8.2. ძირითადი კანონები, რომლებიც გამოიყენება მასალების სიძლიერეში

სტატიკური ურთიერთობები. ისინი იწერება შემდეგი წონასწორობის განტოლებების სახით.

ჰუკის კანონი ( 1678): რაც უფრო დიდია ძალა, მით უფრო დიდია დეფორმაცია და, უფრო მეტიც, ძალის პირდაპირპროპორციულია. ფიზიკურად, ეს ნიშნავს, რომ ყველა სხეული არის ზამბარები, მაგრამ დიდი სიმტკიცე. როდესაც სხივი უბრალოდ დაჭიმულია გრძივი ძალით ნ= ფეს კანონი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

Აქ
გრძივი ძალა, ლ- სხივის სიგრძე, ა- მისი განივი ფართობი, ე- პირველი ტიპის ელასტიურობის კოეფიციენტი ( იანგის მოდული).

დაძაბულობისა და დაძაბულობის ფორმულების გათვალისწინებით, ჰუკის კანონი იწერება შემდეგნაირად:
.

მსგავსი კავშირი შეინიშნება ექსპერიმენტებში ტანგენციალურ ძაბვებსა და ათვლის კუთხეს შორის:

.

გ დაურეკაათვლის მოდული , ნაკლებად ხშირად – მეორე სახის ელასტიური მოდული. ნებისმიერი კანონის მსგავსად, ჰუკის კანონსაც აქვს გამოყენების ლიმიტი. Ვოლტაჟი
, რომლის მიხედვითაც ჰუკის კანონი მოქმედებს, ე.წ პროპორციულობის ზღვარი(ეს არის ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებელი მასალების სიმტკიცეში).

მოდით გამოვხატოთ დამოკიდებულება  საწყისი  გრაფიკულად (სურ. 8.1). ამ სურათს ე.წ გაჭიმვის დიაგრამა . B წერტილის შემდეგ (ანუ ზე
) ეს დამოკიდებულება წყვეტს წრფივი.

ზე
გადმოტვირთვის შემდეგ სხეულში ჩნდება ნარჩენი დეფორმაციები, შესაბამისად დაურეკა ელასტიური ზღვარი .

როდესაც ძაბვა მიაღწევს მნიშვნელობას σ = σ t, ბევრი ლითონი იწყებს გამოვლენას ე.წ სითხე. ეს ნიშნავს, რომ მუდმივი დატვირთვის პირობებშიც კი მასალა აგრძელებს დეფორმაციას (ანუ იქცევა როგორც სითხე). გრაფიკულად, ეს ნიშნავს, რომ დიაგრამა არის აბსცისის პარალელურად (განყოფილება DL). ძაბვა σ t, რომლითაც მიედინება მასალა, ეწოდება მოსავლიანობის ძალა .

ზოგიერთი მასალა (წმ. 3 - სამშენებლო ფოლადი) ხანმოკლე ნაკადის შემდეგ კვლავ იწყებს წინააღმდეგობას. მასალის წინააღმდეგობა გრძელდება გარკვეულ მაქსიმალურ მნიშვნელობამდე σ pr, შემდეგ იწყება თანდათანობითი განადგურება. რაოდენობა σ pr ეწოდება დაჭიმვის სიმტკიცე (ფოლადის სინონიმი: ჭიმვის სიმტკიცე, ბეტონის - კუბური ან პრიზმული სიმტკიცე). ასევე გამოიყენება შემდეგი აღნიშვნები:

=რ ბ

ანალოგიური კავშირი შეინიშნება ცდებში ათვლის ძაბვებსა და თხრილებს შორის.

3) დუჰამელ-ნეუმანის კანონი (წრფივი ტემპერატურის გაფართოება):

ტემპერატურის სხვაობის არსებობისას სხეულები იცვლებიან ზომას და ამ ტემპერატურის სხვაობის პირდაპირპროპორციულად.

დაე იყოს ტემპერატურის სხვაობა
. მაშინ ეს კანონი ასე გამოიყურება:

Აქ α - ხაზოვანი თერმული გაფართოების კოეფიციენტი, ლ - ღეროს სიგრძე, Δ ლ- მისი გახანგრძლივება.

4) კრეფის კანონი .

კვლევამ აჩვენა, რომ ყველა მასალა ძალიან ჰეტეროგენულია მცირე ადგილებში. ფოლადის სქემატური სტრუქტურა ნაჩვენებია ნახ. 8.2-ში.

ზოგიერთ კომპონენტს აქვს სითხის თვისებები, ამიტომ დატვირთვის ქვეშ მყოფი ბევრი მასალა დროთა განმავლობაში დამატებით დრეკადობას იღებს
(სურ. 8.3.) (მეტალები მაღალ ტემპერატურაზე, ბეტონი, ხე, პლასტმასი - ნორმალურ ტემპერატურაზე). ამ ფენომენს ე.წ მიპარვამასალა.

სითხეების კანონი ასეთია: რაც უფრო დიდია ძალა, მით მეტია სითხეში სხეულის მოძრაობის სიჩქარე. თუ ეს ურთიერთობა წრფივია (ე.ი. ძალა სიჩქარის პროპორციულია), მაშინ ის შეიძლება დაიწეროს როგორც:

ე
თუ გადავალთ შედარებით ძალებზე და ფარდობით დრეკადებზე, მივიღებთ

აქ არის ინდექსი " კრ „ნიშნავს, რომ განიხილება დრეკადობის ის ნაწილი, რომელიც გამოწვეულია მასალის ცოცვით. მექანიკური მახასიათებლები სიბლანტის კოეფიციენტს უწოდებენ.

ენერგიის შენარჩუნების კანონი.

განვიხილოთ დატვირთული სხივი

მოდით შემოვიტანოთ წერტილის გადაადგილების კონცეფცია, მაგალითად,

- B წერტილის ვერტიკალური მოძრაობა;

- C წერტილის ჰორიზონტალური გადაადგილება.

უფლებამოსილებები
გარკვეული სამუშაოს შესრულებისას უ. იმის გათვალისწინებით, რომ ძალები
ვიწყებთ თანდათან ზრდას და თუ ვივარაუდებთ, რომ ისინი იზრდებიან გადაადგილების პროპორციულად, მივიღებთ:

.

