8.2. قوانین اساسی مورد استفاده در مقاومت مصالح

روابط استاتیک آنها به شکل معادلات تعادل زیر نوشته می شوند.

قانون هوک ( 1678): هر چه نیرو بیشتر باشد، تغییر شکل بیشتر است و علاوه بر این، با نیرو نسبت مستقیم دارد. از نظر فیزیکی، این بدان معنی است که همه بدنه ها فنر هستند، اما با سفتی زیاد. هنگامی که یک تیر به سادگی توسط یک نیروی طولی کشیده می شود ن= افاین قانون را می توان به صورت زیر نوشت:

اینجا
نیروی طولی، ل- طول پرتو، آ- سطح مقطع آن، E- ضریب الاستیسیته از نوع اول ( مدول یانگ).

با در نظر گرفتن فرمول تنش ها و کرنش ها، قانون هوک به صورت زیر نوشته می شود:
.

رابطه مشابهی در آزمایش‌های بین تنش‌های مماسی و زاویه برشی مشاهده می‌شود:

.

جی تماس گرفتمدول برشی ، کمتر - مدول الاستیک از نوع دوم. مانند هر قانون دیگری، قانون هوک نیز محدودیتی برای اعمال دارد. ولتاژ
، که قانون هوک برای آن معتبر است، نامیده می شود حد تناسب(این مهمترین ویژگی در استحکام مواد است).

بیایید وابستگی را به تصویر بکشیم  از جانب  به صورت گرافیکی (شکل 8.1). این عکس نام دارد نمودار کشش . بعد از نقطه B (یعنی در
) این وابستگی خطی نیست.

در
پس از تخلیه، تغییر شکل های باقی مانده در بدن ظاهر می شود، بنابراین تماس گرفت حد الاستیک .

هنگامی که ولتاژ به مقدار σ = σ t می رسد، بسیاری از فلزات شروع به نشان دادن خاصیتی به نام می کنند سیالیت. این بدان معنی است که حتی تحت بار ثابت، ماده به تغییر شکل خود ادامه می دهد (یعنی مانند یک مایع رفتار می کند). از نظر گرافیکی، این بدان معنی است که نمودار موازی با آبسیسا (بخش DL) است. ولتاژ σ t که ماده در آن جریان دارد نامیده می شود قدرت تسلیم .

برخی از مواد (St. 3 - فولاد ساختمانی) پس از یک جریان کوتاه دوباره شروع به مقاومت می کنند. مقاومت ماده تا حداکثر مقدار مشخصی σ pr ادامه می یابد، سپس تخریب تدریجی آغاز می شود. کمیت σ pr نامیده می شود استحکام کششی (مترادف فولاد: مقاومت کششی، برای بتن - مقاومت مکعبی یا منشوری). از عناوین زیر نیز استفاده می شود:

=آر ب

رابطه مشابهی در آزمایشات بین تنش های برشی و برش مشاهده می شود.

3) قانون دوهامل-نویمان (انبساط دمایی خطی):

در صورت وجود اختلاف دما، اجسام اندازه خود را تغییر می دهند و به نسبت مستقیم با این اختلاف دما.

بگذارید اختلاف دما وجود داشته باشد
. سپس این قانون به نظر می رسد:

اینجا α - ضریب انبساط حرارتی خطی, ل - طول میله، Δ ل- طولانی شدن آن

4) قانون خزش .

تحقیقات نشان داده است که همه مواد در مناطق کوچک بسیار ناهمگن هستند. ساختار شماتیک فولاد در شکل 8.2 نشان داده شده است.

برخی از اجزاء دارای خواص مایع هستند، بنابراین بسیاری از مواد تحت بار در طول زمان افزایش طول بیشتری دریافت می کنند
(شکل 8.3.) (فلزات در دمای بالا، بتن، چوب، پلاستیک - در دمای معمولی). این پدیده نامیده می شود خزیدنمواد

قانون مایعات: هر چه نیرو بیشتر باشد، سرعت حرکت جسم در مایع بیشتر می شود. اگر این رابطه خطی باشد (یعنی نیرو متناسب با سرعت باشد)، می توان آن را به صورت زیر نوشت:

E
اگر به سمت نیروهای نسبی و کشیدگی های نسبی برویم، به دست می آوریم

اینجا شاخص " cr «یعنی آن قسمت از کشیدگی که در اثر خزش مواد ایجاد می شود در نظر گرفته شود. مشخصات مکانیکی ضریب ویسکوزیته نامیده می شود.

قانون بقای انرژی

یک تیر بارگذاری شده را در نظر بگیرید

اجازه دهید مفهوم جابجایی یک نقطه را معرفی کنیم، برای مثال،

- حرکت عمودی نقطه B؛

- جابجایی افقی نقطه C.

قدرت ها
در حین انجام برخی کارها U. با توجه به اینکه نیروهای
شروع به افزایش تدریجی می کنند و با فرض افزایش متناسب با جابجایی ها، به دست می آوریم:

.

