8.2. Pagrindiniai medžiagų stiprumo dėsniai

Statiniai santykiai. Jos parašytos šių pusiausvyros lygčių forma.

Huko dėsnis ( 1678): kuo didesnė jėga, tuo didesnė deformacija, be to, ji yra tiesiogiai proporcinga jėgai. Fiziškai tai reiškia, kad visi kūnai yra spyruoklės, bet labai tvirti. Kai sija tiesiog ištempiama išilgine jėga N= Fšis įstatymas gali būti parašytas taip:

Čia
išilginė jėga, l- sijos ilgis, A- jo skerspjūvio plotas, E- pirmojo tipo elastingumo koeficientas ( Youngo modulis).

Atsižvelgiant į įtempių ir deformacijų formules, Huko dėsnis parašytas taip:
.

Panašus ryšys stebimas atliekant eksperimentus tarp tangentinių įtempių ir šlyties kampo:

.

G paskambinošlyties modulis , rečiau – antros rūšies tamprumo modulis. Kaip ir bet kuris įstatymas, Huko dėsnis taip pat turi taikymo ribą. Įtampa
, iki kurio galioja Huko dėsnis, vadinamas proporcingumo riba(tai yra svarbiausia medžiagų stiprumo charakteristika).

Pavaizduokime priklausomybę  iš  grafiškai (8.1 pav.). Šis paveikslas vadinamas tempimo diagrama . Po taško B (t. y
) ši priklausomybė nustoja būti tiesinė.

At
iškrovus kūne atsiranda liekamųjų deformacijų, todėl paskambino elastingumo riba .

Kai įtampa pasiekia reikšmę σ = σ t, daugelis metalų pradeda turėti savybę, vadinamą sklandumas. Tai reiškia, kad net esant nuolatinei apkrovai medžiaga ir toliau deformuojasi (tai yra, ji elgiasi kaip skystis). Grafiškai tai reiškia, kad diagrama yra lygiagreti abscisei (DL atkarpa). Vadinama įtampa σ t, kuria teka medžiaga takumo stiprumas .

Kai kurios medžiagos (St. 3 – statybinis plienas) po trumpo tekėjimo vėl pradeda priešintis. Medžiagos atsparumas tęsiasi iki tam tikros didžiausios vertės σ pr, tada prasideda laipsniškas sunaikinimas. Vadinamas dydis σ pr atsparumas tempimui (plieno sinonimas: atsparumas tempimui, betonui - kubinis arba prizminis stiprumas). Taip pat naudojami šie pavadinimai:

=R b

Panašus ryšys stebimas atliekant eksperimentus tarp šlyties įtempių ir kirpimų.

3) Duhamelio – Neumano dėsnis (tiesinis temperatūros plėtimasis):

Esant temperatūrų skirtumui, kūnai keičia savo dydį ir tiesiogiai proporcingai šiam temperatūros skirtumui.

Tegul būna temperatūrų skirtumas
. Tada šis įstatymas atrodo taip:

Čia α - linijinio šiluminio plėtimosi koeficientas, l - strypo ilgis, Δ l- jo pailgėjimas.

4) Šliaužimo dėsnis .

Tyrimai parodė, kad visos medžiagos yra labai nevienalytės mažuose plotuose. Scheminė plieno struktūra parodyta 8.2 pav.

Kai kurie komponentai turi skysčio savybių, todėl daugelis apkrovos medžiagų laikui bėgant papildomai pailgėja
(8.3 pav.) (metalai aukštoje temperatūroje, betonas, mediena, plastikai – normalioje temperatūroje). Šis reiškinys vadinamas šliaužti medžiaga.

Skysčių įstatymas yra toks: kuo didesnė jėga, tuo didesnis kūno judėjimo skystyje greitis. Jei šis ryšys yra tiesinis (ty jėga proporcinga greičiui), tada jį galima parašyti taip:

E
Jei pereisime prie santykinių jėgų ir santykinių pailgėjimų, gausime

Čia yra rodyklė " kr “ reiškia, kad atsižvelgiama į pailgėjimo dalį, kurią sukelia medžiagos šliaužimas. Mechaninės charakteristikos vadinamas klampos koeficientu.