კონსერვაციის კანონის მიხედვით: არც ერთი სამუშაო არ ქრება, ის იხარჯება სხვა სამუშაოს შესრულებაზე ან იქცევა სხვა ენერგიად (ენერგია- ეს ის საქმეა, რისი გაკეთებაც სხეულს შეუძლია.).

ძალების მუშაობა
, იხარჯება ჩვენს ორგანიზმში წარმოქმნილი ელასტიური ძალების წინააღმდეგობის დაძლევაზე. ამ სამუშაოს გამოსათვლელად გავითვალისწინებთ, რომ სხეული შეიძლება მივიჩნიოთ, რომ შედგება მცირე ელასტიური ნაწილაკებისგან. განვიხილოთ ერთი მათგანი:

ის ექვემდებარება დაძაბულობას მეზობელი ნაწილაკებისგან . შედეგად სტრესი იქნება

Გავლენის ქვეშ ნაწილაკი გახანგრძლივდება. განმარტების მიხედვით, დრეკადობა არის დრეკადობა სიგრძის ერთეულზე. შემდეგ:

მოდით გამოვთვალოთ სამუშაო dW, რასაც ძალა აკეთებს dN (აქ ასევე მხედველობაში მიიღება ძალები dNიწყებენ თანდათან მატებას და მატულობენ მოძრაობების პროპორციულად):

მთელი სხეულისთვის ვიღებთ:

.

Სამუშაო ვრომელიც ჩაიდინა , დაურეკა ელასტიური დეფორმაციის ენერგია.

ენერგიის შენარჩუნების კანონის მიხედვით:

6)პრინციპი შესაძლო მოძრაობები .

ეს არის ენერგიის შენარჩუნების კანონის დაწერის ერთ-ერთი ვარიანტი.

დაე ძალები იმოქმედონ სხივზე ფ 1 , ფ 2 , … . ისინი იწვევენ სხეულში წერტილების მოძრაობას
და ძაბვა
. მივცეთ სხეული დამატებითი მცირე შესაძლო მოძრაობები
. მექანიკაში, ფორმის აღნიშვნა
ნიშნავს ფრაზას „რაოდენობის შესაძლო ღირებულება ა" ეს შესაძლო მოძრაობები გამოიწვევს სხეულს დამატებითი შესაძლო დეფორმაციები
. ისინი გამოიწვევს დამატებითი გარე ძალების და სტრესის გამოჩენას
, δ.

მოდით გამოვთვალოთ გარე ძალების მუშაობა დამატებით შესაძლო მცირე გადაადგილებაზე:

Აქ
- იმ წერტილების დამატებითი მოძრაობები, რომლებზეც ძალები გამოიყენება ფ 1 , ფ 2 , …

კიდევ ერთხელ განვიხილოთ პატარა ელემენტი ჯვრის მონაკვეთით dA და სიგრძე ძ (იხ. სურ. 8.5. და 8.6.). განმარტების მიხედვით, დამატებითი დრეკადობა  ძამ ელემენტის გამოითვლება ფორმულით:

ძ=  ძ.

ელემენტის დაჭიმვის ძალა იქნება:

dN = (+δ) dA ≈  dA..

შიდა ძალების მუშაობა დამატებით გადაადგილებაზე გამოითვლება მცირე ელემენტისთვის შემდეგნაირად:

dW = dN  ძ = dA ძ =  dV

თან
ყველა მცირე ელემენტის დეფორმაციის ენერგიის შეჯამებით ვიღებთ მთლიან დეფორმაციის ენერგიას:

ენერგიის შენარჩუნების კანონი ვ = უიძლევა:

.

ეს თანაფარდობა ე.წ შესაძლო მოძრაობების პრინციპი(ასევე ეძახიან ვირტუალური მოძრაობების პრინციპი).ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც მოქმედებს ტანგენციალური სტრესებიც. შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ ეს დეფორმაციის ენერგიამდე ვდაემატება შემდეგი ტერმინი:

აქ  არის ათვლის ძაბვა,  არის მცირე ელემენტის გადაადგილება. მერე შესაძლო მოძრაობების პრინციპიმიიღებს ფორმას:

ენერგიის შენარჩუნების კანონის დაწერის წინა ფორმისგან განსხვავებით, აქ არ არსებობს ვარაუდი, რომ ძალები თანდათან მატულობენ და ისინი იზრდებიან გადაადგილების პროპორციულად.

7) პუასონის ეფექტი.

განვიხილოთ ნიმუშის დრეკადობის ნიმუში:

სხეულის ელემენტის შემცირების ფენომენი დრეკადობის მიმართულებით ეწოდება პუასონის ეფექტი.

ვიპოვოთ გრძივი ფარდობითი დეფორმაცია.

განივი ფარდობითი დეფორმაცია იქნება:

საწამლავის სიძლიერერაოდენობას ეწოდება:

იზოტროპული მასალებისთვის (ფოლადი, თუჯი, ბეტონი) პუასონის თანაფარდობა

ეს ნიშნავს, რომ განივი მიმართულებით დეფორმაცია ნაკლებიგრძივი

შენიშვნა : თანამედროვე ტექნოლოგიებს შეუძლია შექმნას კომპოზიტური მასალები პუასონის შეფარდებით >1, ანუ განივი დეფორმაცია უფრო დიდი იქნება ვიდრე გრძივი. მაგალითად, ეს ეხება მასალას, რომელიც გამაგრებულია ხისტი ბოჭკოებით დაბალი კუთხით
<<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине
, ე.ი. ნაკლები რაც უფრო დიდია პუასონის თანაფარდობა.

სურ.8.8. სურ.8.9

კიდევ უფრო გასაკვირია (სურ. 8.9.) ნაჩვენები მასალა და ასეთი გამაგრებისთვის არის პარადოქსული შედეგი - გრძივი დაჭიმულობა იწვევს სხეულის ზომის ზრდას განივი მიმართულებით.

8) განზოგადებული ჰუკის კანონი.

განვიხილოთ ელემენტი, რომელიც გადაჭიმულია გრძივი და განივი მიმართულებით. მოდით ვიპოვოთ დეფორმაცია, რომელიც ხდება ამ მიმართულებით.

