8.2. Hukum dasar yang digunakan dalam kekuatan material

Hubungan statis. Ditulis dalam bentuk persamaan kesetimbangan berikut.

hukum Hooke ( 1678): semakin besar gaya, semakin besar pula deformasinya, dan terlebih lagi berbanding lurus dengan gaya. Secara fisik, ini berarti semua benda adalah pegas, tetapi dengan kekakuan yang tinggi. Ketika sebuah balok diregangkan secara sederhana oleh gaya longitudinal N= F hukum ini dapat ditulis sebagai:

Di Sini
gaya memanjang, aku- panjang balok, A- luas penampangnya, E- koefisien elastisitas jenis pertama ( modulus Young).

Dengan memperhatikan rumus tegangan dan regangan, hukum Hooke dituliskan sebagai berikut:
.

Hubungan serupa diamati dalam percobaan antara tegangan tangensial dan sudut geser:

.

G diteleponmodulus geser , lebih jarang – modulus elastisitas jenis kedua. Seperti hukum lainnya, hukum Hooke juga memiliki batas penerapannya. Tegangan
, sampai hukum Hooke berlaku, disebut batas proporsionalitas(ini adalah karakteristik terpenting dalam kekuatan material).

Mari kita gambarkan ketergantungannya  dari  secara grafis (Gbr. 8.1). Gambar ini disebut diagram regangan . Setelah titik B (yaitu pada
) ketergantungan ini tidak lagi linier.

Pada
setelah dibongkar, sisa deformasi muncul di tubuh ditelepon batas elastis .

Ketika tegangan mencapai nilai σ = σ t, banyak logam mulai menunjukkan sifat yang disebut ketidakstabilan. Ini berarti bahwa bahkan di bawah beban konstan, material terus berubah bentuk (yaitu berperilaku seperti cairan). Secara grafis berarti diagram sejajar dengan absis (bagian DL). Tegangan σ t di mana material mengalir disebut kekuatan hasil .

Beberapa bahan (St. 3 - baja konstruksi) setelah aliran singkat mulai menolak lagi. Ketahanan material berlanjut hingga nilai maksimum tertentu σ pr, kemudian kehancuran bertahap dimulai. Besaran σ pr disebut daya tarik (sinonim untuk baja: kekuatan tarik, untuk beton - kekuatan kubik atau prismatik). Sebutan berikut juga digunakan:

=R B

Hubungan serupa diamati dalam percobaan antara tegangan geser dan geser.

3) Hukum Duhamel – Neumann (ekspansi suhu linier):

Dengan adanya perbedaan suhu, benda mengubah ukurannya, dan berbanding lurus dengan perbedaan suhu ini.

Biarkan ada perbedaan suhu
. Maka hukum ini terlihat seperti:

Di Sini α - koefisien ekspansi termal linier, aku - panjang batang, Δ aku- pemanjangannya.

4) Hukum Merayap .

Penelitian telah menunjukkan bahwa semua material sangat heterogen di area kecil. Struktur skema baja ditunjukkan pada Gambar 8.2.

Beberapa komponen memiliki sifat cair, sehingga banyak material yang terkena beban menerima perpanjangan tambahan seiring waktu
(Gbr. 8.3.) (logam pada suhu tinggi, beton, kayu, plastik - pada suhu normal). Fenomena ini disebut orang aneh bahan.

Hukum zat cair adalah: semakin besar gaya maka semakin besar pula kecepatan gerak benda di dalam zat cair. Jika hubungan ini linier (yaitu gaya sebanding dengan kecepatan), maka dapat ditulis sebagai:

E
Jika kita beralih ke gaya relatif dan perpanjangan relatif, kita peroleh

Di sini indeks " kr "berarti bagian perpanjangan yang disebabkan oleh mulur bahan dipertimbangkan. Karakteristik mekanis disebut koefisien viskositas.

Hukum kekekalan energi.

Pertimbangkan balok yang dibebani

Mari kita perkenalkan konsep perpindahan suatu titik, misalnya,

- pergerakan vertikal titik B;

- perpindahan horizontal titik C.

Kekuatan
saat melakukan beberapa pekerjaan kamu. Mengingat kekuatan itu
mulai meningkat secara bertahap dan dengan asumsi bahwa mereka meningkat sebanding dengan perpindahan, kita memperoleh:

.

Menurut hukum konservasi: tidak ada usaha yang hilang, ia dihabiskan untuk melakukan pekerjaan lain atau diubah menjadi energi lain (energi- ini adalah pekerjaan yang dapat dilakukan tubuh.).