طبق قانون حفاظت: هیچ کاری از بین نمی رود، صرف انجام کار دیگری می شود یا به انرژی دیگری تبدیل می شود (انرژی- این کاری است که بدن می تواند انجام دهد.).

کار نیروها
، صرف غلبه بر مقاومت نیروهای الاستیک ناشی از بدن ما می شود. برای محاسبه این کار، این را در نظر می گیریم که بدنه را می توان متشکل از ذرات کوچک الاستیک در نظر گرفت. بیایید یکی از آنها را در نظر بگیریم:

در معرض کشش ذرات مجاور است . استرس حاصله خواهد بود

تحت تاثیر ذره کشیده خواهد شد طبق تعریف، ازدیاد طول عبارت است از ازدیاد طول در واحد طول. سپس:

بیایید کار را محاسبه کنیم dW، که نیرو انجام می دهد dN (در اینجا همچنین در نظر گرفته شده است که نیروها dNشروع به افزایش تدریجی می کنند و متناسب با حرکات افزایش می یابند):

برای کل بدن دریافت می کنیم:

.

کار دبلیوکه متعهد شد ، تماس گرفت انرژی تغییر شکل الاستیک

طبق قانون بقای انرژی:

6)اصل حرکات احتمالی .

این یکی از گزینه های نوشتن قانون بقای انرژی است.

اجازه دهید نیروها روی پرتو عمل کنند اف 1 , اف 2 , … . آنها باعث حرکت نقاط در بدن می شوند
و ولتاژ
. بدن را بدهیم حرکات کوچک احتمالی اضافی
. در مکانیک، نماد شکل
به معنای عبارت «مقدار ممکن مقدار آ" این حرکات احتمالی باعث بدن می شود تغییر شکل های احتمالی اضافی
. آنها منجر به ظهور نیروهای خارجی و تنش های اضافی می شوند
, δ.

اجازه دهید کار نیروهای خارجی را بر روی جابجایی های کوچک احتمالی اضافی محاسبه کنیم:

اینجا
- حرکات اضافی نقاطی که نیروها در آنها اعمال می شود اف 1 , اف 2 , …

دوباره یک عنصر کوچک با سطح مقطع را در نظر بگیرید dA و طول dz (شکل 8.5. و 8.6. را ببینید). طبق تعریف، کشیدگی اضافی  dzاین عنصر با فرمول محاسبه می شود:

dz=  dz.

نیروی کششی عنصر به صورت زیر خواهد بود:

dN = (+δ) dA ≈  dA..

کار نیروهای داخلی بر روی جابجایی های اضافی برای یک عنصر کوچک به شرح زیر محاسبه می شود:

dW = dN  dz = dA dz =  dV

با
با جمع کردن انرژی تغییر شکل همه عناصر کوچک، انرژی تغییر شکل کل را به دست می آوریم:

قانون بقای انرژی دبلیو = Uمی دهد:

.

این نسبت نامیده می شود اصل حرکات ممکن(به آن نیز می گویند اصل حرکات مجازی).به طور مشابه، می توانیم موردی را در نظر بگیریم که تنش های مماسی نیز عمل کنند. سپس می توانیم آن را به انرژی تغییر شکل به دست آوریم دبلیوعبارت زیر اضافه خواهد شد:

در اینجا  تنش برشی است،  جابجایی عنصر کوچک است. سپس اصل حرکات ممکنشکل خواهد گرفت:

برخلاف شکل قبلی نوشتن قانون بقای انرژی، در اینجا هیچ فرضی وجود ندارد که نیروها به تدریج شروع به افزایش می کنند و متناسب با جابجایی ها افزایش می یابند.

7) اثر پواسون

اجازه دهید الگوی ازدیاد طول نمونه را در نظر بگیریم:

پدیده کوتاه شدن یک عنصر بدن در جهت ازدیاد طول نامیده می شود اثر پواسون.

اجازه دهید تغییر شکل نسبی طولی را پیدا کنیم.

تغییر شکل نسبی عرضی خواهد بود:

نسبت پواسونمقدار نامیده می شود:

برای مواد همسانگرد (فولاد، چدن، بتن) نسبت پواسون

این بدان معنی است که در جهت عرضی تغییر شکل کمترطولی

توجه داشته باشید : فناوری های مدرن می توانند مواد کامپوزیتی با نسبت پواسون >1 ایجاد کنند، یعنی تغییر شکل عرضی بیشتر از طولی خواهد بود. به عنوان مثال، این مورد برای ماده ای است که با الیاف سفت و سخت در زاویه کم تقویت شده است
<<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине
، یعنی کمتر ، نسبت پواسون بزرگتر است.

شکل 8.8. شکل 8.9

حتی شگفت آورتر ماده نشان داده شده در (شکل 8.9.) است، و برای چنین تقویتی یک نتیجه متناقض وجود دارد - کشیدگی طولی منجر به افزایش اندازه بدن در جهت عرضی می شود.

