8.2. Malzemelerin mukavemetinde kullanılan temel yasalar

Statik ilişkiler. Aşağıdaki denge denklemleri formunda yazılırlar.

Hook kanunu ( 1678): kuvvet ne kadar büyük olursa deformasyon da o kadar büyük olur ve kuvvetle doğru orantılıdır. Fiziksel olarak bu, tüm cisimlerin yay olduğu, ancak büyük bir sağlamlığa sahip olduğu anlamına gelir. Bir kiriş uzunlamasına bir kuvvetle basitçe gerildiğinde N= F bu yasa şu şekilde yazılabilir:

Burada
boyuna kuvvet, ben- ışın uzunluğu, A- kesit alanı, e- birinci türden esneklik katsayısı ( Gencin modülü).

Gerilme ve şekil değiştirme formülleri dikkate alınarak Hooke yasası şu şekilde yazılır:
.

Teğetsel gerilimler ile kayma açısı arasındaki deneylerde de benzer bir ilişki gözlenmektedir:

.

G ismindekayma modülü , daha az sıklıkla - ikinci türden elastik modül. Her yasa gibi Hooke yasasının da uygulanabilirlik sınırı vardır. Gerilim
Hooke yasasının geçerli olduğu noktaya denir orantılılık sınırı(Malzemelerin mukavemetindeki en önemli özellik budur).

Bağımlılığı tasvir edelim  itibaren  grafiksel olarak (Şekil 8.1). Bu resmin adı germe diyagramı . B noktasından sonra (yani
) bu bağımlılık doğrusal olmaktan çıkar.

Şu tarihte:
boşaltmadan sonra vücutta artık deformasyonlar görülür, bu nedenle isminde elastik sınır .

Gerilim σ = σt değerine ulaştığında birçok metal adı verilen bir özellik sergilemeye başlar. akışkanlık. Bu, sabit yük altında bile malzemenin deforme olmaya devam ettiği (yani sıvı gibi davrandığı) anlamına gelir. Grafiksel olarak bu, diyagramın apsise paralel olduğu anlamına gelir (DL bölümü). Malzemenin aktığı σt voltajına denir akma dayanımı .

Bazı malzemeler (St. 3 - inşaat çeliği) kısa bir akıştan sonra tekrar direnç göstermeye başlar. Malzemenin direnci belli bir maksimum σpr değerine kadar devam eder, daha sonra kademeli yıkım başlar. σ pr miktarına denir gerilme direnci (çeliğin eşanlamlısı: çekme dayanımı, beton için kübik veya prizmatik dayanım). Aşağıdaki tanımlamalar da kullanılmaktadır:

=R B

Kayma gerilmeleri ve kesmeler arasındaki deneylerde de benzer bir ilişki gözlemlenmiştir.

3) Duhamel-Neumann yasası (doğrusal termal genleşme):

Sıcaklık farkı olması durumunda cisimler büyüklüklerini değiştirirler ve bu sıcaklık farkıyla doğru orantılıdır.

Sıcaklık farkı olsun
. O zaman bu yasa şöyle görünür:

Burada α - doğrusal termal genleşme katsayısı, ben - çubuk uzunluğu, Δ ben- onun uzaması.

4) Sürünme Yasası .

Araştırmalar, küçük alanlarda tüm malzemelerin oldukça heterojen olduğunu göstermiştir. Çeliğin şematik yapısı Şekil 8.2'de gösterilmektedir.

Bazı bileşenler sıvı özelliklerine sahip olduğundan, yük altındaki birçok malzeme zamanla ek uzamaya maruz kalır.
(Şekil 8.3.) (yüksek sıcaklıklarda metaller, beton, ahşap, plastik - normal sıcaklıklarda). Bu fenomene denir sürünme malzeme.

Sıvılar kanunu: kuvvet ne kadar büyük olursa, vücudun sıvı içindeki hareket hızı da o kadar büyük olur. Bu ilişki doğrusal ise (yani kuvvet hız ile orantılıysa), o zaman şu şekilde yazılabilir:

e
Göreli kuvvetlere ve göreceli uzamalara geçersek, şunu elde ederiz:

İşte indeks " cr ", malzemenin sünmesinden kaynaklanan uzama kısmının dikkate alındığı anlamına gelir. Mekanik karakteristiği viskozite katsayısı denir.

Enerjinin korunumu kanunu.

Yüklü bir kiriş düşünün

Örneğin bir noktayı hareket ettirme kavramını tanıtalım:

- B noktasının dikey hareketi;

- C noktasının yatay yer değiştirmesi.

Güçler
biraz iş yaparken sen. kuvvetleri göz önünde bulundurarak
kademeli olarak artmaya başlar ve bunların yer değiştirmelerle orantılı olarak arttığını varsayarak şunu elde ederiz:

.