Kerja kekuatan
, dihabiskan untuk mengatasi hambatan gaya elastis yang timbul di tubuh kita. Untuk menghitung usaha ini, kita memperhitungkan bahwa benda dapat dianggap terdiri dari partikel elastis kecil. Mari kita pertimbangkan salah satunya:

Ia terkena tegangan dari partikel-partikel tetangganya . Stres yang diakibatkannya adalah

Di bawah pengaruh partikelnya akan memanjang. Menurut definisinya, perpanjangan adalah perpanjangan per satuan panjang. Kemudian:

Mari kita hitung pekerjaannya dW, yang dilakukan oleh gaya tersebut dN (di sini juga diperhitungkan bahwa kekuatan dN mulai meningkat secara bertahap dan meningkat secara proporsional terhadap gerakan):

Untuk keseluruhan tubuh kita mendapatkan:

.

Pekerjaan W yang telah dilakukan , ditelepon energi deformasi elastis.

Menurut hukum kekekalan energi:

6)Prinsip kemungkinan gerakan .

Ini adalah salah satu pilihan penulisan hukum kekekalan energi.

Biarkan gaya bekerja pada balok F 1 , F 2 , … . Mereka menyebabkan titik-titik bergerak di dalam tubuh
dan tegangan
. Mari kita berikan tubuhnya kemungkinan gerakan kecil tambahan
. Dalam mekanika, notasi bentuk
berarti ungkapan “kemungkinan nilai suatu besaran A" Kemungkinan gerakan ini akan menyebabkan tubuh kemungkinan deformasi tambahan
. Hal ini akan menyebabkan munculnya kekuatan dan tekanan eksternal tambahan
, δ.

Mari kita hitung kerja gaya luar pada kemungkinan perpindahan kecil tambahan:

Di Sini
- pergerakan tambahan pada titik-titik di mana gaya diterapkan F 1 , F 2 , …

Pertimbangkan lagi sebuah elemen kecil dengan penampang da dan panjang dz (lihat Gambar 8.5. dan 8.6.). Menurut definisinya, perpanjangan tambahan  dz elemen ini dihitung dengan rumus:

dz=  dz.

Gaya tarik elemen tersebut adalah:

dN = (+δ) da ≈  da..

Kerja gaya dalam pada perpindahan tambahan dihitung untuk elemen kecil sebagai berikut:

dW = dN  dz = da dz =  dV

DENGAN
menjumlahkan energi deformasi semua elemen kecil, kita memperoleh energi deformasi total:

Hukum kekekalan energi W = kamu memberikan:

.

Rasio ini disebut prinsip kemungkinan gerakan(disebut juga prinsip gerakan virtual). Demikian pula, kita dapat mempertimbangkan kasus ketika tegangan tangensial juga bekerja. Kemudian kita dapat memperoleh energi deformasinya W istilah berikut akan ditambahkan:

Di sini  adalah tegangan geser,  adalah perpindahan elemen kecil. Kemudian prinsip kemungkinan gerakan akan berbentuk:

Berbeda dengan bentuk penulisan hukum kekekalan energi sebelumnya, di sini tidak ada asumsi bahwa gaya-gaya mulai bertambah secara bertahap, dan gaya-gaya tersebut meningkat sebanding dengan perpindahannya.

7) Efek racun.

Mari kita perhatikan pola pemanjangan sampel:

Peristiwa pemendekan suatu unsur benda terhadap arah pemanjangan disebut Efek racun.

Mari kita cari deformasi relatif memanjang.

Deformasi relatif transversalnya adalah:

rasio Poisson besarannya disebut:

Untuk bahan isotropik (baja, besi cor, beton) rasio Poisson

Artinya terjadi deformasi dalam arah melintang lebih sedikit membujur

Catatan : teknologi modern dapat menghasilkan material komposit dengan rasio Poisson >1, yaitu deformasi melintang akan lebih besar daripada deformasi memanjang. Misalnya, kasus material yang diperkuat dengan serat kaku dengan sudut rendah
<<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине
, yaitu. kurang , semakin besar rasio Poissonnya.

Gambar.8.8. Gambar.8.9

Yang lebih mengejutkan lagi adalah bahan yang ditunjukkan pada (Gbr. 8.9.), dan untuk penguatan seperti itu terdapat hasil yang paradoks - pemanjangan memanjang menyebabkan peningkatan ukuran benda dalam arah melintang.

8) Hukum Hooke yang digeneralisasikan.