8) قانون هوک تعمیم یافته

بیایید عنصری را در نظر بگیریم که در جهات طولی و عرضی کشیده می شود. اجازه دهید تغییر شکلی که در این جهات رخ می دهد را پیدا کنیم.

بیایید تغییر شکل را محاسبه کنیم ناشی از عمل :

بیایید تغییر شکل ناشی از عمل را در نظر بگیریم ، که در نتیجه اثر پواسون ایجاد می شود:

تغییر شکل کلی خواهد بود:

در صورت معتبر بودن و ، سپس یک کوتاه کننده دیگر در جهت محور x اضافه می شود
.

از این رو:

به همین ترتیب:

این روابط نامیده می شود قانون هوک را تعمیم داد.

جالب است که هنگام نوشتن قانون هوک، فرضی در مورد استقلال کرنش‌های ازدیاد طول از کرنش‌های برشی (در مورد استقلال از تنش‌های برشی که همان است) و بالعکس مطرح می‌شود. آزمایش ها به خوبی این فرضیات را تایید می کنند. با نگاهی به آینده، توجه می کنیم که برعکس، استحکام به شدت به ترکیب تنش های مماسی و معمولی بستگی دارد.

توجه داشته باشید: قوانین و مفروضات فوق با آزمایش های مستقیم و غیرمستقیم متعدد تأیید شده اند، اما مانند سایر قوانین، دامنه کاربرد محدودی دارند.

همانطور که می دانید، فیزیک همه قوانین طبیعت را مطالعه می کند: از ساده ترین تا کلی ترین اصول علوم طبیعی. حتی در مناطقی که به نظر می رسد فیزیک قادر به درک آن نیست، هنوز نقش اصلی را ایفا می کند، و هر کوچکترین قانون، هر اصل - هیچ چیز از آن فرار نمی کند.

در تماس با

این فیزیک است که اساس مبانی است، این است که در خاستگاه همه علوم نهفته است.

فیزیک تعامل همه بدن ها را مطالعه می کند،هر دو به طور متناقض کوچک و فوق العاده بزرگ. فیزیک مدرن به طور فعال نه فقط اجسام کوچک، بلکه فرضی را مطالعه می کند، و حتی این موضوع جوهر جهان را روشن می کند.

فیزیک به بخش هایی تقسیم می شوداین نه تنها خود علم و درک آن، بلکه روش مطالعه را نیز ساده می کند. مکانیک با حرکت اجسام و برهمکنش اجسام متحرک سر و کار دارد، ترمودینامیک با فرآیندهای حرارتی، الکترودینامیک با فرآیندهای الکتریکی سروکار دارد.

چرا مکانیک باید تغییر شکل را مطالعه کند؟

وقتی در مورد فشرده سازی یا کشش صحبت می کنید، باید این سوال را از خود بپرسید: کدام شاخه از فیزیک باید این فرآیند را مطالعه کند؟ با اعوجاج شدید، گرما می تواند آزاد شود، شاید ترمودینامیک باید با این فرآیندها مقابله کند؟ گاهی وقتی مایعات فشرده می شود شروع به جوشیدن می کند و وقتی گازها فشرده می شوند مایعات تشکیل می شود؟ بنابراین، آیا هیدرودینامیک باید تغییر شکل را درک کند؟ یا نظریه جنبشی مولکولی؟

همش بستگی دارد بر نیروی تغییر شکل، در درجه آن.اگر محیط تغییر شکل پذیر (ماده ای که فشرده یا کشیده شده است) اجازه دهد و فشرده سازی کم باشد، منطقی است که این فرآیند را به عنوان حرکت برخی از نقاط بدن نسبت به نقاط دیگر در نظر بگیریم.

و از آنجایی که سؤال کاملاً مرتبط است، به این معنی است که مکانیک با آن برخورد خواهد کرد.

قانون هوک و شرط تحقق آن

در سال 1660، دانشمند مشهور انگلیسی، رابرت هوک، پدیده ای را کشف کرد که می توان از آن برای توصیف مکانیکی فرآیند تغییر شکل استفاده کرد.

برای اینکه بفهمیم تحت چه شرایطی قانون هوک رعایت می شود، بیایید خودمان را به دو پارامتر محدود کنیم:

• چهار شنبه؛
• زور.

رسانه هایی (به عنوان مثال، گازها، مایعات، به ویژه مایعات چسبناک نزدیک به حالت جامد یا، برعکس، مایعات بسیار سیال) وجود دارند که توصیف مکانیکی فرآیند برای آنها غیرممکن است. برعکس، محیط‌هایی وجود دارند که در آن‌ها، با نیروهای به اندازه کافی بزرگ، مکانیک از «کار کردن» بازمی‌ماند.

مهم!به این سؤال: "قانون هوک تحت چه شرایطی درست است؟"، می توان پاسخ قطعی داد: "در تغییر شکل های کوچک".

قانون هوک، تعریف: تغییر شکلی که در جسم ایجاد می شود با نیرویی که باعث آن تغییر شکل می شود نسبت مستقیم دارد.

