8.2. Materjalide tugevuse põhiseadused

Staatika seosed. Need on kirjutatud järgmiste tasakaaluvõrrandite kujul.

Hooke'i seadus ( 1678): mida suurem jõud, seda suurem on deformatsioon ja pealegi on see jõuga otseselt võrdeline. Füüsiliselt tähendab see, et kõik kehad on vedrud, kuid suure jäikusega. Kui tala lihtsalt venitatakse pikisuunalise jõu toimel N= F selle seaduse võib kirjutada järgmiselt:

Siin
pikisuunaline jõud, l- tala pikkus, A- selle ristlõikepindala, E- esimest tüüpi elastsustegur ( Youngi moodul).

Võttes arvesse pingete ja deformatsioonide valemeid, on Hooke'i seadus kirjutatud järgmiselt:
.

Sarnast seost täheldatakse katsetes tangentsiaalsete pingete ja nihkenurga vahel:

.

G helistasnihkemoodul , harvem – teist tüüpi elastsusmoodul. Nagu igal seadusel, on ka Hooke'i seadusel kohaldatavuspiir. Pinge
, milleni Hooke'i seadus kehtib, kutsutakse proportsionaalsuse piir(see on materjalide tugevuse kõige olulisem omadus).

Kujutame sõltuvust  alates  graafiliselt (joonis 8.1). Seda pilti nimetatakse venitusskeem . Pärast punkti B (st kell
) see sõltuvus lakkab olemast lineaarne.

Kell
peale mahalaadimist tekivad kehasse jääkdeformatsioonid, seega helistas elastsuse piir .

Kui pinge saavutab väärtuse σ = σ t, hakkab paljudel metallidel ilmnema omadus nn. voolavus. See tähendab, et isegi pideva koormuse korral jätkab materjal deformeerumist (see tähendab, et see käitub nagu vedelik). Graafiliselt tähendab see, et diagramm on paralleelne abstsissiga (jaotis DL). Nimetatakse pinget σ t, mille juures materjal voolab voolavuspiir .

Mõned materjalid (St. 3 - ehitusteras) hakkavad pärast lühikest voolu uuesti vastu pidama. Materjali vastupidavus jätkub kuni teatud maksimumväärtuseni σ pr, seejärel algab järkjärguline hävitamine. Suurust σ pr nimetatakse tõmbetugevus (terase sünonüüm: tõmbetugevus, betooni puhul - kuup- või prismatugevus). Kasutatakse ka järgmisi nimetusi:

=R b

Sarnast seost täheldatakse katsetes nihkepingete ja nihkete vahel.

3) Duhameli-Neumanni seadus (lineaarne temperatuuripaisumine):

Temperatuurierinevuse korral muudavad kehad oma suurust ja seda otseselt proportsionaalselt selle temperatuuride erinevusega.

Olgu temperatuuride vahe
. Siis näeb see seadus välja selline:

Siin α - lineaarse soojuspaisumise koefitsient, l - varda pikkus, Δ l- selle pikenemine.

4) Roomamise seadus .

Uuringud on näidanud, et kõik materjalid on väikestes piirkondades väga heterogeensed. Terase skemaatiline struktuur on näidatud joonisel 8.2.

Mõnel komponendil on vedeliku omadused, mistõttu paljud koormuse all olevad materjalid saavad aja jooksul täiendavat pikenemist
(joon. 8.3.) (metallid kõrgel temperatuuril, betoon, puit, plast - normaaltemperatuuril). Seda nähtust nimetatakse pugema materjalist.

Vedelike seadus on järgmine: mida suurem jõud, seda suurem on keha liikumiskiirus vedelikus. Kui see seos on lineaarne (st jõud on võrdeline kiirusega), saab selle kirjutada järgmiselt:

E
Kui liigume edasi suhteliste jõudude ja suhteliste pikenemiste juurde, saame

Siin on indeks " kr "tähendab, et arvesse võetakse seda osa pikenemisest, mis on põhjustatud materjali roomamisest. Mehaanilised omadused nimetatakse viskoossuse koefitsiendiks.

Energia jäävuse seadus.

Mõelge koormatud talale

Tutvustame näiteks punkti liigutamise mõistet,

- punkti B vertikaalne liikumine;

- punkti C horisontaalne nihe.

Võimud
mõnda tööd tehes U. Arvestades, et jõud
hakkavad järk-järgult suurenema ja eeldades, et need suurenevad proportsionaalselt nihkega, saame:

.