Mari kita perhatikan sebuah elemen yang membentang dalam arah memanjang dan melintang. Mari kita cari deformasi yang terjadi pada arah tersebut.

Mari kita hitung deformasinya timbul dari tindakan :

Mari kita pertimbangkan deformasi dari aksi tersebut , yang timbul akibat efek Poisson:

Deformasi keseluruhannya adalah:

Jika valid dan , kemudian akan ditambahkan pemendekan lagi searah sumbu x
.

Karena itu:

Juga:

Hubungan ini disebut menggeneralisasi hukum Hooke.

Menariknya, ketika menulis hukum Hooke, dibuat asumsi tentang independensi regangan pemanjangan dari regangan geser (kebebasan dari tegangan geser, yang merupakan hal yang sama) dan sebaliknya. Eksperimen mengkonfirmasi asumsi ini dengan baik. Ke depan, kami mencatat bahwa kekuatan, sebaliknya, sangat bergantung pada kombinasi tegangan tangensial dan normal.

Catatan: Undang-undang dan asumsi di atas dikonfirmasi oleh banyak percobaan langsung dan tidak langsung, namun, seperti semua undang-undang lainnya, cakupan penerapannya terbatas.

Seperti yang Anda ketahui, fisika mempelajari semua hukum alam: dari prinsip ilmu alam yang paling sederhana hingga yang paling umum. Bahkan di bidang-bidang yang tampaknya tidak dapat dipahami oleh fisika, ia masih memainkan peran utama, dan setiap hukum terkecil, setiap prinsip - tidak ada yang luput darinya.

Dalam kontak dengan

Fisikalah yang menjadi dasar dari fondasi; inilah yang menjadi cikal bakal semua ilmu pengetahuan.

Fisika mempelajari interaksi semua benda, keduanya secara paradoks kecil dan sangat besar. Fisika modern secara aktif mempelajari tidak hanya benda-benda kecil, tetapi juga benda-benda hipotetis, dan bahkan hal ini menjelaskan esensi alam semesta.

Fisika dibagi menjadi beberapa bagian, hal ini tidak hanya menyederhanakan ilmu itu sendiri dan pemahamannya, tetapi juga metodologi penelitiannya. Mekanika berkaitan dengan pergerakan benda dan interaksi benda bergerak, termodinamika berkaitan dengan proses termal, elektrodinamika berkaitan dengan proses kelistrikan.

Mengapa mekanika harus mempelajari deformasi?

Ketika berbicara tentang kompresi atau tegangan, Anda harus bertanya pada diri sendiri: cabang fisika mana yang harus mempelajari proses ini? Dengan distorsi yang kuat, panas dapat dilepaskan, mungkinkah termodinamika harus menangani proses ini? Kadang-kadang ketika cairan dikompresi, ia mulai mendidih, dan ketika gas dikompresi, cairan terbentuk? Jadi, apakah hidrodinamika harus memahami deformasi? Atau teori kinetik molekuler?

Semuanya tergantung pada kekuatan deformasi, pada derajatnya. Jika media yang dapat dideformasi (bahan yang dikompresi atau diregangkan) memungkinkan, dan kompresinya kecil, maka masuk akal untuk mempertimbangkan proses ini sebagai pergerakan beberapa titik tubuh relatif terhadap titik lain.

Dan karena pertanyaannya murni terkait, berarti mekanik akan menanganinya.

Hukum Hooke dan syarat pemenuhannya

Pada tahun 1660, ilmuwan terkenal Inggris Robert Hooke menemukan fenomena yang dapat digunakan untuk menggambarkan proses deformasi secara mekanis.

Untuk memahami dalam kondisi apa hukum Hooke dipenuhi, Mari kita batasi diri kita pada dua parameter:

• Rabu;
• memaksa.

Ada media (misalnya, gas, cairan, terutama cairan kental yang mendekati wujud padat atau, sebaliknya, cairan yang sangat cair) yang prosesnya tidak mungkin dijelaskan secara mekanis. Sebaliknya, terdapat lingkungan di mana, dengan gaya yang cukup besar, mekanika berhenti “bekerja”.

Penting! Terhadap pertanyaan: “Dalam kondisi apa hukum Hooke benar?”, jawaban pasti dapat diberikan: “Pada deformasi kecil.”

Hukum Hooke, definisi: Besarnya deformasi yang terjadi pada suatu benda berbanding lurus dengan gaya yang menyebabkan deformasi tersebut.