გამოვთვალოთ დეფორმაცია მოქმედებიდან გამომდინარე :

განვიხილოთ დეფორმაცია მოქმედებიდან , რომელიც წარმოიქმნება პუასონის ეფექტის შედეგად:

მთლიანი დეფორმაცია იქნება:

თუ მოქმედებს და , შემდეგ კიდევ ერთი შემოკლება დაემატება x ღერძის მიმართულებით
.

აქედან გამომდინარე:

ანალოგიურად:

ამ ურთიერთობებს ე.წ განზოგადებული ჰუკის კანონი.

საინტერესოა, რომ ჰუკის კანონის წერისას კეთდება ვარაუდი დრეკადობის შტამების დამოუკიდებლობის შესახებ ათვლის ძაბვისგან (დამოუკიდებლობის შესახებ ათვლის ძაბვისგან, რაც იგივეა) და პირიქით. ექსპერიმენტები კარგად ადასტურებს ამ ვარაუდებს. წინ რომ ვუყურებთ, აღვნიშნავთ, რომ ძალა, პირიქით, ძლიერ არის დამოკიდებული ტანგენციალური და ნორმალური სტრესების ერთობლიობაზე.

Შენიშვნა: ზემოაღნიშნული კანონები და ვარაუდები დასტურდება მრავალი პირდაპირი და არაპირდაპირი ექსპერიმენტით, მაგრამ, როგორც ყველა სხვა კანონს, მათ აქვთ შეზღუდული მოქმედების სფერო.

მოგეხსენებათ, ფიზიკა სწავლობს ბუნების ყველა კანონს: უმარტივესი ბუნების მეცნიერების ყველაზე ზოგად პრინციპებამდე. იმ სფეროებშიც კი, სადაც ჩანს, რომ ფიზიკას არ შეუძლია გაგება, ის მაინც უმთავრეს როლს ასრულებს და ყოველი უმცირესი კანონი, ყოველი პრინციპი - არაფერი გაურბის მას.

კონტაქტში

ეს არის ფიზიკა, რომელიც არის საფუძვლების საფუძველი; სწორედ ეს არის ყველა მეცნიერების სათავეში.

ფიზიკა სწავლობს ყველა სხეულის ურთიერთქმედებას,პარადოქსულად პატარაც და წარმოუდგენლად დიდიც. თანამედროვე ფიზიკა აქტიურად სწავლობს არა მხოლოდ პატარა, არამედ ჰიპოთეტურ სხეულებს და ეს ნათელს ჰფენს სამყაროს არსს.

ფიზიკა იყოფა განყოფილებებად,ეს ამარტივებს არა მხოლოდ თავად მეცნიერებას და მის გაგებას, არამედ კვლევის მეთოდოლოგიასაც. მექანიკა ეხება სხეულების მოძრაობას და მოძრავი სხეულების ურთიერთქმედებას, თერმოდინამიკა ეხება თერმულ პროცესებს, ელექტროდინამიკა ეხება ელექტრულ პროცესებს.

რატომ უნდა შეისწავლოს მექანიკა დეფორმაციას?

შეკუმშვაზე ან დაძაბულობაზე საუბრისას საკუთარ თავს უნდა დაუსვათ კითხვა: ფიზიკის რომელმა დარგმა უნდა შეისწავლოს ეს პროცესი? ძლიერი დამახინჯებით შეიძლება სითბოს გამოყოფა, იქნებ თერმოდინამიკა უნდა გაუმკლავდეს ამ პროცესებს? ხანდახან სითხეების შეკუმშვისას ის იწყებს დუღილს, ხოლო გაზების შეკუმშვისას წარმოიქმნება სითხეები? მაშ, უნდა ესმოდეს ჰიდროდინამიკას დეფორმაცია? თუ მოლეკულური კინეტიკური თეორია?

Ყველაფერი დამოკიდებულია დეფორმაციის ძალაზე, მის ხარისხზე.თუ დეფორმირებადი საშუალება (მასალა, რომელიც შეკუმშულია ან დაჭიმულია) საშუალებას იძლევა და შეკუმშვა მცირეა, აზრი აქვს ამ პროცესის განხილვას, როგორც სხეულის ზოგიერთი წერტილის მოძრაობას სხვებთან შედარებით.

და რადგან კითხვა წმინდა დაკავშირებულია, ეს ნიშნავს, რომ მექანიკა გაუმკლავდება მას.

ჰუკის კანონი და მისი შესრულების პირობა

1660 წელს ცნობილმა ინგლისელმა მეცნიერმა რობერტ ჰუკმა აღმოაჩინა ფენომენი, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას დეფორმაციის პროცესის მექანიკურად აღწერისთვის.

იმის გასაგებად, თუ რა პირობებშია დაკმაყოფილებული ჰუკის კანონი, შემოვიფარგლოთ ორი პარამეტრით:

• ოთხშაბათი;
• ძალა.

არსებობს მედია (მაგალითად, აირები, სითხეები, განსაკუთრებით ბლანტი სითხეები მყარ მდგომარეობებთან ახლოს ან, პირიქით, ძალიან თხევადი სითხეები), რომელთათვის პროცესის მექანიკურად აღწერა შეუძლებელია. პირიქით, არის გარემო, სადაც საკმარისად დიდი ძალებით მექანიკა წყვეტს „მუშაობას“.

Მნიშვნელოვანი!კითხვაზე: „რა პირობებშია ჰუკის კანონი ჭეშმარიტი?“ შეიძლება იყოს გარკვეული პასუხი: „მცირე დეფორმაციებისას“.

ჰუკის კანონი, განმარტება: დეფორმაცია, რომელიც ხდება სხეულში, პირდაპირპროპორციულია იმ ძალისა, რომელიც იწვევს ამ დეფორმაციას.

ბუნებრივია, ეს განმარტება გულისხმობს, რომ:

• შეკუმშვა ან გაჭიმვა მცირეა;
• ელასტიური ობიექტი;
• იგი შედგება მასალისგან, რომელშიც არ არის არაწრფივი პროცესები შეკუმშვის ან დაჭიმვის შედეგად.