Vastavalt kaitseseadusele: ükski töö ei kao, see kulub muu töö tegemiseks või muutub teiseks energiaks (energiat- see on töö, mida keha saab teha.).

Jõude töö
, kulub meie kehas tekkivate elastsusjõudude takistuse ületamiseks. Selle töö arvutamiseks võtame arvesse, et keha võib pidada väikestest elastsetest osakestest koosnevaks. Vaatleme ühte neist:

See on allutatud naaberosakeste pingele . Sellest tulenev stress on

Mõju all osake pikeneb. Definitsiooni järgi on venivus pikenemine pikkuseühiku kohta. Seejärel:

Arvutame tööd dW, mida jõud teeb dN (siinkohal võetakse arvesse ka seda, et jõud dN hakkavad järk-järgult suurenema ja suurenevad proportsionaalselt liigutustega):

Kogu keha jaoks saame:

.

Töö W mis oli toime pandud , kutsus elastse deformatsiooni energia.

Vastavalt energia jäävuse seadusele:

6)Põhimõte võimalikud liigutused .

See on üks energia jäävuse seaduse kirjutamise võimalustest.

Laske jõududel talale mõjuda F 1 , F 2 , … . Need panevad punktid kehas liikuma
ja pinge
. Anname keha täiendavad väikesed võimalikud liigutused
. Mehaanikas vormi märge
tähendab väljendit "koguse võimalik väärtus A" Need võimalikud liigutused põhjustavad keha võimalikud täiendavad deformatsioonid
. Need toovad kaasa täiendavate välisjõudude ja pingete ilmnemise
, δ.

Arvutame välisjõudude töö võimalike täiendavate väikeste nihete korral:

Siin
- nende punktide lisaliigutused, kus jõud rakendatakse F 1 , F 2 , …

Mõelge uuesti väikesele ristlõikega elementile dA ja pikkus dz (vt. joon. 8.5. ja 8.6.). Definitsiooni järgi täiendav pikenemine  dz Selle elemendi väärtus arvutatakse järgmise valemiga:

dz=  dz.

Elemendi tõmbejõud on:

dN = (+δ) dA ≈  dA..

Sisejõudude töö täiendavate nihete korral arvutatakse väikese elemendi jaoks järgmiselt:

dW = dN  dz = dA dz =  dV

KOOS
Kõigi väikeste elementide deformatsioonienergia summeerimisel saame deformatsiooni koguenergia:

Energia jäävuse seadus W = U annab:

.

Seda suhet nimetatakse võimalike liikumiste põhimõte(seda nimetatakse ka virtuaalse liikumise põhimõte). Samamoodi võime käsitleda juhtumit, kui mõjuvad ka tangentsiaalsed pinged. Siis saame selle saada deformatsioonienergiaks W lisatakse järgmine termin:

Siin  on nihkepinge,  on väikese elemendi nihe. Siis võimalike liikumiste põhimõte toimub järgmisel kujul:

Erinevalt eelmisest energia jäävuse seaduse kirjutamise vormist ei eeldata siin, et jõud hakkavad järk-järgult suurenema ja suurenevad võrdeliselt nihketega.

7) Poissoni efekt.

Vaatleme proovi pikenemise mustrit:

Kehaelemendi lühenemise nähtust risti pikenemise suunas nimetatakse Poissoni efekt.

Leiame pikisuunalise suhtelise deformatsiooni.

Ristsuunaline suhteline deformatsioon on järgmine:

Poissoni suhe kogust nimetatakse:

Isotroopsete materjalide (teras, malm, betoon) puhul Poissoni suhe

See tähendab, et ristisuunas deformatsioon vähem pikisuunaline

Märge : kaasaegsed tehnoloogiad suudavad luua komposiitmaterjale, mille Poissoni suhe on >1, see tähendab, et põikdeformatsioon on suurem kui pikisuunaline deformatsioon. Näiteks on see madala nurga all jäikade kiududega tugevdatud materjali puhul
<<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине
, st. vähem , seda suurem on Poissoni koefitsient.

Joon.8.8. Joon.8.9

Veelgi üllatavam on (joon. 8.9.) kujutatud materjal ja sellise tugevduse puhul on paradoksaalne tulemus - pikisuunaline pikenemine toob kaasa kere mõõtmete suurenemise ristisuunas.