Koruma kanununa göre: hiçbir iş kaybolmaz, başka işlere harcanır veya başka bir enerjiye dönüşür (enerji- bu vücudun yapabileceği iştir.).

Kuvvetlerin çalışması
Vücudumuzda ortaya çıkan elastik kuvvetlerin direncinin üstesinden gelmeye harcanır. Bu işi hesaplamak için cismin küçük elastik parçacıklardan oluştuğunu dikkate alıyoruz. Bunlardan birini ele alalım:

Komşu parçacıkların gerilimine maruz kalır . Sonuçta ortaya çıkan stres

Etkisi altında parçacık uzayacaktır. Tanıma göre uzama birim uzunluktaki uzamadır. Daha sonra:

İşi hesaplayalım dW kuvvetin yaptığı dN (burada kuvvetlerin de dikkate alındığı dikkate alınır) dN giderek artmaya başlar ve hareketlerle orantılı olarak artar):

Tüm vücut için şunu elde ederiz:

.

İş K taahhüt edilen , isminde elastik deformasyon enerjisi.

Enerjinin korunumu yasasına göre:

6)Prensip olası hareketler .

Bu, enerjinin korunumu yasasını yazma seçeneklerinden biridir.

Kuvvetlerin kirişe etki etmesine izin verin F 1 , F 2 , … . Vücutta noktaların hareket etmesine neden olurlar
ve voltaj
. Hadi cesedi verelim ek küçük olası hareketler
. Mekanikte formun gösterimi
"miktarın olası değeri" ifadesi anlamına gelir A" Bu olası hareketler vücudun olası ek deformasyonlar
. Ek dış kuvvetlerin ve streslerin ortaya çıkmasına yol açacaklar
, δ.

Ek olası küçük yer değiştirmeler üzerinde dış kuvvetlerin işini hesaplayalım:

Burada
- kuvvetlerin uygulandığı noktaların ek hareketleri F 1 , F 2 , …

Tekrar kesiti olan küçük bir elemanı düşünün dA ve uzunluk dz (bkz. Şekil 8.5. ve 8.6.). Tanıma göre ek uzama  dz Bu elementin miktarı aşağıdaki formülle hesaplanır:

dz=  dz.

Elemanın çekme kuvveti şu şekilde olacaktır:

dN = (+δ) dA ≈  dA..

Küçük bir eleman için iç kuvvetlerin ilave yer değiştirmeler üzerindeki işi aşağıdaki şekilde hesaplanır:

dW = dN  dz = dA dz =  dV

İLE
tüm küçük elemanların deformasyon enerjisini toplayarak toplam deformasyon enerjisini elde ederiz:

Enerji korunumu kanunu K = sen verir:

.

Bu orana denir olası hareketler ilkesi(aynı zamanda denir sanal hareketler ilkesi). Benzer şekilde, teğetsel gerilmelerin de etkili olduğu durumu düşünebiliriz. O zaman bunu deformasyon enerjisine çevirebiliriz K aşağıdaki terim eklenecektir:

Burada  kesme gerilmesi,  küçük elemanın yer değiştirmesidir. Daha sonra olası hareketler ilkesişu şekli alacaktır:

Enerjinin korunumu yasasını yazmanın önceki biçiminden farklı olarak, burada kuvvetlerin kademeli olarak artmaya başladığı ve yer değiştirmelerle orantılı olarak arttığı varsayımı yoktur.

7) Poisson etkisi.

Örnek uzama modelini ele alalım:

Bir gövde elemanının uzama yönünde kısalması olayına denir. Poisson etkisi.

Boyuna bağıl deformasyonu bulalım.

Enine bağıl deformasyon şöyle olacaktır:

Poisson oranı miktar denir:

İzotropik malzemeler için (çelik, dökme demir, beton) Poisson oranı

Bu, enine yönde deformasyonun olduğu anlamına gelir. az boyuna

Not : Modern teknolojiler Poisson oranı >1 olan kompozit malzemeler oluşturabilir, yani enine deformasyon uzunlamasına olandan daha büyük olacaktır. Örneğin, düşük açılı sert fiberlerle güçlendirilmiş bir malzeme için durum böyledir.
<<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине
, yani daha az Poisson oranı ne kadar büyük olursa.

Şekil 8.8. Şekil 8.9

Daha da şaşırtıcı olan, (Şekil 8.9.)'da gösterilen malzemedir ve bu tür bir takviye için paradoksal bir sonuç vardır - uzunlamasına uzama, gövdenin boyutunda enine yönde bir artışa yol açar.

8) Genelleştirilmiş Hooke yasası.

Boyuna ve enine yönlerde uzanan bir eleman düşünelim. Bu yönlerde meydana gelen deformasyonu bulalım.