ჰუკის კანონი მათემატიკური ფორმით

ჰუკის ფორმულირება, რომელიც ზემოთ მოვიყვანეთ, შესაძლებელს ხდის მის დაწერას შემდეგი ფორმით:

სადაც არის სხეულის სიგრძის ცვლილება შეკუმშვის ან გაჭიმვის გამო, F არის სხეულზე მიყენებული ძალა და იწვევს დეფორმაციას (ელასტიური ძალა), k არის დრეკადობის კოეფიციენტი, რომელიც იზომება N/m-ში.

უნდა გვახსოვდეს, რომ ჰუკის კანონი მოქმედებს მხოლოდ მცირე მონაკვეთებისთვის.

ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ, რომ მას აქვს იგივე გარეგნობა, როდესაც დაჭიმული და შეკუმშული. იმის გათვალისწინებით, რომ ძალა არის ვექტორული სიდიდე და აქვს მიმართულება, მაშინ შეკუმშვის შემთხვევაში უფრო ზუსტი იქნება შემდეგი ფორმულა:

მაგრამ ისევ, ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ სად იქნება მიმართული ღერძი, რომლის მიმართაც თქვენ გაზომავთ.

რა არის ფუნდამენტური განსხვავება შეკუმშვასა და გაფართოებას შორის? არაფერი თუ უმნიშვნელოა.

გამოყენების ხარისხი შეიძლება ჩაითვალოს შემდეგნაირად:

ყურადღება მივაქციოთ გრაფიკს. როგორც ვხედავთ, მცირე გაჭიმვებით (კოორდინატების პირველი მეოთხედი) დიდი ხნის განმავლობაში ძალას კოორდინატთან აქვს წრფივი მიმართება (წითელი ხაზი), მაგრამ შემდეგ რეალური ურთიერთობა (წერტილი ხაზი) ​​ხდება არაწრფივი და კანონი წყვეტს სიმართლეს. პრაქტიკაში, ეს აისახება ისეთი ძლიერი გაჭიმვით, რომ ზამბარა წყვეტს თავდაპირველ მდგომარეობაში დაბრუნებას და კარგავს თავის თვისებებს. კიდევ უფრო გაჭიმვით ხდება მოტეხილობა და სტრუქტურა იშლებამასალა.

მცირე შეკუმშვით (კოორდინატების მესამე მეოთხედი) დიდი ხნის განმავლობაში კოორდინატთან ძალას ასევე აქვს წრფივი კავშირი (წითელი ხაზი), მაგრამ შემდეგ რეალური ურთიერთობა (წერტილი ხაზი) ​​ხდება არაწრფივი და ყველაფერი ისევ წყვეტს მუშაობას. პრაქტიკაში, ეს იწვევს ისეთ ძლიერ შეკუმშვას, რომ სითბოს გათავისუფლება იწყებადა გაზაფხული კარგავს თავის თვისებებს. კიდევ უფრო დიდი შეკუმშვით, ზამბარის ხვეულები „ერთად იკვრება“ და ის იწყებს ვერტიკალურად დეფორმაციას და შემდეგ მთლიანად დნება.

როგორც ხედავთ, კანონის გამოხატვის ფორმულა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ძალა, იცოდეთ სხეულის სიგრძის ცვლილება, ან, ელასტიური ძალის ცოდნით, გაზომოთ სიგრძის ცვლილება:

ასევე, ზოგიერთ შემთხვევაში, შეგიძლიათ იპოვოთ ელასტიურობის კოეფიციენტი. იმის გასაგებად, თუ როგორ კეთდება ეს, განიხილეთ დავალების მაგალითი:

ზამბართან დაკავშირებულია დინამომეტრი. იგი 20-იანი ძალის გამოყენებით იყო დაჭიმული, რის გამოც იგი 1 მეტრის სიგრძის გახდა. შემდეგ გაათავისუფლეს, დაელოდნენ სანამ ვიბრაცია შეჩერდებოდა და ის ნორმალურ მდგომარეობას დაუბრუნდა. ნორმალურ მდგომარეობაში მისი სიგრძე 87,5 სანტიმეტრი იყო. შევეცადოთ გავარკვიოთ რა მასალისგან არის დამზადებული ზამბარა.

ვიპოვოთ ზამბარის დეფორმაციის რიცხვითი მნიშვნელობა:

აქედან შეგვიძლია გამოვხატოთ კოეფიციენტის მნიშვნელობა:

ცხრილის დათვალიერებისას, ჩვენ შეგვიძლია აღმოვაჩინოთ, რომ ეს მაჩვენებელი შეესაბამება გაზაფხულზე ფოლადს.

პრობლემა ელასტიურობის კოეფიციენტთან

ფიზიკა, როგორც ვიცით, ძალიან ზუსტი მეცნიერებაა, უფრო მეტიც, ის იმდენად ზუსტია, რომ მან შექმნა მთელი გამოყენებითი მეცნიერებები, რომლებიც ზომავს შეცდომებს. ურყევი სიზუსტის მოდელი, მას არ შეუძლია იყოს მოუხერხებელი.

პრაქტიკა გვიჩვენებს, რომ ხაზოვანი დამოკიდებულება, რომელიც ჩვენ განვიხილეთ, სხვა არაფერია ჰუკის კანონი თხელი და დაჭიმვის ღეროსთვის.მხოლოდ გამონაკლისის სახით შეიძლება მისი გამოყენება ზამბარებისთვის, მაგრამ ესეც არასასურველია.

გამოდის, რომ კოეფიციენტი k არის ცვლადი მნიშვნელობა, რომელიც დამოკიდებულია არა მხოლოდ იმაზე, თუ რა მასალისგან არის დამზადებული სხეული, არამედ დიამეტრზე და მის ხაზოვან ზომებზე.

ამ მიზეზით, ჩვენი დასკვნები მოითხოვს დაზუსტებას და განვითარებას, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში, ფორმულა:

შეიძლება ეწოდოს სხვა არაფერი, თუ არა დამოკიდებულება სამ ცვლადს შორის.

იანგის მოდული

შევეცადოთ გაერკვნენ ელასტიურობის კოეფიციენტი. ეს პარამეტრი, როგორც გავარკვიეთ, დამოკიდებულია სამ რაოდენობაზე:

• მასალა (რომელიც საკმაოდ კარგად გვერგება);
• სიგრძე L (რაც მიუთითებს მის დამოკიდებულებაზე);
• ტერიტორია ს.

