = Qδ, yang menjadikan masalah tidak linear. Dalam kes sedemikian, jumlah pesongan bukanlah fungsi linear daya dan tidak boleh diperolehi dengan superposisi mudah.

Telah terbukti secara eksperimen bahawa jika tegasan ricih bertindak di sepanjang semua muka unsur, maka herotan sudut sepadan hanya bergantung pada komponen tegasan ricih yang sepadan.

berterusan G dipanggil modulus keanjalan ricih atau modulus ricih.

Kes umum ubah bentuk unsur akibat tindakan tiga komponen tegasan normal dan tiga tangensial ke atasnya boleh diperoleh menggunakan superposisi: tiga ubah bentuk ricih, ditentukan oleh hubungan (5.2b), ditindih pada tiga ubah bentuk linear yang ditentukan oleh ungkapan ( 5.2a). Persamaan (5.2a) dan (5.2b) menentukan hubungan antara komponen terikan dan tegasan dan dipanggil generalisasi undang-undang Hooke. Mari kita tunjukkan bahawa modulus ricih G dinyatakan dalam sebutan modulus tegangan keanjalan E dan nisbah Poisson μ . Untuk melakukan ini, pertimbangkan kes khas apabila σ x = σ , σy = -σ Dan σ z = 0.

Mari kita potong elemen abcd satah selari dengan paksi z dan condong pada sudut 45° kepada paksi X Dan di(Gamb. 3). Seperti berikut daripada keadaan keseimbangan unsur 0 bс, tekanan biasa σ v pada semua muka unsur abcd adalah sama dengan sifar, dan tegasan ricih adalah sama

Keadaan ketegangan ini dipanggil ricih tulen. Daripada persamaan (5.2a) ia mengikutinya

iaitu lanjutan unsur mendatar ialah 0 c sama dengan pemendekan unsur menegak 0 b: εy = -ε x.

Sudut antara muka ab Dan bc perubahan, dan nilai terikan ricih yang sepadan γ boleh didapati dari segi tiga 0 bс:

Ia berikutan itu

Tindakan daya luar pada jasad pepejal membawa kepada berlakunya tegasan dan ubah bentuk pada titik dalam isipadunya. Dalam kes ini, keadaan tertekan pada satu titik, hubungan antara tegasan pada kawasan berbeza yang melalui titik ini, ditentukan oleh persamaan statik dan tidak bergantung pada sifat fizikal bahan. Keadaan cacat, hubungan antara anjakan dan ubah bentuk, ditubuhkan menggunakan pertimbangan geometri atau kinematik dan juga tidak bergantung pada sifat bahan. Untuk mewujudkan hubungan antara tegasan dan terikan, adalah perlu untuk mengambil kira sifat sebenar bahan dan keadaan pemuatan. Model matematik yang menerangkan hubungan antara tegasan dan regangan dibangunkan berdasarkan data eksperimen. Model ini mesti mencerminkan sifat sebenar bahan dan keadaan pemuatan dengan tahap ketepatan yang mencukupi.

Model yang paling biasa untuk bahan struktur ialah keanjalan dan keplastikan. Keanjalan ialah sifat badan untuk menukar bentuk dan saiz di bawah pengaruh beban luaran dan memulihkan konfigurasi asalnya apabila beban dikeluarkan. Secara matematik, sifat keanjalan dinyatakan dalam penubuhan hubungan fungsi satu dengan satu antara komponen tensor tegasan dan tensor terikan. Sifat keanjalan mencerminkan bukan sahaja sifat bahan, tetapi juga keadaan pemuatan. Bagi kebanyakan bahan struktur, sifat keanjalan menunjukkan dirinya pada nilai sederhana daya luaran yang membawa kepada ubah bentuk kecil, dan pada kadar pemuatan yang rendah, apabila kehilangan tenaga akibat kesan suhu boleh diabaikan. Bahan dipanggil keanjalan linear jika komponen tensor tegasan dan tensor terikan dikaitkan dengan hubungan linear.