8) Üldistatud Hooke'i seadus.

Vaatleme elementi, mis venib piki- ja põikisuunas. Leiame nendes suundades esinevad deformatsioonid.

Arvutame deformatsiooni tegevusest tulenev :

Vaatleme tegevusest tulenevat deformatsiooni , mis tekib Poissoni efekti tulemusena:

Üldine deformatsioon on järgmine:

Kui kehtiv ja , siis lisatakse x-telje suunas veel üks lühendus
.

Seega:

Samamoodi:

Neid suhteid nimetatakse üldistatud Hooke'i seadus.

Huvitav on see, et Hooke’i seadust kirjutades eeldatakse pikenemistüvede sõltumatust nihkepingetest (nihkepingetest sõltumatuse kohta, mis on sama) ja vastupidi. Eksperimendid kinnitavad neid oletusi hästi. Tulevikku vaadates märgime, et tugevus, vastupidi, sõltub tugevalt tangentsiaalsete ja tavaliste pingete kombinatsioonist.

Märge: Ülaltoodud seadusi ja eeldusi kinnitavad arvukad otsesed ja kaudsed katsed, kuid nagu kõik teisedki seadused, on ka nende kohaldamisala piiratud.

Nagu teate, uurib füüsika kõiki loodusseadusi: kõige lihtsamatest loodusteaduste üldiste põhimõteteni. Isegi neis valdkondades, kus tundub, et füüsika pole võimeline aru saama, mängib ta ikkagi esmast rolli ja iga väiksemgi seadus, iga printsiip – sellest ei pääse miski.

Kokkupuutel

Füüsika on aluste alus, see on kõigi teaduste algallikas.

Füüsika uurib kõigi kehade vastasmõju, nii paradoksaalselt väikesed kui ka uskumatult suured. Kaasaegne füüsika uurib aktiivselt mitte ainult väikesi, vaid hüpoteetilisi kehasid ja isegi see heidab valgust universumi olemusele.

Füüsika on jagatud osadeks, see ei lihtsusta mitte ainult teadust ennast ja selle mõistmist, vaid ka õppemetoodikat. Mehaanika tegeleb kehade liikumise ja liikuvate kehade vastasmõjuga, termodünaamika termiliste protsessidega, elektrodünaamika elektriliste protsessidega.

Miks peaks mehaanika deformatsiooni uurima?

Kompressioonist või pingest rääkides tuleks endalt esitada küsimus: milline füüsikaharu peaks seda protsessi uurima? Tugevate moonutuste korral võib soojust eralduda, ehk peaks termodünaamika nende protsessidega tegelema? Mõnikord hakkab vedelike kokkusurumisel keema ja gaaside kokkusurumisel tekivad vedelikud? Niisiis, kas hüdrodünaamika peaks mõistma deformatsiooni? Või molekulaarkineetiline teooria?

Kõik oleneb deformatsioonijõule, selle astmele. Kui deformeeritav keskkond (materjal, mis on kokkusurutud või venitatud) võimaldab ja kokkusurumine on väike, on mõttekas käsitleda seda protsessi kui keha mõne punkti liikumist teiste suhtes.

Ja kuna küsimus on puhtalt seotud, tähendab see, et mehaanikud tegelevad sellega.

Hooke'i seadus ja selle täitmise tingimus

1660. aastal avastas kuulus inglise teadlane Robert Hooke nähtuse, mille abil saab deformatsiooniprotsessi mehaaniliselt kirjeldada.

Et mõista, millistel tingimustel on Hooke'i seadus täidetud, Piirdume kahe parameetriga:

• kolmapäev;
• jõudu.

On keskkondi (näiteks gaasid, vedelikud, eriti tahke oleku lähedased viskoossed vedelikud või vastupidi väga vedelad vedelikud), mille puhul protsessi mehaaniliselt kirjeldada on võimatu. Ja vastupidi, on keskkondi, kus mehaanika piisavalt suurte jõudude korral lõpetab "töötamise".

Tähtis! Küsimusele: "Mis tingimustel Hooke'i seadus tõele vastab?", saab anda kindla vastuse: "Väikeste deformatsioonide korral."

Hooke'i seadus, määratlus: kehas esinev deformatsioon on otseselt võrdeline selle deformatsiooni põhjustava jõuga.