Მნიშვნელოვანი!ამრიგად, თუ მოვახერხებთ როგორმე „გამოვყოთ“ სიგრძე L და ფართობი S კოეფიციენტისგან, მაშინ მივიღებთ კოეფიციენტს, რომელიც მთლიანად დამოკიდებულია მასალაზე.

რაც ჩვენ ვიცით:

• რაც უფრო დიდია სხეულის განივი ფართობი, მით მეტია k კოეფიციენტი და დამოკიდებულება ხაზოვანი;
• რაც უფრო დიდია სხეულის სიგრძე, მით ნაკლებია k კოეფიციენტი და დამოკიდებულება უკუპროპორციულია.

ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ელასტიურობის კოეფიციენტი ამ გზით:

სადაც E არის ახალი კოეფიციენტი, რომელიც ახლა ზუსტად დამოკიდებულია მხოლოდ მასალის ტიპზე.

მოდით წარმოვიდგინოთ "ფარდობითი დრეკადობის" კონცეფცია:

. 

დასკვნა

ჩამოვაყალიბოთ ჰუკის კანონი დაძაბულობისა და შეკუმშვის შესახებ: მცირე შეკუმშვისთვის ნორმალური სტრესი დრეკადობის პირდაპირპროპორციულია.

კოეფიციენტს E ეწოდება იანგის მოდული და დამოკიდებულია მხოლოდ მასალაზე.

დაკვირვებები აჩვენებს, რომ ელასტიური სხეულების უმეტესობისთვის, როგორიცაა ფოლადი, ბრინჯაო, ხე და ა.შ., დეფორმაციების სიდიდე პროპორციულია მოქმედი ძალების სიდიდისა. ამ თვისების ახსნის ტიპიური მაგალითია ზამბარის ბალანსი, რომელშიც ზამბარის გახანგრძლივება მოქმედი ძალის პროპორციულია. ეს ჩანს იქიდან, რომ ასეთი სასწორების გაყოფის სკალა ერთგვაროვანია. როგორც დრეკადი სხეულების ზოგადი თვისება, ძალასა და დეფორმაციას შორის პროპორციულობის კანონი პირველად ჩამოაყალიბა რ. ჰუკმა 1660 წელს და გამოაქვეყნა 1678 წელს ნაშრომში „De potentia restitutiva“. ამ კანონის თანამედროვე ფორმულირებაში განიხილება არა მათი გამოყენების წერტილების ძალები და მოძრაობები, არამედ სტრესი და დეფორმაცია.

ამრიგად, სუფთა დაძაბულობისთვის ვარაუდობენ:

აქ არის ნებისმიერი სეგმენტის ფარდობითი დრეკადობა, რომელიც აღებულია გაჭიმვის მიმართულებით. მაგალითად, თუ ნეკნები ნაჩვენებია ნახ. 11 პრიზმები დატვირთვის გამოყენებამდე იყო a, b და c, როგორც ეს ნახაზზეა ნაჩვენები, ხოლო დეფორმაციის შემდეგ ისინი იქნება შესაბამისად, შემდეგ .

მუდმივ E-ს, რომელსაც აქვს დაძაბულობის განზომილება, ეწოდება ელასტიური მოდული, ან იანგის მოდული.

მოქმედი სტრესების პარალელურად ელემენტების დაძაბვას თან ახლავს პერპენდიკულარული ელემენტების შეკუმშვა, ანუ ღეროს განივი ზომების შემცირება (განზომილებები ნახაზში). შედარებითი განივი დაძაბულობა

იქნება უარყოფითი მნიშვნელობა. გამოდის, რომ ელასტიურ სხეულში გრძივი და განივი დეფორმაციები დაკავშირებულია მუდმივი თანაფარდობით:

უგანზომილებიან რაოდენობას v, მუდმივი თითოეული მასალისთვის, ეწოდება გვერდითი შეკუმშვის კოეფიციენტი ან პუასონის თანაფარდობა. თავად პუასონი, თეორიული მოსაზრებებიდან გამომდინარე, რომელიც მოგვიანებით აღმოჩნდა არასწორი, თვლიდა, რომ ყველა მასალისთვის (1829). სინამდვილეში, ამ კოეფიციენტის მნიშვნელობები განსხვავებულია. დიახ, ფოლადისთვის

ბოლო ფორმულაში გამოხატვის ჩანაცვლებით მივიღებთ:

ჰუკის კანონი არ არის ზუსტი კანონი. ფოლადისთვის, პროპორციულობისგან გადახრები უმნიშვნელოა, ხოლო თუჯის ან კვეთის აშკარად არ ემორჩილება ამ კანონს. მათთვის და შეიძლება მიახლოება წრფივი ფუნქციით მხოლოდ უხეშ მიახლოებით.

დიდი ხნის განმავლობაში, მასალების სიძლიერე მხოლოდ მასალებს ეხებოდა, რომლებიც ემორჩილებიან ჰუკის კანონს, ხოლო მასალების სიძლიერის ფორმულების გამოყენება სხვა სხეულებზე მხოლოდ დიდი რეზერვის საშუალებით შეიძლებოდა. ამჟამად იწყება ელასტიურობის არაწრფივი კანონების შესწავლა და გამოყენება კონკრეტული ამოცანების გადასაჭრელად.

ჰუკის კანონიჩვეულებრივ უწოდებენ ხაზოვან ურთიერთობებს დაძაბულობის კომპონენტებსა და დაძაბულობის კომპონენტებს შორის.

ავიღოთ ელემენტარული მართკუთხა პარალელეპიპედი კოორდინატთა ღერძების პარალელურად, ნორმალური სტრესით დატვირთული სახეებით. σ x, თანაბრად გადანაწილებული ორ მოპირდაპირე სახეზე (ნახ. 1). სადაც σy = σ ზ = τ x y = τ x z = τ yz = 0.

პროპორციულობის ზღვრამდე ფარდობითი დრეკადობა მოცემულია ფორმულით

სად ე- ელასტიურობის დაძაბულობის მოდული. ფოლადისთვის ე = 2*10 5 მპამაშასადამე, დეფორმაციები ძალიან მცირეა და იზომება პროცენტულად ან 1 * 10 5 (დაძაბვის ლიანდაგ მოწყობილობებში, რომლებიც ზომავენ დეფორმაციას).