Energijos tvermės dėsnis.

Apsvarstykite apkrautą spindulį

Pavyzdžiui, pristatykime taško perkėlimo sąvoką,

- vertikalus taško B judėjimas;

- horizontalus taško C poslinkis.

Galios
dirbdamas kokį nors darbą U. Atsižvelgiant į tai, kad jėgos
pradeda palaipsniui didėti ir darant prielaidą, kad jie didėja proporcingai poslinkiams, gauname:

.

Pagal gamtosaugos įstatymą: joks darbas nedingsta, jis eikvojamas kitam darbui arba virsta kita energija (energijos– tai darbas, kurį gali atlikti kūnas.).

Jėgų darbas
, išleidžiama mūsų kūne kylančių tamprumo jėgų pasipriešinimui įveikti. Norėdami apskaičiuoti šį darbą, atsižvelgiame į tai, kad kūnas gali būti sudarytas iš mažų elastingų dalelių. Panagrinėkime vieną iš jų:

Jį veikia gretimų dalelių įtampa . Atsiras stresas

Esant įtakai dalelė pailgės. Pagal apibrėžimą pailgėjimas yra ilgio vieneto pailgėjimas. Tada:

Paskaičiuokime darbą dW, ką daro jėga dN (čia taip pat atsižvelgiama į tai, kad jėgos dN pradeda palaipsniui didėti ir didėja proporcingai judesiams):

Visam kūnui gauname:

.

Darbas W kuris buvo įvykdytas , paskambino elastinės deformacijos energija.

Pagal energijos tvermės dėsnį:

6)Principas galimi judesiai .

Tai vienas iš energijos tvermės dėsnio rašymo variantų.

Tegul jėgos veikia siją F 1 , F 2 , … . Jie sukelia taškų judėjimą kūne
ir įtampa
. Duokime kūną papildomi nedideli galimi judesiai
. Mechanikoje formos žymėjimas
reiškia frazę „galima kiekio vertė A“ Šie galimi judesiai sukels kūną papildomos galimos deformacijos
. Jie sukels papildomų išorinių jėgų ir įtempių atsiradimą
, δ.

Apskaičiuokime išorinių jėgų darbą esant papildomiems galimiems nedideliems poslinkiams:

Čia
- papildomi judesiai tų taškų, kuriuose veikia jėgos F 1 , F 2 , …

Dar kartą apsvarstykite nedidelį skerspjūvio elementą dA ir ilgis dz (žr. 8.5. ir 8.6 pav.). Pagal apibrėžimą papildomas pailgėjimas  dzŠio elemento kiekis apskaičiuojamas pagal formulę:

dz=  dz.

Elemento tempimo jėga bus tokia:

dN = (+δ) dA ≈  dA..

Vidinių jėgų darbas esant papildomiems poslinkiams mažam elementui apskaičiuojamas taip:

dW = dN  dz = dA dz =  dV

SU
Susumavus visų mažų elementų deformacijos energiją gauname bendrą deformacijos energiją:

Energijos tvermės dėsnis W = U suteikia:

.

Šis santykis vadinamas galimų judesių principas(taip pat vadinamas virtualių judesių principas). Panašiai galime apsvarstyti atvejį, kai veikia ir tangentiniai įtempiai. Tada mes galime gauti tai iki deformacijos energijos W bus pridėtas šis terminas:

Čia  yra šlyties įtempis,  yra mažojo elemento poslinkis. Tada galimų judesių principas bus tokia forma:

Skirtingai nuo ankstesnės energijos tvermės dėsnio rašymo formos, čia nėra prielaidos, kad jėgos pradeda didėti palaipsniui, o didėja proporcingai poslinkiams.

7) Poisson efektas.

Panagrinėkime mėginio pailgėjimo modelį:

Kūno elemento sutrumpėjimo pailgėjimo kryptimi reiškinys vadinamas Poisson efektas.

Raskime išilginę santykinę deformaciją.