طبیعتاً این تعریف دلالت بر این دارد که:

• فشرده سازی یا کشش کم است.
• جسم الاستیک؛
• از ماده ای تشکیل شده است که در آن هیچ فرآیند غیرخطی در نتیجه فشرده سازی یا کشش وجود ندارد.

قانون هوک به شکل ریاضی

فرمول هوک، که در بالا به آن اشاره کردیم، نوشتن آن را به شکل زیر ممکن می سازد:

جایی که تغییر طول بدن در اثر فشردگی یا کشش است، F نیرویی است که به بدن وارد می شود و باعث تغییر شکل (نیروی الاستیک) می شود، k ضریب کشش است که بر حسب N/m اندازه گیری می شود.

باید به خاطر داشت که قانون هوک فقط برای کشش های کوچک معتبر است.

همچنین توجه می کنیم که هنگام کشیده شدن و فشرده شدن ظاهر یکسانی دارد. با توجه به اینکه نیرو یک کمیت برداری است و جهت دارد، در صورت فشرده سازی، فرمول زیر دقیق تر خواهد بود:

اما باز هم، همه چیز به این بستگی دارد که محوری که اندازه گیری می کنید به کجا هدایت می شود.

تفاوت اساسی بین فشرده سازی و گسترش چیست؟ هیچی اگر بی اهمیت باشد.

درجه کاربرد را می توان به صورت زیر در نظر گرفت:

بیایید به نمودار توجه کنیم. همانطور که می بینیم، با کشش های کوچک (ربع اول مختصات)، برای مدت طولانی نیرو با مختصات رابطه خطی دارد (خط قرمز)، اما سپس رابطه واقعی (خط نقطه چین) غیرخطی می شود و قانون دیگر حقیقت ندارد در عمل، این امر با کشش شدیدی منعکس می شود که فنر از بازگشت به موقعیت اولیه خود باز می ایستد و خواص خود را از دست می دهد. با کشش حتی بیشتر شکستگی رخ می دهد و ساختار فرو می ریزدمواد

با فشردگی های کوچک (ربع سوم مختصات)، برای مدت طولانی نیرو با مختصات نیز رابطه خطی دارد (خط قرمز)، اما بعد رابطه واقعی (خط نقطه چین) غیرخطی می شود و همه چیز دوباره از کار می افتد. در عمل، این منجر به فشرده سازی چنان قوی می شود که گرما شروع به آزاد شدن می کندو فنر خاصیت خود را از دست می دهد. با فشردگی بیشتر، سیم پیچ های فنر "به هم می چسبند" و شروع به تغییر شکل عمودی می کند و سپس کاملا ذوب می شود.

همانطور که می بینید، فرمول بیان کننده قانون به شما امکان می دهد با دانستن تغییر طول بدن، نیرو را پیدا کنید، یا با دانستن نیروی کشسان، تغییر طول را اندازه بگیرید:

همچنین، در برخی موارد، می توانید ضریب کشش را پیدا کنید. برای درک اینکه چگونه این کار انجام می شود، یک کار مثال را در نظر بگیرید:

یک دینامومتر به فنر متصل است. با اعمال نیروی 20 کشیده شد و به همین دلیل طول آن 1 متر شد. سپس او را رها کردند، صبر کردند تا ارتعاشات قطع شود و او به حالت عادی خود بازگشت. در حالت عادی طول آن 87.5 سانتی متر بود. بیایید سعی کنیم دریابیم که فنر از چه ماده ای ساخته شده است.

بیایید مقدار عددی تغییر شکل فنر را پیدا کنیم:

از اینجا می توانیم مقدار ضریب را بیان کنیم:

با نگاهی به جدول، می توان دریافت که این شاخص مربوط به فولاد فنری است.

مشکل ضریب الاستیسیته

همانطور که می دانیم فیزیک یک علم بسیار دقیق است، علاوه بر این، آنقدر دقیق است که کل علوم کاربردی را ایجاد کرده است که خطاها را اندازه گیری می کند. مدلی از دقت تزلزل ناپذیر، او نمی تواند دست و پا چلفتی باشد.

تمرین نشان می دهد که وابستگی خطی که در نظر گرفتیم چیزی بیش از این نیست قانون هوک برای یک میله نازک و کششی.فقط به عنوان یک استثنا می توان از آن برای فنرها استفاده کرد، اما حتی این نامطلوب است.

معلوم می شود که ضریب k یک مقدار متغیر است که نه تنها به این که بدنه از چه ماده ای ساخته شده است، بلکه به قطر و ابعاد خطی آن نیز بستگی دارد.

به همین دلیل، نتیجه گیری ما نیاز به توضیح و توسعه دارد، زیرا در غیر این صورت، فرمول:

را نمی توان چیزی بیش از وابستگی بین سه متغیر نامید.