ელემენტის გაფართოება ღერძის მიმართულებით Xთან ახლავს მისი შევიწროება განივი მიმართულებით, რომელიც განისაზღვრება დეფორმაციის კომპონენტებით

სად μ - მუდმივი, რომელსაც ეწოდება გვერდითი შეკუმშვის კოეფიციენტი ან პუასონის თანაფარდობა. ფოლადისთვის μ ჩვეულებრივ მიღებულია 0.25-0.3.

თუ განსახილველი ელემენტი დატვირთულია ერთდროულად ნორმალური ძაბვებით σx, σy, σ ზ, თანაბრად ნაწილდება მის სახეებზე, შემდეგ ემატება დეფორმაციები

სამივე სტრესით გამოწვეული დეფორმაციის კომპონენტების ზედმეტად გადანაწილებით, ჩვენ ვიღებთ მიმართებებს

ეს ურთიერთობები დადასტურებულია მრავალი ექსპერიმენტით. Გამოყენებითი გადაფარვის მეთოდიან სუპერპოზიციებირამდენიმე ძალით გამოწვეული ჯამური დაძაბულობისა და დაძაბულობის პოვნა კანონიერია, სანამ დაძაბულობები და ძაბვები მცირეა და წრფივად არის დამოკიდებული გამოყენებულ ძალებზე. ასეთ შემთხვევებში ჩვენ უგულებელყოფთ დეფორმირებული სხეულის ზომებში მცირე ცვლილებებს და გარე ძალების გამოყენების წერტილების მცირე მოძრაობებს და ჩვენს გამოთვლებს ვაფუძნებთ სხეულის საწყის ზომებსა და საწყის ფორმას.

უნდა აღინიშნოს, რომ გადაადგილების სიმცირე სულაც არ ნიშნავს იმას, რომ ძალებსა და დეფორმაციებს შორის ურთიერთობა წრფივია. ასე, მაგალითად, შეკუმშულ ძალაში ქკვერთხი დამატებით დატვირთული ათვლის ძალით რ, თუნდაც მცირე გადახრის შემთხვევაში δ ჩნდება დამატებითი წერტილი მ = Qδ, რაც პრობლემას არაწრფივს ხდის. ასეთ შემთხვევებში, მთლიანი გადახრები არ არის ძალების წრფივი ფუნქციები და არ შეიძლება მიღებულ იქნეს მარტივი სუპერპოზიციით.

ექსპერიმენტულად დადგენილია, რომ თუ ათვლის ძაბვები მოქმედებს ელემენტის ყველა სახის გასწვრივ, მაშინ შესაბამისი კუთხის დამახინჯება დამოკიდებულია მხოლოდ ათვლის ძაბვის შესაბამის კომპონენტებზე.

მუდმივი გელასტიურობის ათვლის მოდული ან ათვლის მოდული ეწოდება.

ელემენტის დეფორმაციის ზოგადი შემთხვევა მასზე სამი ნორმალური და სამი ტანგენციალური დაძაბულობის კომპონენტის მოქმედების გამო შეიძლება მიღებულ იქნას სუპერპოზიციის გამოყენებით: სამი ათვლის დეფორმაცია, განსაზღვრული მიმართებებით (5.2b), ზედმიწევნითია გამოსახულებებით განსაზღვრულ სამ წრფივ დეფორმაციაზე ( 5.2a). განტოლებები (5.2a) და (5.2b) განსაზღვრავს ურთიერთობას დაძაბულობის კომპონენტებსა და დაძაბულობებს შორის და ე.წ. განზოგადებული ჰუკის კანონი. ახლა ვაჩვენოთ, რომ ათვლის მოდული გგამოხატულია ელასტიურობის დაჭიმვის მოდულის მიხედვით ედა პუასონის თანაფარდობა μ . ამისათვის განიხილეთ განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც σ x = σ , σy = -σ და σ ზ = 0.

მოდით ამოვჭრათ ელემენტი ა ბ გ დსიბრტყეები ღერძის პარალელურად ზდა ღერძებთან 45° კუთხით დახრილი Xდა ზე(ნახ. 3). როგორც ჩანს 0 ელემენტის წონასწორობის პირობებიდან ბსნორმალური სტრესი σ ველემენტის ყველა სახეზე ა ბ გ დნულის ტოლია და ათვლის ძაბვები ტოლია

დაძაბულობის ამ მდგომარეობას ე.წ სუფთა თხრილი. (5.2a) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ

ანუ ჰორიზონტალური ელემენტის გაფართოება არის 0 გტოლია ვერტიკალური ელემენტის შემცირების 0 ბ: ეy = -ε x.

კუთხე სახეებს შორის აბდა ძვ.წიცვლება და შესაბამისი ათვლის დაძაბვის მნიშვნელობა γ შეგიძლიათ იპოვოთ სამკუთხედი 0-დან ბს:

Აქედან გამომდინარეობს, რომ

გარე ძალების მოქმედება მყარ სხეულზე იწვევს დაძაბულობის და დეფორმაციის წარმოქმნას მისი მოცულობის წერტილებში. ამ შემთხვევაში, დაძაბული მდგომარეობა წერტილში, ამ წერტილში გამავალ სხვადასხვა უბნებზე დაძაბულობის ურთიერთობა განისაზღვრება სტატიკის განტოლებებით და არ არის დამოკიდებული მასალის ფიზიკურ თვისებებზე. დეფორმირებული მდგომარეობა, გადაადგილებასა და დეფორმაციებს შორის ურთიერთობა, დადგენილია გეომეტრიული ან კინემატიკური მოსაზრებების გამოყენებით და ასევე არ არის დამოკიდებული მასალის თვისებებზე. ძაბვებსა და დაძაბულობებს შორის კავშირის დასამყარებლად აუცილებელია მასალის ფაქტობრივი თვისებების და დატვირთვის პირობების გათვალისწინება. მათემატიკური მოდელები, რომლებიც აღწერს დაძაბულობასა და დაძაბულობას შორის კავშირებს, შემუშავებულია ექსპერიმენტულ მონაცემებზე დაყრდნობით. ეს მოდელები უნდა ასახავდეს მასალების რეალურ თვისებებს და დატვირთვის პირობებს საკმარისი სიზუსტით.