Deformasyonu hesaplayalım eylemden kaynaklanan :

Eylemden kaynaklanan deformasyonu ele alalım Poisson etkisinin bir sonucu olarak ortaya çıkan:

Genel deformasyon şöyle olacaktır:

Geçerli ise ve , ardından x ekseni yönünde başka bir kısaltma eklenecektir
.

Buradan:

Aynı şekilde:

Bu ilişkilere denir genelleştirilmiş Hooke yasası.

Hooke yasasını yazarken, uzama şekil değiştirmelerinin kayma şekil değiştirmelerinden bağımsız olduğu (aynı şey olan kesme gerilimlerinden bağımsızlık hakkında) ve bunun tersi hakkında bir varsayımda bulunulması ilginçtir. Deneyler bu varsayımları iyi bir şekilde doğrulamaktadır. İleriye baktığımızda, tam tersine, gücün büyük ölçüde teğetsel ve normal gerilimlerin kombinasyonuna bağlı olduğunu görüyoruz.

Not: Yukarıdaki yasalar ve varsayımlar çok sayıda doğrudan ve dolaylı deneyle doğrulanmıştır, ancak diğer tüm yasalar gibi bunların da sınırlı bir uygulanabilirlik kapsamı vardır.

Bildiğiniz gibi fizik, doğanın tüm yasalarını inceler: en basitinden doğa biliminin en genel ilkelerine kadar. Fiziğin anlayamadığı alanlarda bile hâlâ temel bir rol oynuyor ve en küçük yasa, her prensip, hiçbir şey ondan kaçamıyor.

Temas halinde

Temellerin temeli fiziktir; tüm bilimlerin kökeninde yatan budur.

Fizik tüm cisimlerin etkileşimini inceler, hem paradoksal olarak küçük hem de inanılmaz derecede büyük. Modern fizik aktif olarak sadece küçük değil, varsayımsal cisimleri de inceliyor ve bu bile evrenin özüne ışık tutuyor.

Fizik bölümlere ayrılmıştır. bu sadece bilimin kendisini ve anlayışını basitleştirmekle kalmaz, aynı zamanda çalışma metodolojisini de basitleştirir. Mekanik cisimlerin hareketi ve hareketli cisimlerin etkileşimi ile ilgilenir, termodinamik termal süreçlerle, elektrodinamik ise elektriksel süreçlerle ilgilenir.

Mekanik neden deformasyonu incelemelidir?

Sıkıştırma veya gerilimden bahsederken kendinize şu soruyu sormalısınız: Bu süreci hangi fizik dalı incelemelidir? Güçlü bozulmalarla ısı açığa çıkabilir, belki de termodinamik bu süreçlerle ilgilenmeli? Bazen sıvılar sıkıştırıldığında kaynamaya başlar ve gazlar sıkıştırıldığında sıvılar mı oluşur? Peki hidrodinamik deformasyonu anlamalı mı? Veya moleküler kinetik teorisi?

Her şey bağlıdır deformasyonun kuvvetine, derecesine. Deforme olabilen ortam (sıkıştırılmış veya gerilmiş malzeme) izin veriyorsa ve sıkıştırma küçükse, bu süreci vücudun bazı noktalarının diğerlerine göre hareketi olarak düşünmek mantıklıdır.

Ve soru tamamen ilgili olduğundan, bu, teknisyenlerin bununla ilgileneceği anlamına gelir.

Hooke yasası ve yerine getirilmesinin koşulu

1660 yılında ünlü İngiliz bilim adamı Robert Hooke, deformasyon sürecini mekanik olarak tanımlamak için kullanılabilecek bir olguyu keşfetti.

Hooke yasasının hangi koşullar altında sağlandığını anlamak için, Kendimizi iki parametreyle sınırlayalım:

• Çarşamba;
• güç.

Süreci mekanik olarak tanımlamanın imkansız olduğu ortamlar (örneğin gazlar, sıvılar, özellikle katı hallere yakın viskoz sıvılar veya tersine çok akışkan sıvılar) vardır. Tersine, yeterince büyük kuvvetlerle mekaniğin "çalışmayı" durdurduğu ortamlar da vardır.

Önemli!“Hooke yasası hangi koşullar altında doğrudur?” sorusuna kesin bir cevap verilebilir: “Küçük deformasyonlarda.”

Hooke Yasası, tanım: Bir cisimde meydana gelen deformasyon, o deformasyona neden olan kuvvetle doğru orantılıdır.

Doğal olarak bu tanım şu anlama gelmektedir:

• sıkıştırma veya germe küçüktür;
• elastik nesne;
• sıkıştırma veya çekme sonucu doğrusal olmayan süreçlerin olmadığı bir malzemeden oluşur.