Loomulikult tähendab see määratlus järgmist:

• kokkusurumine või venitamine on väike;
• elastne objekt;
• see koosneb materjalist, milles ei toimu kokkusurumise või pinge tagajärjel tekkivaid mittelineaarseid protsesse.

Hooke'i seadus matemaatilises vormis

Hooke'i sõnastus, mida me eespool tsiteerisime, võimaldab selle kirjutada järgmisel kujul:

kus on keha pikkuse muutus kokkusurumisest või venitamisest, F on kehale mõjuv jõud, mis põhjustab deformatsiooni (elastsusjõud), k on elastsustegur, mõõdetuna N/m.

Tuleks meeles pidada, et Hooke'i seadus kehtib ainult väikeste venituste korral.

Samuti märgime, et sellel on venitatud ja kokkusurutuna sama välimus. Arvestades, et jõud on vektorsuurus ja sellel on suund, on kokkusurumise korral täpsem järgmine valem:

Kuid jällegi oleneb kõik sellest, kuhu suunatakse telg, mille suhtes te mõõdate.

Mis on põhimõtteline erinevus tihendamise ja laiendamise vahel? Mitte midagi, kui see on ebaoluline.

Rakendatavuse astet võib pidada järgmiselt:

Pöörame tähelepanu graafikule. Nagu näeme, on väikeste venitustega (koordinaatide esimene veerand) pikka aega koordinaadiga jõud lineaarses seoses (punane joon), kuid siis muutub tegelik seos (punktiirjoon) mittelineaarseks ja seadus lakkab olemast tõsi. Praktikas kajastub see nii tugevas venituses, et vedru ei naase oma algasendisse ja kaotab oma omadused. Veelgi suurema venitamisega tekib luumurd ja struktuur variseb kokku materjalist.

Väikeste kokkusurumiste korral (kolmas veerand koordinaatidest) on pikka aega ka jõud koordinaadiga lineaarses seoses (punane sirgjoon), kuid siis muutub tegelik seos (punktiirjoon) mittelineaarseks ja kõik lakkab uuesti töötamast. Praktikas annab see nii tugeva kokkusurumise, et soojus hakkab eralduma ja vedru kaotab oma omadused. Veelgi suurema kokkusurumise korral "kleepuvad" vedru poolid kokku ja see hakkab vertikaalselt deformeeruma ja seejärel täielikult sulama.

Nagu näeme, võimaldab seadust väljendav valem leida jõudu, teades keha pikkuse muutust, või teades elastsusjõudu, mõõta pikkuse muutust:

Mõnel juhul võite leida ka elastsuskoefitsiendi. Et mõista, kuidas seda tehakse, kaaluge näidisülesannet:

Vedruga on ühendatud dünamomeeter. Seda venitati jõuga 20, mille tõttu sai see 1 meetri pikkuseks. Siis nad vabastasid ta, ootasid, kuni vibratsioon lakkas, ja ta naasis oma tavalisse olekusse. Tavaolukorras oli selle pikkus 87,5 sentimeetrit. Proovime välja selgitada, mis materjalist vedru on valmistatud.

Leiame vedru deformatsiooni arvväärtuse:

Siit saame väljendada koefitsiendi väärtust:

Vaadates tabelit, võime leida, et see näitaja vastab vedruterasele.

Häda elastsuskoefitsiendiga

Füüsika, nagu me teame, on väga täpne teadus, pealegi on see nii täpne, et on loonud terved rakendusteadused, mis mõõdavad vigu. Vankumatu täpsusega mudel, ta ei saa endale lubada olla kohmakas.

Praktika näitab, et lineaarne sõltuvus, mida me käsitlesime, pole midagi muud kui Hooke'i seadus õhukese ja tõmbejõulise varda jaoks. Ainult erandkorras saab seda kasutada vedrude jaoks, kuid isegi see on ebasoovitav.

Selgub, et koefitsient k on muutuv väärtus, mis ei sõltu ainult sellest, millisest materjalist korpus on valmistatud, vaid ka läbimõõdust ja selle joonmõõtmetest.

Sel põhjusel vajavad meie järeldused selgitamist ja edasiarendamist, sest vastasel juhul on valem:

ei saa nimetada millekski muuks kui sõltuvuseks kolme muutuja vahel.

Youngi moodul

Proovime välja mõelda elastsuskoefitsiendi. See parameeter, nagu saime teada, sõltub kolmest kogusest:

• materjal (mis sobib meile üsna hästi);
• pikkus L (mis näitab selle sõltuvust);
• piirkond S.