Tentu saja definisi ini menyiratkan bahwa:

• kompresi atau peregangan kecil;
• benda elastis;
• terdiri dari bahan yang tidak mengalami proses nonlinier akibat kompresi atau tegangan.

Hukum Hooke dalam Bentuk Matematika

Rumusan Hooke yang kami kutip di atas memungkinkan untuk dituliskan dalam bentuk berikut:

dimana adalah perubahan panjang benda akibat tekan atau regangan, F adalah gaya yang diterapkan pada benda dan menyebabkan deformasi (gaya elastis), k adalah koefisien elastisitas yang diukur dalam N/m.

Perlu diingat bahwa hukum Hooke hanya berlaku untuk peregangan kecil.

Kami juga mencatat bahwa ia memiliki tampilan yang sama ketika diregangkan dan dikompresi. Mengingat gaya merupakan besaran vektor dan mempunyai arah, maka dalam kasus kompresi rumus berikut akan lebih tepat:

Tapi sekali lagi, itu semua tergantung ke mana sumbu yang Anda ukur akan diarahkan.

Apa perbedaan mendasar antara kompresi dan ekstensi? Tidak ada apa-apanya jika itu tidak penting.

Tingkat penerapannya dapat dipertimbangkan sebagai berikut:

Mari kita perhatikan grafiknya. Seperti dapat kita lihat, pada regangan kecil (seperempat pertama koordinat), dalam waktu yang lama gaya dengan koordinat mempunyai hubungan linier (garis merah), tetapi kemudian hubungan nyata (garis putus-putus) menjadi nonlinier, dan hukum tidak lagi benar. Dalam praktiknya, hal ini tercermin dari peregangan yang begitu kuat sehingga pegas berhenti kembali ke posisi semula dan kehilangan sifat-sifatnya. Dengan lebih banyak peregangan terjadi retakan dan strukturnya runtuh bahan.

Dengan kompresi kecil (koordinat seperempat ketiga), dalam waktu lama gaya dengan koordinat juga mempunyai hubungan linier (garis merah), tetapi kemudian hubungan nyata (garis putus-putus) menjadi nonlinier, dan semuanya berhenti bekerja kembali. Dalam praktiknya, hal ini menghasilkan kompresi yang begitu kuat panas mulai dilepaskan dan pegas kehilangan sifat-sifatnya. Dengan kompresi yang lebih besar lagi, kumparan pegas “saling menempel” dan mulai berubah bentuk secara vertikal dan kemudian meleleh seluruhnya.

Seperti yang Anda lihat, rumus yang menyatakan hukum memungkinkan Anda mencari gaya, mengetahui perubahan panjang benda, atau, mengetahui gaya elastis, mengukur perubahan panjang:

Selain itu, dalam beberapa kasus, Anda dapat menemukan koefisien elastisitas. Untuk memahami bagaimana hal ini dilakukan, pertimbangkan contoh tugas:

Sebuah dinamometer dihubungkan ke pegas. Ia diregangkan dengan menggunakan gaya sebesar 20, sehingga panjangnya menjadi 1 meter. Kemudian mereka melepaskannya, menunggu sampai getarannya berhenti, dan dia kembali ke keadaan normal. Dalam kondisi normal, panjangnya 87,5 sentimeter. Mari kita coba mencari tahu dari bahan apa pegas itu dibuat.

Mari kita cari nilai numerik deformasi pegas:

Dari sini kita dapat menyatakan nilai koefisiennya:

Melihat tabel, kita dapat menemukan bahwa indikator ini sesuai dengan baja pegas.

Masalah dengan koefisien elastisitas

Fisika, seperti kita ketahui, adalah ilmu yang sangat eksak; terlebih lagi, ia sangat eksak sehingga telah menciptakan seluruh ilmu terapan yang dapat mengukur kesalahan. Sebagai model dengan ketelitian yang tak tergoyahkan, dia tidak bisa bersikap kikuk.

Praktek menunjukkan bahwa ketergantungan linier yang kita pertimbangkan tidak lain adalah Hukum Hooke untuk batang tipis dan tarik. Hanya sebagai pengecualian dapat digunakan untuk pegas, tetapi ini pun tidak diinginkan.

Ternyata koefisien k merupakan nilai variabel yang tidak hanya bergantung pada bahan pembuat benda, tetapi juga pada diameter dan dimensi liniernya.

Oleh karena itu, kesimpulan kami memerlukan klarifikasi dan pengembangan, karena sebaliknya rumusnya:

bisa disebut tidak lebih dari ketergantungan antara tiga variabel.

modulus Young

Mari kita coba mencari koefisien elastisitasnya. Parameter ini, seperti yang kami ketahui, bergantung pada tiga besaran:

• materi (yang cukup cocok untuk kita);
• panjang L (yang menunjukkan ketergantungannya pada);
• daerah S.