Skersinė santykinė deformacija bus:

Puasono koeficientas kiekis vadinamas:

Izotropinėms medžiagoms (plienui, ketui, betonui) Puasono santykis

Tai reiškia, kad skersine kryptimi deformacija mažiau išilginis

Pastaba : šiuolaikinėmis technologijomis galima sukurti kompozitines medžiagas, kurių Puasono koeficientas >1, tai yra, skersinė deformacija bus didesnė nei išilginė. Pavyzdžiui, tai pasakytina apie medžiagą, sustiprintą standiais pluoštais mažu kampu
<<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине
, t.y. tuo mažiau , tuo didesnis Puasono koeficientas.

8.8 pav. 8.9 pav

Dar labiau stebina medžiaga, parodyta (8.9 pav.), o tokiam sutvirtinimui yra paradoksalus rezultatas - išilginis pailgėjimas lemia kūno dydžio padidėjimą skersine kryptimi.

8) Apibendrintas Huko dėsnis.

Panagrinėkime elementą, kuris tęsiasi išilgine ir skersine kryptimis. Raskime deformaciją, kuri atsiranda šiomis kryptimis.

Apskaičiuokime deformaciją kylančių iš veiksmo :

Panagrinėkime deformaciją nuo veiksmo , kuris atsiranda dėl Puasono efekto:

Bendra deformacija bus tokia:

Jei galioja ir , tada bus pridėtas dar vienas sutrumpinimas x ašies kryptimi
.

Taigi:

Taip pat:

Šie santykiai vadinami apibendrintas Huko dėsnis.

Įdomu tai, kad rašant Huko dėsnį daroma prielaida apie pailgėjimo deformacijų nepriklausomumą nuo šlyties deformacijų (apie nepriklausomumą nuo šlyties įtempių, tai yra tas pats) ir atvirkščiai. Eksperimentai gerai patvirtina šias prielaidas. Žvelgdami į ateitį, pastebime, kad stiprumas, priešingai, labai priklauso nuo tangentinių ir normalių įtempių derinio.

Pastaba: Minėtus dėsnius ir prielaidas patvirtina daugybė tiesioginių ir netiesioginių eksperimentų, tačiau, kaip ir visi kiti dėsniai, jų taikymo sritis yra ribota.

Kaip žinote, fizika tiria visus gamtos dėsnius: nuo paprasčiausių iki bendriausių gamtos mokslų principų. Net ir tose srityse, kur atrodytų, kad fizika nesugeba suprasti, ji vis tiek atlieka pagrindinį vaidmenį, ir kiekvienas menkiausias dėsnis, kiekvienas principas – niekas jo neaplenkia.

Susisiekus su

Būtent fizika yra visų mokslų ištakų pagrindas.

Fizika tiria visų kūnų sąveiką, ir paradoksaliai mažas, ir neįtikėtinai didelis. Šiuolaikinė fizika aktyviai tiria ne tik mažus, bet ir hipotetinius kūnus, ir net tai atskleidžia visatos esmę.

Fizika suskirstyta į skyrius, tai supaprastina ne tik patį mokslą ir jo supratimą, bet ir studijų metodiką. Mechanika nagrinėja kūnų judėjimą ir judančių kūnų sąveiką, termodinamika – šiluminius procesus, elektrodinamika – elektrinius.

Kodėl mechanikai turėtų tirti deformaciją?

Kalbėdami apie suspaudimą ar įtempimą, turėtumėte užduoti sau klausimą: kuri fizikos šaka turėtų tirti šį procesą? Esant dideliems iškraipymams, gali išsiskirti šiluma, galbūt termodinamikai turėtų susidoroti su šiais procesais? Kartais suspaudus skysčius pradeda virti, o suspaudus dujas susidaro skysčiai? Taigi, ar hidrodinamika turėtų suprasti deformaciją? Arba molekulinė kinetinė teorija?

Viskas priklauso apie deformacijos jėgą, jos laipsnį. Jei deformuojama terpė (medžiaga, kuri yra suspausta arba ištempta) leidžia, o suspaudimas yra mažas, prasminga šį procesą laikyti kai kurių kūno taškų judėjimu kitų atžvilgiu.