Tähtis! Seega, kui õnnestub koefitsiendist kuidagi “eraldada” pikkus L ja pindala S, siis saame koefitsiendi, mis sõltub täielikult materjalist.

Mida me teame:

• mida suurem on keha ristlõikepindala, seda suurem on koefitsient k ja sõltuvus on lineaarne;
• mida pikem keha, seda väiksem on koefitsient k ja sõltuvus on pöördvõrdeline.

See tähendab, et saame elastsuskoefitsiendi kirjutada järgmiselt:

kus E on uus koefitsient, mis nüüd sõltub täpselt ainult materjali tüübist.

Tutvustame mõistet "suhteline pikenemine":

. 

Järeldus

Sõnastame Hooke'i seaduse pinge ja surve kohta: Väikeste kokkusurumiste korral on normaalne pinge otseselt proportsionaalne pikenemisega.

Koefitsienti E nimetatakse Youngi mooduliks ja see sõltub ainult materjalist.

Vaatlused näitavad, et enamiku elastsete kehade puhul, nagu teras, pronks, puit jne, on deformatsioonide suurus võrdeline mõjuvate jõudude suurusega. Tüüpiline näide selle omaduse selgitamiseks on vedru tasakaal, mille puhul vedru pikenemine on võrdeline mõjuva jõuga. Seda on näha sellest, et selliste skaalade jaotusskaala on ühtlane. Elastsete kehade üldomadusena sõnastas jõu ja deformatsiooni vahelise proportsionaalsuse seaduse esmakordselt 1660. aastal R. Hooke ja avaldas 1678. aastal teoses “De potentia restitutiva”. Selle seaduse kaasaegses sõnastuses ei arvestata mitte jõudu ja nende rakenduspunktide liikumist, vaid pinget ja deformatsiooni.

Seega puhta pinge puhul eeldatakse:

Siin on mis tahes segmendi suhteline pikenemine venituse suunas. Näiteks kui joonisel fig. 11 olid prismad enne koormuse rakendamist a, b ja c, nagu on näidatud joonisel ning pärast deformatsiooni on need vastavalt siis .

Konstanti E, millel on pinge mõõde, nimetatakse elastsusmooduliks või Youngi mooduliks.

Elementide pingega paralleelselt mõjuvate pingetega o kaasneb risti olevate elementide kokkutõmbumine, see tähendab varda põikimõõtmete vähenemine (mõõtmed joonisel). Suhteline põiksuunaline deformatsioon

on negatiivne väärtus. Selgub, et elastse keha piki- ja põikisuunalised deformatsioonid on seotud konstantse suhtega:

Iga materjali puhul konstantset mõõtmeteta suurust v nimetatakse külgsurvesuhteks või Poissoni suhteks. Poisson ise, lähtudes teoreetilistest kaalutlustest, mis hiljem osutusid ebaõigeks, uskus seda kõigi materjalide puhul (1829). Tegelikult on selle koefitsiendi väärtused erinevad. Jah, terase jaoks

Asendades avaldise viimases valemis, saame:

Hooke'i seadus ei ole täpne seadus. Terase puhul on kõrvalekalded proportsionaalsusest ebaolulised, samas kui malm või nikerdus ei allu sellele seadusele. Nende jaoks ja seda saab lineaarfunktsiooni abil lähendada ainult kõige jämedamal lähendusel.

Pikka aega oli materjalide tugevus seotud ainult materjalidega, mis järgivad Hooke'i seadust, ja materjalide tugevusvalemeid sai teistele kehadele rakendada vaid suure varuga. Praegu hakatakse mittelineaarseid elastsusseadusi uurima ja rakendama konkreetsete probleemide lahendamisel.

Hooke'i seadus mida tavaliselt nimetatakse lineaarseteks suheteks deformatsioonikomponentide ja pingekomponentide vahel.

Võtame elementaarse ristkülikukujulise rööptahu, mille tahud on paralleelsed koordinaattelgedega ja mis on koormatud normaalpingega σ x, jaotunud ühtlaselt kahe vastaskülje vahel (joonis 1). Kus σy = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.

Kuni proportsionaalsuse piirini on suhteline pikenemine antud valemiga

Kus E— tõmbeelastsusmoodul. Terase jaoks E = 2*10 5 MPa, seetõttu on deformatsioonid väga väikesed ja mõõdetakse protsentides või 1 * 10 5 (deformatsioone mõõtvates tensomõõturites).