Pada tahap pemuatan yang tinggi, apabila ubah bentuk yang ketara berlaku di dalam badan, bahan itu kehilangan sebahagian sifat keanjalannya: apabila dipunggah, dimensi dan bentuk asalnya tidak dipulihkan sepenuhnya, dan apabila beban luaran dikeluarkan sepenuhnya, ubah bentuk sisa direkodkan. Dalam kes ini hubungan antara tekanan dan regangan tidak lagi jelas. Sifat material ini dipanggil keplastikan. Ubah bentuk sisa yang terkumpul semasa ubah bentuk plastik dipanggil plastik.

Tahap beban yang tinggi boleh menyebabkan kemusnahan, iaitu pembahagian badan kepada bahagian-bahagian. Pepejal yang diperbuat daripada bahan yang berbeza gagal pada jumlah ubah bentuk yang berbeza. Patah rapuh pada ubah bentuk kecil dan berlaku, sebagai peraturan, tanpa ubah bentuk plastik yang ketara. Kemusnahan sedemikian adalah tipikal untuk besi tuang, keluli aloi, konkrit, kaca, seramik dan beberapa bahan struktur lain. Keluli karbon rendah, logam bukan ferus, dan plastik dicirikan oleh jenis plastik kegagalan dengan kehadiran ubah bentuk sisa yang ketara. Walau bagaimanapun, pembahagian bahan kepada rapuh dan mulur mengikut sifat pemusnahannya adalah sangat sewenang-wenangnya; ia biasanya merujuk kepada beberapa keadaan operasi standard. Bahan yang sama boleh bertindak, bergantung pada keadaan (suhu, sifat beban, teknologi pembuatan, dll.) sebagai rapuh atau mulur. Contohnya, bahan plastik pada suhu biasa terurai sebagai rapuh pada suhu rendah. Oleh itu, adalah lebih tepat untuk bercakap bukan tentang bahan rapuh dan plastik, tetapi tentang keadaan rapuh atau plastik bahan tersebut.

Biarkan bahan menjadi kenyal linear dan isotropik. Mari kita pertimbangkan isipadu asas di bawah keadaan keadaan tegasan uniaksial (Rajah 1), supaya tensor tegasan mempunyai bentuk

Dengan beban sedemikian, dimensi meningkat ke arah paksi Oh, dicirikan oleh ubah bentuk linear, yang berkadar dengan magnitud tegasan

Rajah 1. Keadaan tegasan unipaksi

Hubungan ini ialah tatatanda matematik undang-undang Hooke mewujudkan hubungan berkadar antara tegasan dan ubah bentuk linear yang sepadan dalam keadaan tegasan uniaksial. Pekali perkadaran E dipanggil modulus keanjalan longitudinal atau modulus Young. Ia mempunyai dimensi tekanan.

Bersama-sama dengan peningkatan saiz ke arah tindakan; Di bawah tegasan yang sama, pengurangan saiz berlaku dalam dua arah ortogon (Rajah 1). Kami menandakan ubah bentuk yang sepadan dengan dan , dan ubah bentuk ini adalah negatif manakala positif dan berkadar dengan:

Dengan tindakan serentak tegasan di sepanjang tiga paksi ortogon, apabila tiada tegasan tangen, prinsip superposisi (superposisi penyelesaian) adalah sah untuk bahan kenyal linear:

Dengan mengambil kira formula (1 4) kita perolehi

Tegasan tangen menyebabkan ubah bentuk sudut, dan pada ubah bentuk kecil ia tidak menjejaskan perubahan dalam dimensi linear, dan oleh itu ubah bentuk linear. Oleh itu, mereka juga sah dalam kes keadaan tekanan sewenang-wenangnya dan menyatakan apa yang dipanggil generalisasi undang-undang Hooke.

Ubah bentuk sudut disebabkan oleh tegasan tangen, dan ubah bentuk dan, masing-masing, oleh tegasan dan. Terdapat hubungan berkadar antara tegasan tangen yang sepadan dan ubah bentuk sudut untuk jasad isotropik elastik linear

yang menyatakan undang-undang Gunting Hooke. Faktor kekadaran G dipanggil modul ricih. Adalah penting bahawa tegasan biasa tidak menjejaskan ubah bentuk sudut, kerana dalam kes ini hanya dimensi linear segmen berubah, dan bukan sudut di antara mereka (Rajah 1).