Ir kadangi klausimas yra grynai susijęs, vadinasi, su juo susidoros mechanikai.

Huko dėsnis ir jo įvykdymo sąlyga

1660 metais garsus anglų mokslininkas Robertas Hukas atrado reiškinį, kuriuo galima mechaniškai apibūdinti deformacijos procesą.

Norint suprasti, kokiomis sąlygomis laikomasi Huko dėsnio, Apsiribokime dviem parametrais:

• Trečiadienis;
• jėga.

Yra terpių (pavyzdžiui, dujos, skysčiai, ypač klampūs skysčiai, artimi kietosioms būsenoms arba, atvirkščiai, labai skysti skysčiai), kurių proceso apibūdinti mechaniškai neįmanoma. Ir atvirkščiai, yra aplinkų, kuriose esant pakankamai didelėms jėgoms, mechanikai nustoja „dirbti“.

Svarbu!Į klausimą: „Kokiomis sąlygomis yra teisingas Huko dėsnis?“ galima duoti aiškų atsakymą: „Esant mažoms deformacijoms“.

Huko dėsnis, apibrėžimas: Kūne vykstanti deformacija yra tiesiogiai proporcinga jėgai, kuri sukelia tą deformaciją.

Žinoma, šis apibrėžimas reiškia, kad:

• suspaudimas ar tempimas yra mažas;
• elastingas objektas;
• jis sudarytas iš medžiagos, kurioje nevyksta netiesinių procesų dėl suspaudimo ar įtempimo.

Huko dėsnis matematine forma

Hooke'o formuluotė, kurią paminėjome aukščiau, leidžia ją parašyti tokia forma:

kur kūno ilgio pokytis dėl suspaudimo ar tempimo, F – jėga, veikiama kūną ir sukelianti deformaciją (tamprumo jėga), k – elastingumo koeficientas, matuojamas N/m.

Reikėtų prisiminti Huko dėsnį galioja tik nedideliems ruožams.

Taip pat pažymime, kad ištemptas ir suspaustas jis atrodo taip pat. Atsižvelgiant į tai, kad jėga yra vektorinis dydis ir turi kryptį, tada suspaudimo atveju ši formulė bus tikslesnė:

Bet vėlgi, viskas priklauso nuo to, kur bus nukreipta ašis, kurios atžvilgiu matuojate.

Koks esminis skirtumas tarp suspaudimo ir išplėtimo? Nieko, jei tai nereikšminga.

Pritaikomumo laipsnis gali būti vertinamas taip:

Atkreipkime dėmesį į grafiką. Kaip matome, esant nedideliems ruožams (pirmasis koordinačių ketvirtis), ilgą laiką jėga su koordinate turi tiesinį ryšį (raudona tiesi linija), tačiau tada tikrasis ryšys (punktyrinė linija) tampa netiesinis, ir dėsnis. nustoja būti tiesa. Praktikoje tai atsispindi tokiu stipriu tempimu, kad spyruoklė nustoja grįžti į pradinę padėtį ir praranda savo savybes. Dar labiau tempiant įvyksta lūžis ir konstrukcija suyra medžiaga.

Esant nedideliems suspaudimams (trečias ketvirtadalis koordinačių), ilgą laiką jėga su koordinate taip pat turi tiesinį ryšį (raudona linija), bet tada tikrasis ryšys (punktyrinė linija) tampa netiesinis, ir vėl viskas nustoja veikti. Praktiškai tai lemia tokį stiprų suspaudimą, kad pradeda sklisti šiluma ir spyruoklė praranda savo savybes. Esant dar didesniam suspaudimui, spyruoklės ritės „sulimpa“ ir ji pradeda vertikaliai deformuotis, o vėliau visiškai tirpti.