Elemendi pikendamine telje suunas X millega kaasneb selle kitsenemine põikisuunas, mis on määratud deformatsioonikomponentidega

Kus μ - konstant, mida nimetatakse külgmise kokkusurumise suhteks või Poissoni suhteks. Terase jaoks μ tavaliselt võetakse 0,25-0,3.

Kui kõnealust elementi koormatakse samaaegselt tavaliste pingetega σx, σy, σ z, jaotub ühtlaselt piki selle tahke, seejärel lisatakse deformatsioonid

Kõigi kolme pinge põhjustatud deformatsioonikomponentide pealekandmisel saame seosed

Neid seoseid kinnitavad arvukad katsed. Rakendatud ülekatte meetod või superpositsioonid mitme jõu põhjustatud summaarsete deformatsioonide ja pingete leidmine on õigustatud seni, kuni deformatsioonid ja pinged on väikesed ja sõltuvad lineaarselt rakendatavatest jõududest. Sellistel juhtudel jätame tähelepanuta väikesed muutused deformeerunud keha mõõtmetes ja välisjõudude rakenduspunktide väikesed liikumised ning lähtume arvutustes keha algmõõtmetest ja algkujust.

Tuleb märkida, et nihkete väiksus ei pruugi tähendada, et jõudude ja deformatsioonide vahelised seosed on lineaarsed. Nii näiteks kokkusurutud jõus K varras koormatud täiendavalt nihkejõuga R, isegi väikese läbipainde korral δ tekib lisapunkt M = Qδ, mis muudab probleemi mittelineaarseks. Sellistel juhtudel ei ole kogupainded jõudude lineaarsed funktsioonid ja neid ei saa saada lihtsa superpositsiooniga.

Katseliselt on kindlaks tehtud, et kui nihkepinged mõjuvad piki elemendi kõiki tahke, siis vastava nurga moonutus sõltub ainult nihkepinge vastavatest komponentidest.

Püsiv G nimetatakse elastsusmooduliks või nihkemooduliks.

Elemendi deformatsiooni üldjuhtumi kolme normaal- ja kolme tangentsiaalse pinge komponendi mõjul sellele saab saada superpositsiooni abil: kolm nihkedeformatsiooni, mis on määratud suhetega (5.2b), kattuvad kolme lineaarse deformatsiooniga, mis on määratud avaldistega ( 5.2a). Võrrandid (5.2a) ja (5.2b) määravad deformatsioonide ja pingete komponentide vahelise seose ning neid nimetatakse üldistatud Hooke'i seadus. Näitame nüüd, et nihkemoodul G mida väljendatakse tõmbeelastsusmoodulina E ja Poissoni koefitsient μ . Selleks kaaluge erijuhtumit, kui σ x = σ , σy = -σ Ja σ z = 0.

Lõikame elemendi välja abcd teljega paralleelsed tasapinnad z ja telgede suhtes 45° nurga all X Ja juures(joonis 3). Nagu tuleneb elemendi 0 tasakaalutingimustest bс, normaalne stress σ v elemendi kõikidel külgedel abcd on võrdsed nulliga ja nihkepinged on võrdsed

Seda pingeseisundit nimetatakse puhas lõikamine. Võrranditest (5.2a) järeldub, et

see tähendab, et horisontaalse elemendi laiendus on 0 c võrdne vertikaalse elemendi lühenemisega 0 b: εy = -ε x.

Nurk nägude vahel ab Ja eKr muutused ja vastav nihkepinge väärtus γ võib leida kolmnurgast 0 bс:

Sellest järeldub

Väliste jõudude mõju tahkele kehale põhjustab selle ruumala punktides pingeid ja deformatsioone. Sellisel juhul määratakse pingeseisund punktis, seos pingete vahel seda punkti läbivatel erinevatel aladel, staatika võrranditega ja ei sõltu materjali füüsikalistest omadustest. Deformeeritud olek, nihkete ja deformatsioonide vaheline seos, määratakse kindlaks geomeetriliste või kinemaatilisi kaalutlusi kasutades ning samuti ei sõltu see materjali omadustest. Pingete ja deformatsioonide vahelise seose kindlakstegemiseks on vaja arvestada materjali tegelikke omadusi ja koormustingimusi. Katseandmetele tuginedes töötatakse välja pingete ja deformatsioonide vahelisi seoseid kirjeldavad matemaatilised mudelid. Need mudelid peavad piisava täpsusega kajastama materjalide tegelikke omadusi ja laadimistingimusi.