Hooke Yasasının Matematiksel Biçimi

Hooke'un yukarıda alıntıladığımız formülasyonu, bunu aşağıdaki biçimde yazmamızı mümkün kılmaktadır:

sıkıştırma veya esneme nedeniyle gövde uzunluğundaki değişiklik, F, gövdeye uygulanan ve deformasyona neden olan kuvvettir (elastik kuvvet), k, N/m cinsinden ölçülen elastiklik katsayısıdır.

Hooke yasasının hatırlanması gerekir. yalnızca küçük uzanmalar için geçerlidir.

Gerildiğinde ve sıkıştırıldığında aynı görünüme sahip olduğunu da not ediyoruz. Kuvvetin vektörel bir büyüklük olduğu ve bir yönü olduğu göz önüne alındığında, sıkıştırma durumunda aşağıdaki formül daha doğru olacaktır:

Ancak yine de her şey, ölçtüğünüz eksenin nereye yönlendirileceğine bağlıdır.

Sıkıştırma ve uzatma arasındaki temel fark nedir? Önemsizse hiçbir şey.

Uygulanabilirlik derecesi şu şekilde değerlendirilebilir:

Grafiğe dikkat edelim. Gördüğümüz gibi, küçük uzatmalarla (koordinatların ilk çeyreği), uzun süre koordinatla kuvvetin doğrusal bir ilişkisi vardır (kırmızı düz çizgi), ancak daha sonra gerçek ilişki (noktalı çizgi) doğrusal olmayan hale gelir ve yasa gerçek olmaktan çıkıyor. Uygulamada bu, yayın orijinal konumuna dönmesini durduracak ve özelliklerini kaybedecek kadar güçlü bir esneme ile yansıtılır. Daha da esneyerek bir kırılma meydana gelir ve yapı çöker malzeme.

Küçük sıkıştırmalarla (koordinatların üçüncü çeyreği), uzun süre koordinatla kuvvetin de doğrusal bir ilişkisi vardır (kırmızı çizgi), ancak daha sonra gerçek ilişki (noktalı çizgi) doğrusal olmayan hale gelir ve her şey yeniden çalışmayı bırakır. Pratikte bu, o kadar güçlü bir sıkıştırmayla sonuçlanır ki ısı yayılmaya başlar ve yay özelliklerini kaybeder. Daha da fazla sıkıştırmayla yayın bobinleri "birbirine yapışır" ve dikey olarak deforme olmaya başlar ve ardından tamamen erir.

Gördüğümüz gibi, yasayı ifade eden formül, vücudun uzunluğundaki değişimi bilerek kuvveti bulmanızı veya elastik kuvveti bilerek uzunluktaki değişimi ölçmenizi sağlar:

Ayrıca bazı durumlarda esneklik katsayısını da bulabilirsiniz. Bunun nasıl yapıldığını anlamak için örnek bir görevi düşünün:

Yaya bir dinamometre bağlanır. 20'lik bir kuvvet uygulanarak gerildi ve bu sayede 1 metre uzunluğa ulaştı. Daha sonra onu serbest bıraktılar, titreşimlerin durmasını beklediler ve normal durumuna döndü. Normal durumda uzunluğu 87,5 santimetreydi. Yayın hangi malzemeden yapıldığını bulmaya çalışalım.

Yay deformasyonunun sayısal değerini bulalım:

Buradan katsayının değerini şu şekilde ifade edebiliriz:

Tabloya baktığımızda bu göstergenin yay çeliğine karşılık geldiğini görebiliriz.

Esneklik katsayısıyla ilgili sorun

Fizik, bildiğimiz gibi, çok kesin bir bilimdir; üstelik o kadar kesindir ki, hataları ölçen bütün uygulamalı bilimleri yaratmıştır. Sarsılmaz bir hassasiyet modeli, beceriksiz olmayı göze alamaz.

Uygulama, dikkate aldığımız doğrusal bağımlılığın bundan başka bir şey olmadığını gösteriyor İnce ve gerilebilir bir çubuk için Hooke yasası. Sadece bir istisna olarak yaylar için kullanılabilir, ancak bu bile istenmeyen bir durumdur.

K katsayısının yalnızca gövdenin hangi malzemeden yapıldığına değil aynı zamanda çapa ve doğrusal boyutlarına da bağlı olan değişken bir değer olduğu ortaya çıktı.

Bu nedenle, sonuçlarımızın açıklığa kavuşturulması ve geliştirilmesi gerekmektedir, aksi takdirde formül:

üç değişken arasındaki bağımlılıktan başka bir şey olarak adlandırılamaz.

Gencin modülü

Esneklik katsayısını bulmaya çalışalım. Bu parametre, öğrendiğimiz gibi, üç miktara bağlıdır:

• malzeme (bize oldukça uygun);
• uzunluk L (bağımlılığını gösterir);
• alan S.