Kaip matome, dėsnį išreiškianti formulė leidžia rasti jėgą žinant kūno ilgio pokytį arba, žinant tamprumo jėgą, išmatuoti ilgio pokytį:

Be to, kai kuriais atvejais galite rasti elastingumo koeficientą. Norėdami suprasti, kaip tai daroma, apsvarstykite užduoties pavyzdį:

Prie spyruoklės prijungtas dinamometras. Jis buvo ištemptas pritaikius 20 jėgą, dėl to tapo 1 metro ilgio. Tada jie ją paleido, palaukė, kol sustos vibracijos, ir ji grįžo į normalią būseną. Normalios būklės jo ilgis siekė 87,5 centimetro. Pabandykime išsiaiškinti, iš kokios medžiagos pagaminta spyruoklė.

Raskime spyruoklės deformacijos skaitinę reikšmę:

Iš čia galime išreikšti koeficiento reikšmę:

Žvelgdami į lentelę galime pastebėti, kad šis indikatorius atitinka spyruoklinį plieną.

Bėda su elastingumo koeficientu

Fizika, kaip žinome, yra labai tikslus mokslas, be to, jis yra toks tikslus, kad sukūrė ištisus taikomuosius mokslus, kurie matuoja klaidas. Nepajudinamo tikslumo modelis, ji negali sau leisti būti nerangi.

Praktika rodo, kad tiesinė priklausomybė, kurią mes svarstėme, yra ne kas kita Huko dėsnis plonam ir tempiančiam strypui. Tik išimties tvarka jis gali būti naudojamas spyruoklėms, tačiau net ir tai nepageidautina.

Pasirodo, koeficientas k yra kintamoji reikšmė, kuri priklauso ne tik nuo to, iš kokios medžiagos pagamintas korpusas, bet ir nuo skersmens bei jo linijinių matmenų.

Dėl šios priežasties mūsų išvadas reikia paaiškinti ir tobulinti, nes priešingu atveju formulė:

gali būti vadinamas ne daugiau kaip priklausomybe tarp trijų kintamųjų.

Youngo modulis

Pabandykime išsiaiškinti elastingumo koeficientą. Šis parametras, kaip mes sužinojome, priklauso nuo trijų kiekių:

• medžiaga (kuri mums visai tinka);
• ilgis L (tai rodo jo priklausomybę nuo);
• sritis S.

Svarbu! Taigi, jei pavyks kažkaip „atskirti“ ilgį L ir plotą S nuo koeficiento, tai gausime koeficientą, kuris visiškai priklauso nuo medžiagos.

Ką mes žinome:

• kuo didesnis kūno skerspjūvio plotas, tuo didesnis koeficientas k, o priklausomybė tiesinė;
• kuo ilgesnis kūnas, tuo koeficientas k mažesnis, o priklausomybė atvirkščiai proporcinga.

Tai reiškia, kad elastingumo koeficientą galime parašyti taip:

kur E yra naujas koeficientas, kuris dabar tiksliai priklauso tik nuo medžiagos tipo.

Pristatykime „santykinio pailgėjimo“ sąvoką:

. 

Išvada

Suformuluokime Huko įtempimo ir suspaudimo dėsnį: Esant mažiems suspaudimams, normalus įtempis yra tiesiogiai proporcingas pailgėjimui.

Koeficientas E vadinamas Youngo moduliu ir priklauso tik nuo medžiagos.

Stebėjimai rodo, kad daugumos elastingų kūnų, tokių kaip plienas, bronza, medis ir kt., deformacijų dydis yra proporcingas veikiančių jėgų dydžiui. Tipiškas pavyzdys, paaiškinantis šią savybę, yra spyruoklės balansas, kuriame spyruoklės pailgėjimas yra proporcingas veikiančiai jėgai. Tai matyti iš to, kad tokių svarstyklių padalijimo skalė yra vienoda. Kaip bendrą tampriųjų kūnų savybę, jėgos ir deformacijos proporcingumo dėsnį pirmą kartą suformulavo R. Hukas 1660 m. ir paskelbė 1678 m. veikale „De potentia restitutiva“. Šiuolaikinėje šio dėsnio formuluotėje atsižvelgiama ne į jų taikymo taškų jėgas ir judesius, o į įtempius ir deformacijas.