Konstruktsioonimaterjalide levinumad mudelid on elastsus ja plastilisus. Elastsus on keha omadus väliskoormuse mõjul muuta kuju ja suurust ning taastada koormuse eemaldamisel oma algne konfiguratsioon. Matemaatiliselt väljendub elastsuse omadus pingetensori ja deformatsioonitensori komponentide üks-ühele funktsionaalse seose loomises. Elastsuse omadus ei peegelda mitte ainult materjalide omadusi, vaid ka koormustingimusi. Enamiku konstruktsioonimaterjalide puhul avaldub elastsuse omadus väikeste deformatsioonideni viivate välisjõudude mõõdukate väärtuste juures ja madalatel koormustel, kui temperatuurimõjudest tingitud energiakadud on tühised. Materjali nimetatakse lineaarselt elastseks, kui pingetensori ja deformatsioonitensori komponendid on omavahel seotud lineaarsete seostega.

Suurel koormusel, kui kehas tekivad olulised deformatsioonid, kaotab materjal osaliselt oma elastsed omadused: mahalaadimisel ei taastata täielikult selle esialgseid mõõtmeid ja kuju ning väliskoormuse täielikul eemaldamisel registreeritakse jääkdeformatsioonid. Sel juhul pingete ja pingete vaheline seos lakkab olemast üheselt mõistetav. Seda materiaalset omadust nimetatakse plastilisus. Plastilise deformatsiooni käigus kogunenud jääkdeformatsioone nimetatakse plastiliseks.

Kõrge koormustase võib põhjustada hävitamine, st keha jagamine osadeks. Erinevatest materjalidest valmistatud tahked ained purunevad erineva deformatsiooni korral. Murd on väikeste deformatsioonide korral rabe ja toimub reeglina ilma märgatavate plastiliste deformatsioonideta. Selline hävitamine on tüüpiline malmile, legeerterasele, betoonile, klaasile, keraamikale ja mõnele muule konstruktsioonimaterjalile. Madala süsinikusisaldusega terastele, värvilistele metallidele ja plastidele on iseloomulik plastiline rike märkimisväärsete jääkdeformatsioonide korral. Materjalide jagamine rabedateks ja plastilisteks nende hävimise laadi järgi on aga väga meelevaldne, see viitab tavaliselt mõnele standardsele töötingimustele. Sama materjal võib olenevalt tingimustest (temperatuur, koormuse iseloom, tootmistehnoloogia jne) käituda rabeda või plastilisena. Näiteks materjalid, mis on tavatemperatuuril plastist, lagunevad madalal temperatuuril rabedaks. Seetõttu on õigem rääkida mitte rabedatest ja plastilistest materjalidest, vaid materjali rabedast või plastilisest olekust.

Materjal olgu lineaarselt elastne ja isotroopne. Vaatleme elementaarmahtu üheteljelise pingeseisundi tingimustes (joonis 1), nii et pingetensoril on kuju

Sellise koormuse korral suurenevad mõõtmed telje suunas Oh, mida iseloomustab lineaarne deformatsioon, mis on võrdeline pinge suurusega

Joonis 1.Üheteljeline pingeseisund

See seos on matemaatiline tähistus Hooke'i seadus proportsionaalse seose loomine pinge ja vastava lineaarse deformatsiooni vahel üheteljelises pingeseisundis. Proportsionaalsuskoefitsienti E nimetatakse pikisuunaliseks elastsusmooduliks või Youngi mooduliks. Sellel on stressi mõõde.

Koos suuruse suurenemisega tegevussuunas; Sama pinge korral toimub suuruse vähenemine kahes ristsuunas (joon. 1). Vastavaid deformatsioone tähistame ja , ja need deformatsioonid on negatiivsed, kuid positiivsed ja on võrdelised:

Pingete samaaegsel toimel piki kolme ortogonaaltelge, kui tangentsiaalseid pingeid pole, kehtib lineaarselt elastse materjali puhul superpositsiooni (lahenduste superpositsiooni) põhimõte:

Võttes arvesse valemeid (1 4) saame

Tangentsiaalsed pinged põhjustavad nurkdeformatsioone ja väikeste deformatsioonide korral ei mõjuta need joonmõõtmete muutumist, seega ka lineaarseid deformatsioone. Seetõttu kehtivad need ka suvalise pingeseisundi korral ja väljendavad nn üldistatud Hooke'i seadus.