مدول یانگ

بیایید سعی کنیم ضریب کشش را بفهمیم. این پارامتر همانطور که متوجه شدیم، به سه مقدار بستگی دارد:

• مواد (که به خوبی برای ما مناسب است)؛
• طول L (که نشان دهنده وابستگی آن به) است.
• مناطق.

مهم!بنابراین، اگر بتوانیم به نحوی طول L و مساحت S را از ضریب جدا کنیم، ضریب کاملاً به ماده بستگی دارد.

آنچه می دانیم:

• هرچه سطح مقطع بدنه بزرگتر باشد، ضریب k بیشتر است و وابستگی خطی است.
• هرچه طول بدن بزرگتر باشد ضریب k کمتر است و وابستگی نسبت عکس دارد.

به این معنی که می توانیم ضریب کشش را به این صورت بنویسیم:

که در آن E یک ضریب جدید است که اکنون دقیقاً به نوع ماده بستگی دارد.

اجازه دهید مفهوم "ازدیاد طول نسبی" را معرفی کنیم:

. 

نتیجه

اجازه دهید قانون هوک را برای کشش و فشرده سازی فرمول بندی کنیم: برای فشرده سازی های کوچک، تنش معمولی با ازدیاد طول رابطه مستقیم دارد.

ضریب E مدول یانگ نامیده می شود و صرفاً به ماده بستگی دارد.

مشاهدات نشان می دهد که برای اکثر اجسام کشسان مانند فولاد، برنز، چوب و غیره، بزرگی تغییر شکل ها متناسب با بزرگی نیروهای عامل است. یک مثال معمولی که این ویژگی را توضیح می دهد تعادل فنری است که در آن ازدیاد طول فنر متناسب با نیروی عمل کننده است. این را می توان از یکنواخت بودن مقیاس تقسیم چنین مقیاس هایی دریافت. به عنوان یک ویژگی کلی اجسام الاستیک، قانون تناسب بین نیرو و تغییر شکل برای اولین بار توسط R. Hooke در سال 1660 فرموله شد و در سال 1678 در اثر "De potentia restitutiva" منتشر شد. در فرمول نوین این قانون، نیروها و حرکات نقاط کاربرد آنها نیست، بلکه تنش و تغییر شکل است.

بنابراین، برای کشش خالص فرض می شود:

در اینجا کشیدگی نسبی هر بخش گرفته شده در جهت کشش است. به عنوان مثال، اگر دنده های نشان داده شده در شکل. 11 منشورها قبل از اعمال بار مانند a، b و c بودند، همانطور که در نقشه نشان داده شده است و پس از تغییر شکل به ترتیب، سپس .

ثابت E که دارای بعد تنش است، مدول الاستیک یا مدول یانگ نامیده می شود.

کشش عناصر موازی با تنش های عامل o با انقباض عناصر عمود بر هم همراه است، یعنی کاهش ابعاد عرضی میله (ابعاد در نقشه). کرنش عرضی نسبی

یک مقدار منفی خواهد بود. به نظر می رسد که تغییر شکل های طولی و عرضی در یک جسم الاستیک با یک نسبت ثابت مرتبط هستند:

مقدار بی بعد v که برای هر ماده ثابت است، نسبت تراکم جانبی یا نسبت پواسون نامیده می شود. خود پواسون، با توجه به ملاحظات نظری که بعداً معلوم شد نادرست است، معتقد بود که برای همه مواد (1829). در واقع مقادیر این ضریب متفاوت است. بله برای فولاد

با جایگزین کردن عبارت در آخرین فرمول، دریافت می کنیم:

قانون هوک یک قانون دقیق نیست. برای فولاد، انحراف از تناسب بین ناچیز است، در حالی که چدن یا کنده کاری به وضوح از این قانون پیروی نمی کند. برای آنها، و می توان با یک تابع خطی تنها در تقریب خشن است.

برای مدت طولانی، استحکام مواد فقط مربوط به موادی بود که از قانون هوک پیروی می‌کردند، و اعمال فرمول‌های استحکام مواد برای سایر اجسام تنها با اندوخته‌ای بسیار قابل انجام بود. در حال حاضر، قوانین کشش غیرخطی شروع به مطالعه و اعمال برای حل مسائل خاص کرده‌اند.

قانون هوکمعمولاً روابط خطی بین اجزای کرنش و اجزای تنش نامیده می شود.

بیایید یک متوازی الاضلاع مستطیلی ابتدایی با وجوه موازی با محورهای مختصات، بارگذاری شده با تنش معمولی در نظر بگیریم. σ x، به طور مساوی روی دو وجه مخالف توزیع شده است (شکل 1). که در آن σy = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.

تا حد تناسب، ازدیاد طول نسبی با فرمول داده می شود

جایی که E- مدول کششی کشش. برای فولاد E = 2*10 5 MPaبنابراین، تغییر شکل ها بسیار کوچک هستند و به صورت درصد یا 1 * 10 5 (در دستگاه های استرین گیج که تغییر شکل ها را اندازه گیری می کنند) اندازه گیری می شوند.