Penting! Jadi, jika kita berhasil “memisahkan” panjang L dan luas S dari koefisien, maka kita akan memperoleh koefisien yang sepenuhnya bergantung pada bahan.

Yang kami ketahui:

• semakin besar luas penampang benda, semakin besar koefisien k, dan ketergantungannya linier;
• semakin besar panjang benda, semakin rendah koefisien k, dan ketergantungannya berbanding terbalik.

Artinya kita dapat menuliskan koefisien elastisitasnya sebagai berikut:

dimana E adalah koefisien baru, yang sekarang hanya bergantung pada jenis material.

Mari kita perkenalkan konsep “perpanjangan relatif”:

. 

Kesimpulan

Mari kita rumuskan hukum Hooke untuk tegangan dan kompresi: Untuk kompresi kecil, tegangan normal berbanding lurus dengan perpanjangan.

Koefisien E disebut modulus Young dan hanya bergantung pada material.

Pengamatan menunjukkan bahwa untuk sebagian besar benda elastis, seperti baja, perunggu, kayu, dll., besarnya deformasi sebanding dengan besarnya gaya yang bekerja. Contoh khas yang menjelaskan sifat ini adalah keseimbangan pegas, di mana perpanjangan pegas sebanding dengan gaya yang bekerja. Hal ini terlihat dari skala pembagian skala-skala tersebut yang seragam. Sebagai sifat umum benda elastis, hukum proporsionalitas antara gaya dan deformasi pertama kali dirumuskan oleh R. Hooke pada tahun 1660 dan diterbitkan pada tahun 1678 dalam karya “Depotentia restitutiva”. Dalam rumusan modern hukum ini, yang diperhatikan bukanlah gaya dan pergerakan titik penerapannya, melainkan tegangan dan deformasi.

Jadi, untuk tegangan murni diasumsikan:

Berikut adalah perpanjangan relatif dari setiap segmen yang diambil dalam arah peregangan. Misalnya, jika tulang rusuk yang ditunjukkan pada Gambar. 11 prisma sebelum diberi beban adalah a, b dan c, seperti terlihat pada gambar, dan setelah dideformasi masing-masing menjadi .

Konstanta E yang mempunyai dimensi tegangan disebut modulus elastisitas atau modulus Young.

Ketegangan elemen sejajar dengan tegangan kerja o disertai dengan kontraksi elemen tegak lurus, yaitu penurunan dimensi melintang batang (dimensi pada gambar). Regangan transversal relatif

akan bernilai negatif. Ternyata deformasi memanjang dan melintang pada benda elastis berhubungan dengan perbandingan yang konstan:

Besaran tak berdimensi v, yang konstan untuk setiap bahan, disebut rasio kompresi lateral atau rasio Poisson. Poisson sendiri, berangkat dari pertimbangan teoretis yang kemudian ternyata salah, meyakini hal itu untuk semua materi (1829). Padahal, nilai koefisien ini berbeda-beda. Ya, untuk baja

Mengganti ekspresi dalam rumus terakhir kita mendapatkan:

Hukum Hooke bukanlah hukum pasti. Untuk baja, penyimpangan proporsionalitas antar tidak signifikan, sedangkan besi tuang atau ukiran jelas tidak mematuhi hukum ini. Bagi mereka, dan dapat didekati dengan fungsi linier hanya dalam perkiraan yang paling kasar.

Untuk waktu yang lama, kekuatan material hanya berkaitan dengan material yang mematuhi hukum Hooke, dan penerapan rumus kekuatan material pada benda lain hanya dapat dilakukan dengan sangat hati-hati. Saat ini, hukum elastisitas nonlinier mulai dipelajari dan diterapkan untuk memecahkan masalah tertentu.

hukum Hooke biasanya disebut hubungan linier antara komponen regangan dan komponen tegangan.

Mari kita ambil sebuah parallelepiped persegi panjang dasar dengan permukaan sejajar dengan sumbu koordinat, dibebani dengan tegangan normal σx, didistribusikan secara merata pada dua sisi yang berlawanan (Gbr. 1). Di mana σy = σz = τ x kamu = τ xz = τ yz = 0.