Nurkdeformatsiooni põhjustavad tangentsiaalne pinge ning deformatsioon ja vastavalt pinged ja. Lineaarselt elastse isotroopse keha vastavate tangentsiaalsete pingete ja nurkdeformatsioonide vahel on proportsionaalsed seosed

mis väljendavad seadust Hooke'i käär. Proportsionaalsustegurit G nimetatakse nihkemoodul. On oluline, et normaalpinge ei mõjutaks nurkdeformatsioone, kuna sel juhul muutuvad ainult segmentide joonmõõtmed, mitte nendevahelised nurgad (joonis 1).

Lineaarne seos eksisteerib ka pingetensori esimese invariandiga võrdelise keskmise pinge (2.18) ja mahulise deformatsiooni (2.32) vahel, mis langeb kokku deformatsioonitensori esimese invariandiga:

Vastav proportsionaalsustegur TO helistas mahuline elastsusmoodul.

Valemid (1 7) sisaldavad materjali elastsusomadusi E, , G Ja TO, selle elastsete omaduste määramine. Need omadused ei ole aga sõltumatud. Isotroopse materjali puhul on kaks sõltumatut elastsuskarakteristikut, mis valitakse tavaliselt elastsusmooduliks E ja Poissoni koefitsient. Nihkemooduli väljendamiseks G läbi E Ja , Vaatleme tasapinnalist nihkedeformatsiooni tangentsiaalsete pingete mõjul (joonis 2). Arvutuste lihtsustamiseks kasutame ruudukujulist elementi, millel on külg A. Arvutame välja põhipinged , . Need pinged mõjuvad aladele, mis asuvad algsete alade suhtes nurga all. Jooniselt fig. 2 leiame seose pingesuunalise lineaarse deformatsiooni ja nurkdeformatsiooni vahel . Deformatsiooni iseloomustav rombi suurdiagonaal on võrdne

Väikeste deformatsioonide korral

Neid suhteid arvesse võttes

Enne deformatsiooni oli sellel diagonaalil suurus . Siis saame

Üldistatud Hooke'i seadusest (5) saame

Saadud valemi võrdlus Hooke'i seaduse tähistusega nihkele (6) annab

Selle tulemusena saame

Võrreldes seda avaldist Hooke’i mahuseadusega (7), jõuame tulemuseni

Mehaanilised omadused E, , G Ja TO leitakse pärast proovide katseandmete töötlemist erinevat tüüpi koormustel. Füüsilisest vaatenurgast ei saa kõik need omadused olla negatiivsed. Lisaks järeldub viimasest avaldisest, et isotroopse materjali Poissoni suhe ei ületa 1/2. Seega saame isotroopse materjali elastsuskonstantide jaoks järgmised piirangud:

Piirväärtus viib piirväärtuseni , mis vastab kokkusurumatule materjalile (at). Kokkuvõtteks võib öelda, et elastsusseostest (5) väljendame pinget deformatsioonina. Kirjutame vormile esimese seostest (5).

Võrdsust (9) kasutades saame

Sarnaseid seoseid saab tuletada ja jaoks. Selle tulemusena saame

Siin kasutame nihkemooduli jaoks seost (8). Lisaks tähistus

ELASTISE DEFORMATSIOONI POTENTSIAALNE ENERGIA

Vaatleme esmalt elementaarset mahtu dV=dxdydzüheteljeliste pingetingimuste korral (joonis 1). Parandage sait vaimselt x=0(joonis 3). Vastaspinnale mõjub jõud . See jõud töötab nihkel . Kui pinge tõuseb nulltasemelt väärtuseni ka vastav Hooke'i seadusest tulenev deformatsioon suureneb nullist väärtuseni , ja töö on võrdeline joonisel fig. 4 ruutu: . Kui jätta tähelepanuta kineetiline energia ning soojus-, elektromagnetiliste ja muude nähtustega seotud kaod, siis energia jäävuse seadusest tulenevalt muutub tehtud töö potentsiaalne energia, deformatsiooni ajal kogunenud: . Väärtus Ф= dU/dV helistas deformatsiooni eripotentsiaalne energia, millel on keha ruumalaühikusse kogunenud potentsiaalse energia tähendus. Üheteljelise pingeseisundi korral