گسترش یک عنصر در جهت محور ایکسهمراه با باریک شدن آن در جهت عرضی، تعیین شده توسط اجزای تغییر شکل

جایی که μ - ثابتی به نام نسبت تراکم جانبی یا نسبت پواسون. برای فولاد μ معمولاً 0.25-0.3 در نظر گرفته می شود.

اگر عنصر مورد نظر به طور همزمان با تنش های معمولی بارگذاری شود σx, σy, σ z، به طور مساوی در امتداد چهره های آن توزیع می شود، سپس تغییر شکل ها اضافه می شود

با روی هم قرار دادن مولفه های تغییر شکل ناشی از هر یک از سه تنش، روابط را به دست می آوریم

این روابط توسط آزمایش های متعدد تایید شده است. کاربردی روش همپوشانییا برهم نهی هاتا زمانی که کرنش‌ها و تنش‌ها کوچک و به‌طور خطی به نیروهای اعمال‌شده وابسته باشند، یافتن کل کرنش‌ها و تنش‌های ناشی از چندین نیرو مجاز است. در چنین مواقعی از تغییرات کوچک در ابعاد بدن تغییر شکل یافته و حرکات جزئی نقاط اعمال نیروهای خارجی غافل می شویم و محاسبات خود را بر اساس ابعاد اولیه و شکل اولیه بدن قرار می دهیم.

لازم به ذکر است که کوچک بودن جابجایی ها لزوماً به معنای خطی بودن روابط بین نیروها و تغییر شکل ها نیست. بنابراین، برای مثال، در یک نیروی فشرده سمیله ای که علاوه بر آن با نیروی برشی بارگذاری می شود آر، حتی با انحراف کوچک δ یک نکته اضافی مطرح می شود م = Qδ، که مسئله را غیرخطی می کند. در چنین مواردی، انحرافات کل توابع خطی نیروها نیستند و با برهم نهی ساده بدست نمی آیند.

به طور تجربی ثابت شده است که اگر تنش های برشی در امتداد تمام وجوه عنصر عمل کنند، اعوجاج زاویه مربوطه فقط به اجزای متناظر تنش برشی بستگی دارد.

ثابت جیمدول برشی الاستیسیته یا مدول برشی نامیده می شود.

حالت کلی تغییر شکل یک عنصر در اثر اعمال سه مولفه تنش معمولی و سه مولفه تنش مماسی بر روی آن را می توان با استفاده از برهم نهی به دست آورد: سه تغییر شکل برشی، تعیین شده توسط روابط (5.2b)، روی سه تغییر شکل خطی تعیین شده توسط عبارات سوار می شوند. 5.2 a). معادلات (5.2a) و (5.2b) رابطه بین اجزای کرنش ها و تنش ها را مشخص می کنند و نامیده می شوند. قانون هوک را تعمیم داد. اجازه دهید اکنون نشان دهیم که مدول برشی جیبر حسب مدول کششی بیان می شود Eو نسبت پواسون μ . برای انجام این کار، مورد خاص کی را در نظر بگیرید σ x = σ , σy = -σ و σ z = 0.

بیایید عنصر را قطع کنیم آ ب پ تصفحات موازی با محور zو با زاویه 45 درجه نسبت به محورها متمایل است ایکسو در(شکل 3). به شرح زیر از شرایط تعادل عنصر 0 bs، استرس معمولی σ vدر تمام چهره های عنصر آ ب پ تبرابر با صفر و تنش های برشی برابر است

این حالت تنش نامیده می شود برش خالص. از معادلات (5.2a) نتیجه می شود که

یعنی پسوند عنصر افقی 0 است جبرابر با کوتاه شدن عنصر عمودی 0 ب: εy = -ε x.

زاویه بین چهره ها abو قبل از میلاد مسیحتغییر می کند و مقدار کرنش برشی مربوطه γ را می توان از مثلث 0 پیدا کرد bs:

نتیجه می شود که

اعمال نیروهای خارجی بر روی یک جسم جامد منجر به بروز تنش ها و تغییر شکل ها در نقاطی از حجم آن می شود. در این حالت، حالت تنش در یک نقطه، رابطه بین تنش‌های مناطق مختلف که از این نقطه عبور می‌کنند، توسط معادلات استاتیک تعیین می‌شوند و به خواص فیزیکی ماده بستگی ندارند. حالت تغییر شکل، رابطه بین جابجایی ها و تغییر شکل ها، با استفاده از ملاحظات هندسی یا سینماتیکی ایجاد می شود و همچنین به خواص ماده بستگی ندارد. به منظور ایجاد رابطه بین تنش ها و کرنش ها، باید ویژگی های واقعی مواد و شرایط بارگذاری را در نظر گرفت. مدل‌های ریاضی که روابط بین تنش‌ها و کرنش‌ها را توصیف می‌کنند بر اساس داده‌های تجربی توسعه یافته‌اند. این مدل ها باید ویژگی های واقعی مواد و شرایط بارگذاری را با دقت کافی منعکس کنند.