Sampai batas proporsionalitas, perpanjangan relatif diberikan oleh rumus

Di mana E— modulus elastisitas tarik. Untuk baja E = 2*10 5 MPa, oleh karena itu, deformasinya sangat kecil dan diukur dalam persentase atau 1 * 10 5 (dalam alat pengukur regangan yang mengukur deformasi).

Memperluas elemen ke arah sumbu X disertai penyempitannya pada arah melintang, ditentukan oleh komponen deformasi

Di mana μ - konstanta yang disebut rasio kompresi lateral atau rasio Poisson. Untuk baja μ biasanya diambil menjadi 0,25-0,3.

Jika elemen tersebut dibebani secara bersamaan dengan tegangan normal σx, σy, σz, didistribusikan secara merata di sepanjang permukaannya, kemudian ditambahkan deformasi

Dengan melapiskan komponen deformasi yang disebabkan oleh masing-masing dari ketiga tegangan tersebut, kita memperoleh hubungannya

Hubungan ini dikonfirmasi oleh berbagai eksperimen. Terapan metode overlay atau superposisi mencari regangan dan tegangan total yang disebabkan oleh beberapa gaya adalah sah selama regangan dan tegangan tersebut kecil dan bergantung secara linier pada gaya yang diberikan. Dalam kasus seperti itu, kami mengabaikan perubahan kecil dalam dimensi benda yang mengalami deformasi dan pergerakan kecil pada titik penerapan gaya eksternal dan mendasarkan perhitungan kami pada dimensi awal dan bentuk awal benda.

Perlu dicatat bahwa kecilnya perpindahan tidak berarti bahwa hubungan antara gaya dan deformasi adalah linier. Jadi, misalnya, dalam gaya terkompresi Q batang dibebani tambahan dengan gaya geser R, bahkan dengan defleksi kecil δ muncul poin tambahan M = Qδ, yang membuat masalahnya menjadi nonlinier. Dalam kasus seperti ini, defleksi total bukanlah fungsi linear dari gaya-gaya dan tidak dapat diperoleh dengan superposisi sederhana.

Telah ditetapkan secara eksperimental bahwa jika tegangan geser bekerja di sepanjang seluruh permukaan elemen, maka distorsi sudut yang bersesuaian hanya bergantung pada komponen tegangan geser yang bersesuaian.

Konstan G disebut modulus elastisitas geser atau modulus geser.

Kasus umum deformasi suatu elemen akibat aksi tiga komponen tegangan normal dan tiga komponen tegangan tangensial padanya dapat diperoleh dengan menggunakan superposisi: tiga deformasi geser, ditentukan oleh hubungan (5.2b), ditumpangkan pada tiga deformasi linier yang ditentukan oleh ekspresi ( 5.2a). Persamaan (5.2a) dan (5.2b) menentukan hubungan antara komponen regangan dan tegangan dan disebut menggeneralisasi hukum Hooke. Sekarang mari kita tunjukkan modulus gesernya G dinyatakan dalam modulus elastisitas tarik E dan rasio Poisson μ . Untuk melakukan ini, pertimbangkan kasus khusus kapan σx = σ , σy = -σ Dan σz = 0.

Mari kita hilangkan elemennya abcd bidang yang sejajar dengan sumbunya z dan dimiringkan dengan sudut 45° terhadap sumbu X Dan pada(Gbr. 3). Sebagai berikut dari kondisi kesetimbangan elemen 0 bс, stres biasa σ ay di semua sisi elemen abcd sama dengan nol, dan tegangan gesernya sama

Keadaan tegang ini disebut geser murni. Dari persamaan (5.2a) berikut ini

yaitu perpanjangan elemen horizontal adalah 0 C sama dengan pemendekan elemen vertikal 0 B: ya = -x.

Sudut antar wajah ab Dan SM perubahan, dan nilai regangan geser yang sesuai γ dapat dicari dari segitiga 0 bс:

Oleh karena itu

Aksi gaya luar pada benda padat menyebabkan terjadinya tegangan dan deformasi pada titik-titik volumenya. Dalam hal ini, keadaan tegangan pada suatu titik, hubungan antara tegangan pada berbagai luas yang melewati titik tersebut, ditentukan oleh persamaan statika dan tidak bergantung pada sifat fisik material. Keadaan deformasi, hubungan antara perpindahan dan deformasi, ditentukan dengan menggunakan pertimbangan geometris atau kinematik dan juga tidak bergantung pada sifat material. Untuk menentukan hubungan antara tegangan dan regangan, sifat aktual material dan kondisi pembebanan perlu diperhitungkan. Model matematika yang menggambarkan hubungan antara tegangan dan regangan dikembangkan berdasarkan data eksperimen. Model ini harus mencerminkan sifat aktual material dan kondisi pembebanan dengan tingkat akurasi yang memadai.