Taigi grynai įtampai daroma prielaida:

Čia yra santykinis bet kurio segmento pailgėjimas, paimtas tempimo kryptimi. Pavyzdžiui, jei šonkauliai parodyta fig. 11 prizmės prieš apkrovą buvo a, b ir c, kaip parodyta brėžinyje, o po deformacijos jos bus atitinkamai, tada .

Konstanta E, turinti įtempių matmenį, vadinama tamprumo moduliu arba Youngo moduliu.

Elementų įtempimas lygiagrečiai veikiantiems įtempiams o lydimas statmenų elementų susitraukimo, tai yra, strypo skersinių matmenų sumažėjimas (matmenys brėžinyje). Santykinė skersinė deformacija

bus neigiama reikšmė. Pasirodo, išilginės ir skersinės deformacijos elastingame kūne yra susijusios pastoviu santykiu:

Bematis dydis v, pastovus kiekvienai medžiagai, vadinamas šoniniu suspaudimo laipsniu arba Puasono koeficientu. Pats Poissonas, remdamasis teoriniais samprotavimais, kurie vėliau pasirodė neteisingi, manė, kad visoms medžiagoms (1829 m.). Tiesą sakant, šio koeficiento reikšmės skiriasi. Taip, plienui

Pakeitę išraišką paskutinėje formulėje, gauname:

Huko dėsnis nėra tikslus įstatymas. Plieno atveju nukrypimai nuo proporcingumo yra nereikšmingi, o ketaus arba raižiniai aiškiai nepaklūsta šiam įstatymui. Jiems ir galima aproksimuoti tiesine funkcija tik grubiausiu aproksimavimu.

Ilgą laiką medžiagų stiprumas buvo susijęs tik su Huko dėsniui paklūstančiomis medžiagomis, o medžiagų stiprumo formules pritaikyti kitiems kūnams buvo galima tik su didele atsarga. Šiuo metu netiesinio elastingumo dėsniai pradedami tyrinėti ir taikyti sprendžiant konkrečias problemas.

Huko dėsnis paprastai vadinami tiesiniais ryšiais tarp deformacijos komponentų ir įtempių komponentų.

Paimkime elementarų stačiakampį gretasienį, kurio paviršiai lygiagrečiai koordinačių ašims, apkrautą normaliu įtempimu σ x, tolygiai paskirstytas dviejuose priešinguose paviršiuose (1 pav.). Kuriame σy = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.

Iki proporcingumo ribos santykinis pailgėjimas nurodomas formule

Kur E— tamprumo tempimo modulis. Dėl plieno E = 2*10 5 MPa, todėl deformacijos yra labai mažos ir matuojamos procentais arba 1 * 10 5 (deformacijas matuojančiuose deformacijų matuoklio prietaisuose).

Elemento išplėtimas ašies kryptimi X kartu su jo susiaurėjimu skersine kryptimi, kurį lemia deformacijos komponentai

Kur μ - konstanta, vadinama šoniniu suspaudimo laipsniu arba Puasono koeficientu. Plienui μ paprastai imamas 0,25-0,3.

Jei aptariamas elementas apkraunamas kartu su normaliais įtempiais σx, σy, σ z, tolygiai paskirstytas išilgai jo paviršių, tada pridedamos deformacijos

Sudėjus deformacijos komponentus, kuriuos sukelia kiekvienas iš trijų įtempių, gauname ryšius

Šiuos ryšius patvirtina daugybė eksperimentų. Taikoma perdangos metodas arba superpozicijos kelių jėgų sukeltų suminių deformacijų ir įtempių nustatymas yra teisėtas tol, kol deformacijos ir įtempimai yra maži ir tiesiškai priklauso nuo taikomų jėgų. Tokiais atvejais neatsižvelgiame į nedidelius deformuoto kūno matmenų pokyčius ir nedidelius išorinių jėgų taikymo taškų judesius ir skaičiuodami remiamės pradiniais kūno matmenimis ir pradine forma.