متداول ترین مدل ها برای مصالح سازه ای الاستیسیته و پلاستیسیته است. خاصیت ارتجاعی بدن برای تغییر شکل و اندازه تحت تأثیر بارهای خارجی و بازیابی پیکربندی اولیه خود با برداشتن بار است. از نظر ریاضی، خاصیت ارتجاعی در برقراری یک رابطه عملکردی یک به یک بین اجزای تانسور تنش و تانسور کرنش بیان می‌شود. خاصیت ارتجاعی نه تنها خواص مواد، بلکه شرایط بارگذاری را نیز منعکس می کند. برای اکثر مصالح ساختاری، خاصیت ارتجاعی خود را در مقادیر متوسط ​​نیروهای خارجی که منجر به تغییر شکل‌های کوچک می‌شود، و در نرخ‌های بارگذاری کم، زمانی که تلفات انرژی ناشی از اثرات دما ناچیز است، نشان می‌دهد. اگر اجزای تانسور تنش و تانسور کرنش با روابط خطی با هم مرتبط باشند، ماده ای را الاستیک خطی می نامند.

در سطوح بالای بارگذاری، زمانی که تغییر شکل‌های قابل توجهی در بدنه اتفاق می‌افتد، ماده تا حدی خاصیت ارتجاعی خود را از دست می‌دهد: هنگام تخلیه، ابعاد و شکل اصلی آن به طور کامل ترمیم نمی‌شود، و هنگامی که بارهای خارجی به طور کامل حذف می‌شوند، تغییر شکل‌های باقی‌مانده ثبت می‌شوند. در این مورد رابطه بین تنش ها و کرنش ها بدون ابهام متوقف می شود. این خاصیت مادی نامیده می شود پلاستیسیتهبه تغییر شکل‌های باقی‌مانده که در طی تغییر شکل پلاستیک انباشته می‌شوند، پلاستیک می‌گویند.

سطوح بار بالا می تواند باعث شود تخریب، یعنی تقسیم بدن به قطعات.جامدات ساخته شده از مواد مختلف در مقادیر مختلف تغییر شکل از بین می روند. شکست در تغییر شکل های کوچک شکننده است و معمولاً بدون تغییر شکل پلاستیکی قابل توجه رخ می دهد. چنین تخریبی برای چدن، فولادهای آلیاژی، بتن، شیشه، سرامیک و برخی دیگر از مصالح ساختاری معمول است. فولادهای کم کربن، فلزات غیرآهنی و پلاستیک‌ها با یک نوع شکست پلاستیکی در حضور تغییر شکل‌های باقیمانده قابل توجه مشخص می‌شوند. با این حال، تقسیم مواد به شکننده و انعطاف پذیر با توجه به ماهیت تخریب آنها بسیار دلخواه است؛ معمولاً به برخی از شرایط عملیاتی استاندارد اشاره دارد. همان ماده بسته به شرایط (دما، ماهیت بار، تکنولوژی ساخت و غیره) می تواند به صورت شکننده یا انعطاف پذیر رفتار کند. به عنوان مثال، موادی که در دمای معمولی پلاستیک هستند، در دماهای پایین ترد می شوند. بنابراین، درست تر است که در مورد مواد شکننده و پلاستیکی صحبت نکنید، بلکه در مورد حالت شکننده یا پلاستیکی مواد صحبت کنید.

بگذارید ماده به صورت خطی الاستیک و همسانگرد باشد. اجازه دهید یک حجم ابتدایی را تحت شرایط یک حالت تنش تک محوری در نظر بگیریم (شکل 1)، به طوری که تانسور تنش شکل داشته باشد.

با چنین باری، ابعاد در جهت محور افزایش می یابد اوه،با تغییر شکل خطی مشخص می شود که متناسب با بزرگی تنش است

عکس. 1.حالت تنش تک محوری

این رابطه یک نماد ریاضی است قانون هوکایجاد یک رابطه متناسب بین تنش و تغییر شکل خطی مربوطه در حالت تنش تک محوری. ضریب تناسب E مدول الاستیسیته طولی یا مدول یانگ نامیده می شود.بعد استرس دارد.

همراه با افزایش اندازه در جهت عمل؛ تحت فشار یکسان، کاهش اندازه در دو جهت متعامد رخ می دهد (شکل 1). تغییر شکل های مربوطه را با و نشان می دهیم ، و این تغییر شکل ها منفی و مثبت هستند و متناسب با:

با اعمال همزمان تنش ها در امتداد سه محور متعامد، زمانی که تنش های مماسی وجود ندارد، اصل برهم نهی (برهم نهی محلول ها) برای یک ماده الاستیک خطی معتبر است:

با در نظر گرفتن فرمول (1 4) به دست می آوریم

تنش های مماسی باعث تغییر شکل های زاویه ای می شوند و در تغییر شکل های کوچک بر تغییر ابعاد خطی و در نتیجه تغییر شکل های خطی تأثیر نمی گذارند. بنابراین در حالت تنش دلخواه نیز معتبر هستند و به اصطلاح بیان می کنند قانون هوک را تعمیم داد.