სტრუქტურული მასალების ყველაზე გავრცელებული მოდელებია ელასტიურობა და პლასტიურობა. ელასტიურობა არის სხეულის თვისება შეცვალოს ფორმა და ზომა გარე დატვირთვების გავლენის ქვეშ და აღადგინოს თავდაპირველი კონფიგურაცია დატვირთვის მოხსნისას. მათემატიკურად, ელასტიურობის თვისება გამოიხატება დაძაბულობის ტენზორის კომპონენტებსა და დაძაბულობის ტენზორის კომპონენტებს შორის ერთი-ერთზე ფუნქციური ურთიერთობის დამყარებაში. ელასტიურობის თვისება ასახავს არა მხოლოდ მასალების თვისებებს, არამედ დატვირთვის პირობებსაც. სტრუქტურული მასალების უმეტესობისთვის, ელასტიურობის თვისება ვლინდება გარე ძალების ზომიერი მნიშვნელობებით, რაც იწვევს მცირე დეფორმაციას და დატვირთვის დაბალი სიჩქარით, როდესაც ტემპერატურის ზემოქმედების გამო ენერგიის დანაკარგები უმნიშვნელოა. მასალას ეწოდება წრფივი დრეკადი, თუ დაძაბულობის ტენზორის და დაძაბულობის ტენზორის კომპონენტები დაკავშირებულია წრფივი ურთიერთობებით.

დატვირთვის მაღალ დონეზე, როდესაც ხდება მნიშვნელოვანი დეფორმაციები სხეულში, მასალა ნაწილობრივ კარგავს თავის ელასტიურ თვისებებს: გადმოტვირთვისას მისი პირვანდელი ზომები და ფორმა სრულად არ აღდგება, ხოლო როდესაც გარე დატვირთვები მთლიანად მოიხსნება, აღირიცხება ნარჩენი დეფორმაციები. Ამ შემთხვევაში სტრესებსა და დაძაბულობებს შორის ურთიერთობა წყვეტს ერთმნიშვნელოვანს. ამ მატერიალურ თვისებას ე.წ პლასტიურობა.პლასტიკური დეფორმაციის დროს დაგროვილ ნარჩენ დეფორმაციებს პლასტიკა ეწოდება.

დატვირთვის მაღალმა დონემ შეიძლება გამოიწვიოს განადგურება, ანუ სხეულის ნაწილებად დაყოფა.სხვადასხვა მასალისგან დამზადებული მყარი ნაწილაკები სხვადასხვა რაოდენობით დეფორმაციის დროს იშლება. მოტეხილობა მყიფეა მცირე დეფორმაციების დროს და ხდება, როგორც წესი, შესამჩნევი პლასტიკური დეფორმაციების გარეშე. ასეთი განადგურება დამახასიათებელია თუჯის, შენადნობის ფოლადებისთვის, ბეტონის, მინის, კერამიკისა და ზოგიერთი სხვა სტრუქტურული მასალისთვის. დაბალნახშირბადოვანი ფოლადები, ფერადი ლითონები და პლასტმასები ხასიათდება პლასტიკური ტიპის უკმარისობით მნიშვნელოვანი ნარჩენი დეფორმაციების არსებობისას. თუმცა, მასალების დაყოფა მყიფე და დნობად მათი განადგურების ბუნების მიხედვით ძალზე თვითნებურია; ეს ჩვეულებრივ ეხება ზოგიერთ სტანდარტულ საოპერაციო პირობებს. ერთი და იგივე მასალა შეიძლება მოიქცეს, პირობებიდან გამომდინარე (ტემპერატურა, დატვირთვის ბუნება, წარმოების ტექნოლოგია და ა.შ.), როგორც მყიფე ან დრეკადი. მაგალითად, მასალები, რომლებიც პლასტიკურია ნორმალურ ტემპერატურაზე, იშლება როგორც მტვრევადი დაბალ ტემპერატურაზე. აქედან გამომდინარე, უფრო სწორია საუბარი არა მყიფე და პლასტმასის მასალებზე, არამედ მასალის მყიფე ან პლასტმასის მდგომარეობაზე.

დაე, მასალა იყოს ხაზოვანი ელასტიური და იზოტროპული. განვიხილოთ ელემენტარული მოცულობა ცალღერძული დაძაბულობის მდგომარეობის პირობებში (ნახ. 1), ისე რომ დაძაბულობის ტენზორს ჰქონდეს ფორმა

ასეთი დატვირთვით, ზომები იზრდება ღერძის მიმართულებით ოჰ,ახასიათებს წრფივი დეფორმაცია, რომელიც პროპორციულია დაძაბულობის სიდიდისა

ნახ.1.ცალმხრივი სტრესის მდგომარეობა

ეს კავშირი მათემატიკური აღნიშვნაა ჰუკის კანონიცალღერძულ დაძაბულ მდგომარეობაში ძაბვასა და შესაბამის ხაზოვან დეფორმაციას შორის პროპორციული ურთიერთობის დამყარება. პროპორციულობის კოეფიციენტს E ეწოდება ელასტიურობის გრძივი მოდული ან იანგის მოდული.მას აქვს სტრესის განზომილება.

ზომების მატებასთან ერთად მოქმედების მიმართულებით; იმავე სტრესის პირობებში, ზომის შემცირება ხდება ორი ორთოგონალური მიმართულებით (ნახ. 1). შესაბამის დეფორმაციებს აღვნიშნავთ და და ეს დეფორმაციები უარყოფითია, ხოლო დადებითი და პროპორციულია:

სამი ორთოგონალური ღერძის გასწვრივ ძაბვების ერთდროული მოქმედებით, როდესაც არ არის ტანგენციალური ძაბვები, სუპერპოზიციის პრინციპი მოქმედებს ხაზოვანი ელასტიური მასალისთვის:

(1 4) ფორმულების გათვალისწინებით ვიღებთ

ტანგენციალური ძაბვები იწვევს კუთხურ დეფორმაციებს და მცირე დეფორმაციების დროს ისინი გავლენას არ ახდენენ ხაზოვანი ზომების ცვლილებაზე და, შესაბამისად, ხაზოვან დეფორმაციებზე. მაშასადამე, ისინი მოქმედებს თვითნებური სტრესული მდგომარეობის დროსაც და გამოხატავენ ე.წ განზოგადებული ჰუკის კანონი.