Model bahan struktural yang paling umum adalah elastisitas dan plastisitas. Elastisitas adalah sifat suatu benda untuk mengubah bentuk dan ukuran di bawah pengaruh beban eksternal dan mengembalikan konfigurasi aslinya ketika beban dihilangkan. Secara matematis, sifat elastisitas dinyatakan dalam pembentukan hubungan fungsional satu-satu antara komponen tensor tegangan dan tensor regangan. Sifat elastisitas tidak hanya mencerminkan sifat bahan, tetapi juga kondisi pembebanan. Untuk sebagian besar bahan struktural, sifat elastisitas memanifestasikan dirinya pada nilai gaya eksternal sedang yang menyebabkan deformasi kecil, dan pada tingkat pembebanan rendah, ketika kehilangan energi akibat pengaruh suhu dapat diabaikan. Suatu bahan disebut elastis linier jika komponen tensor tegangan dan tensor regangan dihubungkan oleh hubungan linier.

Pada pembebanan tingkat tinggi, ketika deformasi signifikan terjadi pada benda, sebagian material kehilangan sifat elastisnya: ketika dibongkar, dimensi dan bentuk aslinya tidak sepenuhnya pulih, dan ketika beban eksternal dihilangkan sepenuhnya, deformasi sisa dicatat. Pada kasus ini hubungan antara stres dan ketegangan tidak lagi bersifat ambigu. Properti material ini disebut keliatan. Deformasi sisa yang terakumulasi selama deformasi plastis disebut plastis.

Tingkat beban yang tinggi dapat menyebabkan kehancuran, yaitu pembagian tubuh menjadi beberapa bagian. Benda padat yang terbuat dari bahan berbeda mengalami kegagalan pada jumlah deformasi yang berbeda. Patahan rapuh pada deformasi kecil dan biasanya terjadi tanpa deformasi plastis yang nyata. Kehancuran seperti itu biasa terjadi pada besi tuang, baja paduan, beton, kaca, keramik, dan beberapa bahan struktural lainnya. Baja karbon rendah, logam non-besi, dan plastik dicirikan oleh jenis kegagalan plastis dengan adanya deformasi sisa yang signifikan. Namun, pembagian bahan menjadi rapuh dan ulet menurut sifat kehancurannya sangat sewenang-wenang; biasanya mengacu pada beberapa kondisi operasi standar. Bahan yang sama dapat berperilaku, tergantung pada kondisi (suhu, sifat beban, teknologi manufaktur, dll.) sebagai rapuh atau ulet. Misalnya, bahan plastik pada suhu normal akan terurai menjadi rapuh pada suhu rendah. Oleh karena itu, lebih tepat untuk berbicara bukan tentang bahan yang rapuh dan plastis, tetapi tentang keadaan bahan yang rapuh atau plastis.

Biarkan bahan tersebut elastis linier dan isotropik. Mari kita perhatikan volume dasar dalam kondisi tegangan uniaksial (Gbr. 1), sehingga tensor tegangan berbentuk

Dengan beban seperti itu, dimensi bertambah searah sumbu Oh, ditandai dengan deformasi linier, yang sebanding dengan besarnya tegangan

Gambar.1. Keadaan stres uniaksial

Relasi ini merupakan notasi matematika hukum Hooke membangun hubungan proporsional antara tegangan dan deformasi linier yang sesuai dalam keadaan tegangan uniaksial. Koefisien proporsionalitas E disebut modulus elastisitas longitudinal atau modulus Young. Ia memiliki dimensi stres.

Seiring dengan bertambahnya ukuran arah tindakan; Di bawah tekanan yang sama, penurunan ukuran terjadi dalam dua arah ortogonal (Gbr. 1). Kami menyatakan deformasi yang sesuai dengan dan , dan deformasi ini negatif dan positif dan sebanding dengan:

Dengan aksi tegangan simultan sepanjang tiga sumbu ortogonal, ketika tidak ada tegangan tangensial, prinsip superposisi (superposisi larutan) berlaku untuk bahan elastis linier:

Dengan memperhatikan rumus (1 4) kita peroleh

Tegangan tangensial menyebabkan deformasi sudut, dan pada deformasi kecil tidak mempengaruhi perubahan dimensi linier, dan karenanya deformasi linier. Oleh karena itu, mereka juga valid dalam kasus keadaan stres yang sewenang-wenang dan menyatakan apa yang disebut menggeneralisasi hukum Hooke.