Önemli! Böylece, L uzunluğunu ve S alanını katsayıdan bir şekilde "ayırmayı" başarırsak, tamamen malzemeye bağlı bir katsayı elde ederiz.

Ne biliyoruz:

• vücudun kesit alanı ne kadar büyük olursa, k katsayısı da o kadar büyük olur ve bağımlılık doğrusaldır;
• vücut uzunluğu ne kadar büyük olursa k katsayısı o kadar düşük olur ve bağımlılık ters orantılıdır.

Bu, esneklik katsayısını şu şekilde yazabileceğimiz anlamına gelir:

burada E, artık tam olarak yalnızca malzemenin türüne bağlı olan yeni bir katsayıdır.

“Göreceli uzama” kavramını tanıtalım:

. 

Çözüm

Gerilme ve sıkışma için Hooke yasasını formüle edelim: Küçük kompresyonlar için normal stres uzamayla doğru orantılıdır.

E katsayısına Young modülü denir ve yalnızca malzemeye bağlıdır.

Gözlemler, çelik, bronz, ahşap vb. gibi çoğu elastik cisim için deformasyonların büyüklüğünün, etkiyen kuvvetlerin büyüklüğüyle orantılı olduğunu göstermektedir. Bu özelliği açıklayan tipik bir örnek, yayın uzamasının etki eden kuvvetle orantılı olduğu yaylı terazidir. Bu tür terazilerin bölme ölçeğinin tekdüze olmasından da bu anlaşılmaktadır. Elastik cisimlerin genel bir özelliği olan kuvvet ve deformasyon arasındaki orantı kanunu ilk kez 1660 yılında R. Hooke tarafından formüle edilmiş ve 1678 yılında “De potentia restitutiva” adlı eserde yayınlanmıştır. Bu yasanın modern formülasyonunda dikkate alınan, uygulama noktalarındaki kuvvetler ve hareketler değil, gerilim ve deformasyondur.

Dolayısıyla saf gerilim için şu varsayılır:

Burada herhangi bir parçanın esneme yönünde alınan bağıl uzaması verilmiştir. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen kaburgalar varsa. Şekil 11'de yük uygulanmadan önce prizmalar çizimde gösterildiği gibi a, b ve c idi ve deformasyondan sonra sırasıyla .

Gerilme boyutuna sahip olan E sabitine elastik modül veya Young modülü denir.

Etkin gerilmelere paralel elemanların gerilimine, dik elemanların büzülmesi, yani çubuğun enine boyutlarında bir azalma (çizimdeki boyutlar) eşlik eder. Bağıl enine gerinim

negatif bir değer olacaktır. Elastik bir gövdedeki boyuna ve enine deformasyonların sabit bir oranla ilişkili olduğu ortaya çıktı:

Her malzeme için sabit olan boyutsuz miktar v'ye yanal sıkıştırma oranı veya Poisson oranı denir. Daha sonra yanlış olduğu ortaya çıkan teorik düşüncelerden yola çıkan Poisson'un kendisi, tüm materyaller için buna inanıyordu (1829). Aslında bu katsayının değerleri farklıdır. Evet, çelik için

Son formüldeki ifadeyi değiştirerek şunu elde ederiz:

Hooke Yasası kesin bir yasa değildir. Çelik için, arasındaki orantısallıktan sapmalar önemsizdir, oysa dökme demir veya oymacılık açıkça bu yasaya uymamaktadır. Onlar için ve sadece en kaba yaklaşımla doğrusal bir fonksiyonla yaklaşılabilir.

Uzun bir süre boyunca malzemelerin mukavemeti yalnızca Hooke kanununa uyan malzemelerle ilgiliydi ve malzeme formüllerinin diğer cisimlere uygulanması ancak büyük bir ihtiyatla yapılabiliyordu. Şu anda doğrusal olmayan esneklik yasaları üzerinde çalışılmaya ve belirli sorunların çözümünde uygulanmaya başlandı.

Hook kanunu Genellikle gerinim bileşenleri ve gerilim bileşenleri arasındaki doğrusal ilişkiler denir.

Yüzleri koordinat eksenlerine paralel olan, normal gerilim yüklü temel bir dikdörtgen paralel yüzlü alalım σ x, iki karşıt yüze eşit olarak dağıtılmıştır (Şekil 1). burada σy = σz = τ x y = τxz = τyz = 0.

Orantılılık sınırına kadar bağıl uzama formülle verilir

Nerede e- Çekme elastikiyet modülü. Çelik için e = 2*10 5 MPa dolayısıyla deformasyonlar çok küçüktür ve yüzde veya 1*10 5 (deformasyonları ölçen gerinim ölçer cihazlarda) olarak ölçülür.