კუთხოვანი დეფორმაცია გამოწვეულია ტანგენციალური სტრესით, ხოლო დეფორმაცია და, შესაბამისად, ძაბვები და. არსებობს პროპორციული ურთიერთობები შესაბამის ტანგენციალურ ძაბვებსა და კუთხურ დეფორმაციებს შორის ხაზოვანი დრეკად იზოტროპული სხეულისთვის.

რომლებიც გამოხატავენ კანონს ჰუკის მაკრატელი.პროპორციულობის ფაქტორი G ეწოდება ათვლის მოდული.მნიშვნელოვანია, რომ ნორმალური ძაბვა არ იმოქმედოს კუთხურ დეფორმაციებზე, ვინაიდან ამ შემთხვევაში იცვლება მხოლოდ სეგმენტების წრფივი ზომები და არა მათ შორის კუთხეები (ნახ. 1).

ასევე არსებობს წრფივი კავშირი საშუალო სტრესს (2.18), რომელიც პროპორციულია დაძაბულობის ტენზორის პირველი ინვარიანტისა და მოცულობითი დაძაბულობის (2.32) შორის, რომელიც ემთხვევა დაძაბულობის ტენზორის პირველ ინვარიანტს:

შესაბამისი პროპორციულობის ფაქტორი TOდაურეკა ელასტიურობის მოცულობითი მოდული.

ფორმულები (1 7) მოიცავს მასალის ელასტიურ მახასიათებლებს E, , გდა TO,მისი ელასტიური თვისებების განსაზღვრა. თუმცა, ეს მახასიათებლები არ არის დამოუკიდებელი. იზოტროპული მასალისთვის არსებობს ორი დამოუკიდებელი ელასტიური მახასიათებელი, რომლებიც ჩვეულებრივ არჩეულია დრეკადობის მოდულად. ედა პუასონის თანაფარდობა. ათვლის მოდულის გამოსახატავად გმეშვეობით ედა , განვიხილოთ სიბრტყის ათვლის დეფორმაცია ტანგენციალური დაძაბულობების მოქმედებით (ნახ. 2). გამოთვლების გასამარტივებლად ვიყენებთ კვადრატულ ელემენტს გვერდით ა.მოდით გამოვთვალოთ ძირითადი სტრესები , . ეს სტრესი მოქმედებს უბნებზე, რომლებიც მდებარეობს თავდაპირველი უბნების კუთხით. ნახ. 2 ჩვენ ვიპოვით ურთიერთობას ხაზოვან დეფორმაციას დაძაბულობის მიმართულებით და კუთხოვანი დეფორმაციის მიმართ . რომბის ძირითადი დიაგონალი, რომელიც ახასიათებს დეფორმაციას, ტოლია

მცირე დეფორმაციისთვის

ამ ურთიერთობების გათვალისწინებით

დეფორმაციამდე ამ დიაგონალს ჰქონდა ზომა . მაშინ გვექნება

ჰუკის განზოგადებული კანონიდან (5) ვიღებთ

მიღებული ფორმულის შედარება ჰუკის კანონის აღნიშვნასთან ცვლაზე (6) იძლევა

შედეგად ვიღებთ

ამ გამოთქმის შედარებისას ჰუკის მოცულობით კანონს (7), მივდივართ შედეგამდე

მექანიკური მახასიათებლები E, , გდა TOაღმოჩენილია ექსპერიმენტული მონაცემების დამუშავების შემდეგ ტესტირების ნიმუშები სხვადასხვა ტიპის დატვირთვის ქვეშ. ფიზიკური თვალსაზრისით, ყველა ეს მახასიათებელი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი. გარდა ამისა, ბოლო გამონათქვამიდან გამომდინარეობს, რომ პუასონის თანაფარდობა იზოტროპული მასალისთვის არ აღემატება 1/2-ს. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ შეზღუდვებს იზოტროპული მასალის ელასტიური მუდმივებისთვის:

ზღვრული მნიშვნელობა იწვევს ზღვრულ მნიშვნელობას , რომელიც შეესაბამება შეკუმშვის მასალას (at). დასასრულს, ელასტიურობის მიმართებებიდან (5) გამოვხატავთ სტრესს დეფორმაციის თვალსაზრისით. დავწეროთ (5) მიმართებებიდან პირველი ფორმაში

ტოლობის (9) გამოყენებით გვექნება

მსგავსი ურთიერთობები შეიძლება იყოს მიღებული და. შედეგად ვიღებთ

აქ ვიყენებთ მიმართებას (8) ათვლის მოდულისათვის. გარდა ამისა, აღნიშვნა

ელასტიური დეფორმაციის პოტენციური ენერგია

ჯერ განვიხილოთ ელემენტარული მოცულობა dV=dxdydzცალღეროვანი სტრესის პირობებში (ნახ. 1). გონებრივად გაასწორეთ საიტი x=0(ნახ. 3). ძალა მოქმედებს მოპირდაპირე ზედაპირზე . ეს ძალა მუშაობს გადაადგილებაზე . როდესაც ძაბვა იზრდება ნულიდან მნიშვნელობამდე ჰუკის კანონის გამო შესაბამისი დეფორმაცია ასევე იზრდება ნულიდან მნიშვნელობამდე , და ნამუშევარი პროპორციულია ნახ. 4 კვადრატი: . თუ ჩვენ უგულებელვყოფთ კინეტიკურ ენერგიას და დანაკარგებს, რომლებიც დაკავშირებულია თერმულ, ელექტრომაგნიტურ და სხვა მოვლენებთან, მაშინ, ენერგიის შენარჩუნების კანონის გამო, შესრულებული სამუშაო გადაიქცევა პოტენციური ენერგია,დეფორმაციის დროს დაგროვილი: . მნიშვნელობა Ф= dU/dVდაურეკა დეფორმაციის სპეციფიკური პოტენციური ენერგია,სხეულის ერთეულ მოცულობაში დაგროვილი პოტენციური ენერგიის მნიშვნელობის მქონე. ცალღეროვანი დაძაბულობის მდგომარეობის შემთხვევაში