Deformasi sudut disebabkan oleh tegangan tangensial, dan deformasi dan , masing-masing disebabkan oleh tegangan dan. Ada hubungan proporsional antara tegangan tangensial dan deformasi sudut untuk benda isotropik elastis linier

yang mengungkapkan hukum gunting Hooke. Faktor proporsionalitas G disebut modul geser. Penting agar tegangan normal tidak mempengaruhi deformasi sudut, karena dalam hal ini hanya dimensi linier segmen yang berubah, dan bukan sudut di antara segmen tersebut (Gbr. 1).

Hubungan linier juga terdapat antara tegangan rata-rata (2,18), sebanding dengan invarian pertama dari tensor tegangan, dan regangan volumetrik (2,32), yang bertepatan dengan invarian pertama dari tensor regangan:

Faktor proporsionalitas yang sesuai KE ditelepon modulus elastisitas volumetrik.

Rumus (1 7) mencakup sifat elastis bahan E, , G Dan KE, menentukan sifat elastisnya. Namun karakteristik ini tidak berdiri sendiri. Untuk bahan isotropik, terdapat dua karakteristik elastis independen, yang biasanya dipilih sebagai modulus elastisitas E dan rasio Poisson. Untuk menyatakan modulus geser G melalui E Dan , Mari kita perhatikan deformasi geser bidang akibat aksi tegangan tangensial (Gbr. 2). Untuk menyederhanakan perhitungan, kami menggunakan elemen persegi dengan sisi A. Mari kita hitung tegangan utama , . Tegangan-tegangan ini bekerja pada area yang letaknya menyudut terhadap area aslinya. Dari Gambar. 2 kita akan menemukan hubungan antara deformasi linier searah tegangan dan deformasi sudut . Diagonal utama belah ketupat, yang mencirikan deformasi, adalah sama dengan

Untuk deformasi kecil

Mempertimbangkan hubungan ini

Sebelum deformasi, diagonal ini memiliki ukuran . Maka kita akan memilikinya

Dari hukum Hooke yang digeneralisasikan (5) kita peroleh

Perbandingan rumus yang dihasilkan dengan notasi hukum Hooke untuk pergeseran (6) memberikan

Hasilnya kita dapatkan

Membandingkan ungkapan ini dengan hukum volumetrik Hooke (7), kita sampai pada hasilnya

Karakteristik mekanis E, , G Dan KE ditemukan setelah memproses data eksperimen dari sampel pengujian di bawah berbagai jenis beban. Dari sudut pandang fisik, semua karakteristik ini tidak mungkin negatif. Selain itu, dari persamaan terakhir dapat disimpulkan bahwa rasio Poisson untuk bahan isotropik tidak melebihi 1/2. Jadi, kita memperoleh batasan berikut untuk konstanta elastis bahan isotropik:

Nilai batas mengarah pada nilai batas , yang sesuai dengan bahan yang tidak dapat dimampatkan (at). Kesimpulannya, dari hubungan elastisitas (5) kita menyatakan tegangan dalam bentuk deformasi. Mari kita tulis relasi pertama (5) dalam bentuk

Menggunakan persamaan (9) kita akan mendapatkan

Hubungan serupa dapat diturunkan untuk dan . Hasilnya kita dapatkan

Di sini kita menggunakan relasi (8) untuk modulus geser. Selain itu, sebutannya

ENERGI POTENSI DEFORMASI ELASTIS

Mari kita perhatikan volume dasar terlebih dahulu dV=dxdydz dalam kondisi tegangan uniaksial (Gbr. 1). Perbaiki situs secara mental x=0(Gbr. 3). Sebuah gaya bekerja pada permukaan yang berlawanan . Gaya ini bekerja pada perpindahan . Ketika tegangan meningkat dari level nol ke nilai deformasi yang sesuai akibat hukum Hooke juga meningkat dari nol ke nilai , dan usaha tersebut sebanding dengan bayangan yang diarsir pada Gambar. 4 kotak: . Jika kita mengabaikan energi kinetik dan kerugian yang terkait dengan fenomena termal, elektromagnetik, dan lainnya, maka, berdasarkan hukum kekekalan energi, usaha yang dilakukan akan berubah menjadi energi potensial, terakumulasi selama deformasi: . Nilai = dU/dV ditelepon energi potensial spesifik deformasi, memiliki arti energi potensial yang terakumulasi dalam satuan volume suatu benda. Dalam keadaan tegangan uniaksial