Bir elemanı eksen yönünde uzatma X deformasyon bileşenleri tarafından belirlenen enine yönde daralması ile birlikte

Nerede μ - yanal sıkıştırma oranı veya Poisson oranı adı verilen bir sabit. Çelik için μ genellikle 0,25-0,3'e eşit alınır.

Söz konusu eleman normal gerilmelerle aynı anda yüklenirse σ x, σy, σz, yüzleri boyunca eşit olarak dağıtılır, ardından deformasyonlar eklenir

Üç gerilimin her birinin neden olduğu deformasyon bileşenlerini üst üste bindirerek aşağıdaki ilişkileri elde ederiz:

Bu ilişkiler çok sayıda deneyle doğrulanmıştır. Uygulamalı kaplama yöntemi veya süperpozisyonlarÇeşitli kuvvetlerin neden olduğu toplam gerinim ve gerilmeleri bulmak, gerinimler ve gerilmeler küçük olduğu ve uygulanan kuvvetlere doğrusal olarak bağlı olduğu sürece meşrudur. Bu gibi durumlarda, deforme olmuş cismin boyutlarındaki küçük değişiklikleri ve dış kuvvetlerin uygulama noktalarındaki küçük hareketleri ihmal eder ve hesaplamalarımızı cismin başlangıç ​​boyutlarına ve başlangıç ​​şekline dayandırırız.

Yer değiştirmelerin küçük olmasının, kuvvetler ve deformasyonlar arasındaki ilişkilerin doğrusal olduğu anlamına gelmediğine dikkat edilmelidir. Yani örneğin sıkıştırılmış bir kuvvette Qçubuk ayrıca kesme kuvvetiyle yüklendi R küçük sapmalarda bile δ bir nokta daha ortaya çıkıyor M = Qδ bu da problemi doğrusal olmayan hale getirir. Bu gibi durumlarda toplam sapmalar kuvvetlerin doğrusal fonksiyonları değildir ve basit süperpozisyonla elde edilemez.

Kesme gerilmeleri elemanın tüm yüzleri boyunca etki ediyorsa, karşılık gelen açının distorsiyonunun yalnızca kesme gerilmesinin karşılık gelen bileşenlerine bağlı olduğu deneysel olarak tespit edilmiştir.

Devamlı G elastisitenin kayma modülü veya kayma modülü denir.

Bir elemanın üzerindeki üç normal ve üç teğetsel gerilme bileşeninin etkisi nedeniyle deformasyonunun genel durumu, süperpozisyon kullanılarak elde edilebilir: ilişkiler (5.2b) ile belirlenen üç kayma deformasyonu, ifadelerle belirlenen üç doğrusal deformasyonun üzerine bindirilir ( 5.2a). Denklemler (5.2a) ve (5.2b), gerinim ve gerilmelerin bileşenleri arasındaki ilişkiyi belirler ve denir. genelleştirilmiş Hooke yasası. Şimdi kayma modülünün olduğunu gösterelim. Gçekme elastikiyet modülü cinsinden ifade edilir e ve Poisson oranı μ . Bunu yapmak için özel durumu göz önünde bulundurun: σ x = σ , σy = -σ Ve σz = 0.

Elemanı keselim abcd eksene paralel düzlemler z ve eksenlere 45° açıyla eğimli X Ve en(Şek. 3). 0 elementinin denge koşullarından aşağıdaki gibi bс, normal stres σ v elemanın tüm yüzlerinde abcd sıfırdır ve kayma gerilmeleri eşittir

Bu gerilim durumuna denir saf kesme. Denklemlerden (5.2a) şu sonuç çıkıyor:

yani yatay elemanın uzantısı 0'dır C dikey elemanın kısalmasına eşit 0 B: e y = -εx.

Yüzler arasındaki açı ab Ve M.Ö değişiklikler ve karşılık gelen kayma gerilimi değeri γ 0 üçgeninden bulunabilir bс:

Şunu takip ediyor

Dış kuvvetlerin katı bir cisim üzerindeki etkisi, hacmindeki noktalarda gerilmelerin ve deformasyonların oluşmasına yol açar. Bu durumda bir noktadaki gerilme durumu, bu noktadan geçen farklı alanlardaki gerilmeler arasındaki ilişki, statik denklemlerle belirlenir ve malzemenin fiziksel özelliklerine bağlı değildir. Deforme olmuş durum, yani yer değiştirmeler ve deformasyonlar arasındaki ilişki, geometrik veya kinematik değerlendirmeler kullanılarak belirlenir ve ayrıca malzemenin özelliklerine bağlı değildir. Gerilmeler ve gerinimler arasında ilişki kurmak için malzemenin gerçek özelliklerinin ve yükleme koşullarının dikkate alınması gerekir. Gerilmeler ve gerinimler arasındaki ilişkileri açıklayan matematiksel modeller deneysel verilere dayanarak geliştirilmektedir. Bu modeller, malzemelerin gerçek özelliklerini ve yükleme koşullarını yeterli bir doğrulukla yansıtmalıdır.