Hubungan linear juga wujud antara tegasan purata (2.18), berkadar dengan invarian pertama tensor tegasan, dan terikan isipadu (2.32), bertepatan dengan invarian pertama tensor terikan:

Faktor perkadaran yang sepadan KEPADA dipanggil modulus keanjalan isipadu.

Formula (1 7) termasuk ciri keanjalan bahan E, , G Dan KEPADA, menentukan sifat elastiknya. Walau bagaimanapun, ciri-ciri ini tidak bebas. Untuk bahan isotropik, terdapat dua ciri anjal bebas, yang biasanya dipilih sebagai modulus anjal E dan nisbah Poisson. Untuk menyatakan modulus ricih G melalui E Dan , Mari kita pertimbangkan ubah bentuk ricih satah di bawah tindakan tegasan tangen (Rajah 2). Untuk memudahkan pengiraan, kami menggunakan elemen segi empat sama dengan sisi A. Mari kita hitung tegasan utama , . Tegasan ini bertindak pada kawasan yang terletak pada sudut dengan kawasan asal. Daripada Rajah. 2 kita akan mencari hubungan antara ubah bentuk linear dalam arah tegasan dan ubah bentuk sudut . Diagonal utama rombus, mencirikan ubah bentuk, adalah sama dengan

Untuk ubah bentuk kecil

Mengambil kira hubungan ini

Sebelum ubah bentuk, pepenjuru ini mempunyai saiz . Kemudian kita akan mempunyai

Daripada hukum Hooke umum (5) kita perolehi

Perbandingan formula yang terhasil dengan tatatanda hukum Hooke untuk anjakan (6) memberikan

Hasilnya kita dapat

Membandingkan ungkapan ini dengan hukum volumetrik Hooke (7), kita sampai pada hasilnya

Ciri-ciri mekanikal E, , G Dan KEPADA ditemui selepas memproses data eksperimen daripada sampel ujian di bawah pelbagai jenis beban. Dari sudut fizikal, semua ciri ini tidak boleh negatif. Di samping itu, daripada ungkapan terakhir ia mengikuti bahawa nisbah Poisson untuk bahan isotropik tidak melebihi 1/2. Oleh itu, kita memperoleh sekatan berikut untuk pemalar elastik bahan isotropik:

Nilai had membawa kepada nilai had , yang sepadan dengan bahan tidak boleh mampat (at). Kesimpulannya, daripada hubungan keanjalan (5) kita menyatakan tegasan dari segi ubah bentuk. Mari kita tulis hubungan pertama (5) dalam borang

Menggunakan kesamaan (9) kita akan ada

Hubungan yang serupa boleh diperolehi untuk dan . Hasilnya kita dapat

Di sini kita menggunakan hubungan (8) untuk modulus ricih. Selain itu, penamaan

TENAGA POTENSI KEUBAHRUPAN Elastik

Mari kita pertimbangkan dahulu isipadu asas dV=dxdydz di bawah keadaan tegasan uniaksial (Rajah 1). Betulkan tapak secara mental x=0(Gamb. 3). Satu daya bertindak pada permukaan bertentangan . Daya ini berfungsi pada anjakan . Apabila voltan meningkat daripada paras sifar kepada nilai ubah bentuk yang sepadan disebabkan oleh hukum Hooke juga meningkat daripada sifar kepada nilai , dan kerja itu berkadar dengan rajah berlorek dalam Rajah. 4 petak: . Jika kita mengabaikan tenaga kinetik dan kerugian yang berkaitan dengan fenomena haba, elektromagnet dan lain-lain, maka, disebabkan oleh undang-undang pemuliharaan tenaga, kerja yang dilakukan akan berubah menjadi tenaga keupayaan, terkumpul semasa ubah bentuk: . Nilai Ф= dU/dV dipanggil tenaga potensi tertentu ubah bentuk, mempunyai maksud tenaga keupayaan yang terkumpul dalam satu unit isipadu jasad. Dalam kes keadaan tegasan uniaksial