تغییر شکل زاویه ای ناشی از تنش مماسی و تغییر شکل و به ترتیب توسط تنش ها و. روابط متناسبی بین تنش‌های مماسی مربوطه و تغییر شکل‌های زاویه‌ای برای یک جسم همسانگرد الاستیک خطی وجود دارد.

که بیانگر قانون است برشی هوک.ضریب تناسب G نامیده می شود ماژول برشیمهم است که تنش معمولی بر تغییر شکل‌های زاویه‌ای تأثیر نگذارد، زیرا در این حالت فقط ابعاد خطی قطعات تغییر می‌کند و نه زوایای بین آنها (شکل 1).

همچنین یک رابطه خطی بین تنش متوسط ​​(2.18)، متناسب با اولین تغییر ناپذیر تانسور تنش، و کرنش حجمی (2.32) وجود دارد، که همزمان با اولین متغیر تانسور کرنش است:

عامل تناسب مربوطه بهتماس گرفت مدول الاستیسیته حجمی

فرمول (1 7) شامل ویژگی های الاستیک مواد است E، , جیو به،تعیین خواص کشسانی آن با این حال، این ویژگی ها مستقل نیستند. برای یک ماده همسانگرد، دو ویژگی الاستیک مستقل وجود دارد که معمولاً به عنوان مدول الاستیک انتخاب می شوند. Eو نسبت پواسون. برای بیان مدول برشی جیاز طریق Eو , اجازه دهید تغییر شکل برشی صفحه را تحت تأثیر تنش های مماسی در نظر بگیریم (شکل 2). برای ساده کردن محاسبات، از یک عنصر مربع با ضلع استفاده می کنیم آ.بیایید تنش های اصلی را محاسبه کنیم , . این تنش ها بر روی مناطقی که در زاویه ای نسبت به نواحی اصلی قرار دارند، عمل می کنند. از شکل 2 ما رابطه بین تغییر شکل خطی در جهت تنش و تغییر شکل زاویه ای را خواهیم یافت . مورب اصلی لوزی که تغییر شکل را مشخص می کند برابر است با

برای تغییر شکل های کوچک

با در نظر گرفتن این روابط

قبل از تغییر شکل، این قطر دارای اندازه بود . سپس خواهیم داشت

از قانون هوک تعمیم یافته (5) به دست می آوریم

مقایسه فرمول به دست آمده با نماد قانون هوک برای شیفت (6) به دست می آید

در نتیجه بدست می آوریم

با مقایسه این عبارت با قانون حجمی هوک (7)، به نتیجه می رسیم

مشخصات مکانیکی E، , جیو بهپس از پردازش داده های آزمایشی از نمونه های آزمایشی تحت انواع مختلف بارها یافت می شوند. از نظر فیزیکی، همه این ویژگی ها نمی توانند منفی باشند. علاوه بر این، از عبارت آخر چنین استنباط می شود که نسبت پواسون برای یک ماده همسانگرد از 1/2 تجاوز نمی کند. بنابراین، ما محدودیت های زیر را برای ثابت های الاستیک یک ماده همسانگرد به دست می آوریم:

مقدار محدود منجر به مقدار محدود می شود , که مربوط به یک ماده تراکم ناپذیر (at) است. در نتیجه از روابط کشسانی (5) تنش را بر حسب تغییر شکل بیان می کنیم. اجازه دهید اولین رابطه (5) را به شکل بنویسیم

با استفاده از برابری (9) خواهیم داشت

روابط مشابهی را می توان برای و مشتق کرد. در نتیجه بدست می آوریم

در اینجا از رابطه (8) برای مدول برشی استفاده می کنیم. علاوه بر این، تعیین

انرژی بالقوه تغییر شکل الاستیک

اجازه دهید ابتدا حجم ابتدایی را در نظر بگیریم dV=dxdydzتحت شرایط تنش تک محوری (شکل 1). از نظر ذهنی سایت را اصلاح کنید x=0(شکل 3). یک نیرو بر روی سطح مخالف وارد می شود . این نیرو روی جابجایی کار می کند . هنگامی که ولتاژ از سطح صفر به مقدار افزایش می یابد تغییر شکل مربوط به قانون هوک نیز از صفر به مقدار افزایش می یابد , و کار متناسب با شکل سایه دار در شکل است. 4 مربع: . اگر انرژی جنبشی و تلفات مرتبط با پدیده های حرارتی، الکترومغناطیسی و غیره را نادیده بگیریم، با توجه به قانون بقای انرژی، کار انجام شده به انرژی پتانسیل،انباشته شده در طول تغییر شکل: . مقدار Ф= dU/dVتماس گرفت انرژی پتانسیل خاص تغییر شکل،به معنای انرژی پتانسیل انباشته شده در واحد حجم یک جسم است. در حالت تنش تک محوری