Yapısal malzemeler için en yaygın modeller esneklik ve plastisitedir. Esneklik, bir cismin dış yüklerin etkisi altında şeklini ve boyutunu değiştirme ve yük kaldırıldığında orijinal konfigürasyonunu geri kazanma özelliğidir. Matematiksel olarak esneklik özelliği, gerilme tensörünün bileşenleri ile gerinim tensörünün bileşenleri arasında bire bir fonksiyonel ilişkinin kurulmasıyla ifade edilir. Esneklik özelliği sadece malzemelerin özelliklerini değil aynı zamanda yükleme koşullarını da yansıtır. Çoğu yapısal malzeme için esneklik özelliği, küçük deformasyonlara yol açan dış kuvvetlerin orta değerlerinde ve sıcaklık etkilerinden kaynaklanan enerji kayıplarının ihmal edilebilir olduğu düşük yükleme hızlarında kendini gösterir. Gerilme tensörünün ve gerinim tensörünün bileşenleri doğrusal ilişkilerle ilişkiliyse, bir malzemeye doğrusal elastik denir.

Yüksek yükleme seviyelerinde, gövdede önemli deformasyonlar meydana geldiğinde malzeme elastik özelliklerini kısmen kaybeder: yük kaldırıldığında orijinal boyutları ve şekli tamamen geri yüklenmez ve dış yükler tamamen kaldırıldığında kalıcı deformasyonlar kaydedilir. Bu durumda Gerilmeler ve gerinimler arasındaki ilişki kesin olmaktan çıkar. Bu maddi özelliğe denir plastisite. Plastik deformasyon sırasında biriken artık deformasyonlara plastik denir.

Yüksek yük seviyeleri neden olabilir yıkım, yani vücudun parçalara bölünmesi. Farklı malzemelerden yapılmış katılar farklı deformasyon miktarlarında başarısız olur. Kırılma küçük deformasyonlarda kırılgandır ve kural olarak gözle görülür plastik deformasyonlar olmadan meydana gelir. Bu tür bir tahribat, dökme demir, alaşımlı çelikler, beton, cam, seramik ve diğer bazı yapısal malzemeler için tipiktir. Düşük karbonlu çelikler, demir dışı metaller ve plastikler, önemli artık deformasyonların varlığında plastik türde bir hasarla karakterize edilir. Bununla birlikte, malzemelerin tahribatlarının niteliğine göre kırılgan ve sünek olarak ayrılması oldukça keyfidir; bu genellikle bazı standart çalışma koşullarını ifade eder. Aynı malzeme koşullara (sıcaklık, yükün doğası, üretim teknolojisi vb.) bağlı olarak kırılgan veya sünek davranabilir. Örneğin normal sıcaklıklarda plastik olan malzemeler, düşük sıcaklıklarda kırılgan olarak parçalanır. Bu nedenle kırılgan ve plastik malzemelerden değil, malzemenin kırılgan veya plastik durumundan bahsetmek daha doğrudur.

Malzemenin doğrusal elastik ve izotropik olmasına izin verin. Tek eksenli gerilim durumu koşulları altında temel bir hacmi ele alalım (Şekil 1), böylece gerilim tensörü şu şekilde olur:

Böyle bir yükle boyutlar eksen yönünde artar Ah, stresin büyüklüğüyle orantılı olan doğrusal deformasyonla karakterize edilir

Şekil 1. Tek eksenli gerilim durumu

Bu ilişki matematiksel bir gösterimdir Hook kanunu tek eksenli bir gerilim durumunda gerilim ile buna karşılık gelen doğrusal deformasyon arasında orantılı bir ilişki kurulması. Orantılılık katsayısı E'ye boyuna elastiklik modülü veya Young modülü denir. Stres boyutu var.

Hareket yönünde boyutun artmasıyla birlikte; Aynı stres altında iki dik yönde boyutta bir azalma meydana gelir (Şekil 1). Karşılık gelen deformasyonları ve ile gösteririz ve bu deformasyonlar pozitif iken negatiftir ve aşağıdakilerle orantılıdır:

Üç ortogonal eksen boyunca gerilmelerin eşzamanlı etkisi ile, teğetsel gerilmeler olmadığında, süperpozisyon ilkesi (çözümlerin süperpozisyonu) doğrusal olarak elastik bir malzeme için geçerlidir:

Formülleri (1 4) dikkate alarak elde ederiz

Teğetsel gerilmeler açısal deformasyonlara neden olur ve küçük deformasyonlarda doğrusal boyutlardaki değişimi ve dolayısıyla doğrusal deformasyonları etkilemez. Bu nedenle, keyfi bir stres durumu durumunda da geçerlidirler ve sözde durumu ifade ederler. genelleştirilmiş Hooke yasası.

Açısal deformasyona teğetsel gerilim neden olur ve deformasyon ve sırasıyla gerilimler ve gerilmelerden kaynaklanır. Doğrusal elastik izotropik bir cisim için karşılık gelen teğetsel gerilimler ve açısal deformasyonlar arasında orantılı ilişkiler vardır.

kanunu ifade eden Hooke'un kesmesi. Orantılılık faktörü G denir kesme modülü. Normal stresin açısal deformasyonları etkilememesi önemlidir, çünkü bu durumda aralarındaki açılar değil, bölümlerin yalnızca doğrusal boyutları değişir (Şekil 1).

Gerilme tensörünün birinci değişmeziyle orantılı ortalama gerilim (2,18) ile hacimsel gerinim (2,32) arasında da gerinim tensörünün birinci değişmeziyle çakışan doğrusal bir ilişki mevcuttur:

Karşılık gelen orantılılık faktörü İLE isminde hacimsel elastikiyet modülü.

Formüller (1 7) malzemenin elastik özelliklerini içerir E, , G Ve İLE, elastik özelliklerinin belirlenmesi. Ancak bu özellikler bağımsız değildir. İzotropik bir malzeme için genellikle elastik modül olarak seçilen iki bağımsız elastik karakteristik vardır. e ve Poisson oranı. Kayma modülünü ifade etmek için G başından sonuna kadar e Ve , Teğetsel gerilmelerin etkisi altında düzlem kayma deformasyonunu ele alalım (Şekil 2). Hesaplamaları basitleştirmek için kenarı olan kare bir eleman kullanıyoruz A. Asal gerilmeleri hesaplayalım , . Bu gerilimler orijinal alanlara açılı olarak yerleştirilmiş alanlara etki eder. Şek. 2 gerilme yönündeki doğrusal deformasyon ile açısal deformasyon arasındaki ilişkiyi bulacağız . Deformasyonu karakterize eden eşkenar dörtgenin ana köşegeni şuna eşittir:

Küçük deformasyonlar için

Bu ilişkileri dikkate alarak

Deformasyondan önce bu köşegen şu büyüklükteydi: . O zaman sahip olacağız

Genelleştirilmiş Hooke yasasından (5) şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan formülün Hooke yasasının kayma (6) notasyonuyla karşılaştırılması şunu verir:

Sonuç olarak elde ederiz

Bu ifadeyi Hooke'un hacimsel yasası (7) ile karşılaştırarak sonuca ulaşıyoruz.

Mekanik karakteristiği E, , G Ve İLEçeşitli yük türleri altında test numunelerinden elde edilen deneysel veriler işlendikten sonra bulunur. Fiziksel açıdan bakıldığında bu özelliklerin tümü olumsuz olamaz. Ayrıca son ifadeden izotropik bir malzeme için Poisson oranının 1/2'yi aşmadığı anlaşılmaktadır. Böylece izotropik bir malzemenin elastik sabitleri için aşağıdaki kısıtlamaları elde ederiz:

Limit değeri limit değerine yol açar , sıkıştırılamaz bir malzemeye (at) karşılık gelir. Sonuç olarak elastiklik ilişkilerinden (5) stresi deformasyon açısından ifade ediyoruz. Şeklindeki bağıntıların (5) ilkini yazalım.

Eşitlik (9)'u kullanarak şunu elde ederiz:

Benzer ilişkiler ve için de türetilebilir. Sonuç olarak elde ederiz

Burada kayma modülü için (8) ilişkisini kullanıyoruz. Ayrıca atama

ELASTİK DEFORMASYONUN POTANSİYEL ENERJİSİ

İlk önce temel hacmi ele alalım dV=dxdydz tek eksenli stres koşulları altında (Şekil 1). Siteyi zihinsel olarak düzeltin x=0(Şek. 3). Karşı yüzeye bir kuvvet etki eder . Bu kuvvet yer değiştirme üzerinde iş yapar . Gerilim sıfır seviyesinden değerine yükseldiğinde Hooke yasasına bağlı olarak karşılık gelen deformasyon da sıfırdan değere yükselir , ve iş, Şekil 2'deki gölgeli şekil ile orantılıdır. 4 kare: . Kinetik enerjiyi ve termal, elektromanyetik ve diğer olaylarla ilişkili kayıpları ihmal edersek, enerjinin korunumu yasası nedeniyle yapılan iş potansiyel enerji, deformasyon sırasında biriken: . Değer Ф= dU/dV isminde deformasyonun spesifik potansiyel enerjisi, bir cismin birim hacminde biriken potansiyel enerji anlamına gelir. Tek eksenli gerilim durumu durumunda