Reikia pažymėti, kad poslinkių mažumas nebūtinai reiškia, kad jėgų ir deformacijų santykiai yra tiesiniai. Taigi, pavyzdžiui, suspaustoje jėgoje K strypas apkrautas papildomai šlyties jėga R, net ir esant nedideliam įlinkiui δ atsiranda papildomas taškas M = Qδ, todėl problema yra netiesinė. Tokiais atvejais suminiai įlinkiai nėra tiesinės jėgų funkcijos ir negali būti gaunami naudojant paprastą superpoziciją.

Eksperimentiškai nustatyta, kad jei šlyties įtempiai veikia išilgai visų elemento paviršių, tai atitinkamo kampo iškraipymas priklauso tik nuo atitinkamų šlyties įtempių komponentų.

Pastovus G vadinamas šlyties tamprumo moduliu arba šlyties moduliu.

Bendrą elemento deformacijos atvejį, kai jį veikia trys normaliosios ir trys tangentinės įtempių dedamosios, galima gauti naudojant superpoziciją: trys šlyties deformacijos, nustatytos ryšiais (5.2b), dedamos ant trijų tiesinių deformacijų, nustatytų išraiškomis ( 5.2a). Lygtys (5.2a) ir (5.2b) nustato ryšį tarp deformacijų ir įtempių komponentų ir yra vadinamos apibendrintas Huko dėsnis. Dabar parodykime, kad šlyties modulis G išreikštas tamprumo tempimo moduliu E ir Puasono koeficientas μ . Norėdami tai padaryti, apsvarstykite ypatingą atvejį, kai σ x = σ , σy = -σ Ir σ z = 0.

Iškirpkime elementą abcd plokštumos lygiagrečios ašiai z ir pasviręs 45° kampu ašių atžvilgiu X Ir adresu(3 pav.). Kaip matyti iš 0 elemento pusiausvyros sąlygų bс, normalus stresas σ v visuose elemento paviršiuose abcd yra lygūs nuliui, o šlyties įtempiai yra lygūs

Tokia įtampos būsena vadinama grynas kirpimas. Iš (5.2a) lygčių išplaukia, kad

tai yra, horizontalaus elemento išplėtimas yra 0 c lygus vertikalaus elemento sutrumpėjimui 0 b: εy = -ε x.

Kampas tarp veidų ab Ir pr. Kr pokyčius ir atitinkamą šlyties deformacijos vertę γ galima rasti iš trikampio 0 bс:

Tai seka

Išorinių jėgų poveikis kietam kūnui lemia įtempių ir deformacijų atsiradimą jo tūrio taškuose. Šiuo atveju įtempimo būsena taške, santykis tarp įtempių įvairiose srityse, einančiose per šį tašką, yra nustatomas pagal statikos lygtis ir nepriklauso nuo medžiagos fizikinių savybių. Deformuota būsena, santykis tarp poslinkių ir deformacijų, nustatomas remiantis geometriniais arba kinematine svarstymais ir taip pat nepriklauso nuo medžiagos savybių. Norint nustatyti ryšį tarp įtempių ir deformacijų, būtina atsižvelgti į faktines medžiagos savybes ir apkrovos sąlygas. Remiantis eksperimentiniais duomenimis, sukurti matematiniai modeliai, apibūdinantys įtempių ir deformacijų ryšius. Šie modeliai turi pakankamai tiksliai atspindėti faktines medžiagų savybes ir apkrovos sąlygas.

Labiausiai paplitę konstrukcinių medžiagų modeliai yra elastingumas ir plastiškumas. Elastingumas – tai kūno savybė, veikiant išorinėms apkrovoms, pakeisti formą ir dydį bei, pašalinus apkrovą, atkurti pradinę konfigūraciją. Matematiškai elastingumo savybė išreiškiama nustatant funkcinį ryšį vienas su vienu tarp įtempių tenzoriaus ir deformacijos tenzoriaus komponentų. Elastingumo savybė atspindi ne tik medžiagų savybes, bet ir apkrovos sąlygas. Daugumos konstrukcinių medžiagų elastingumo savybė pasireiškia esant vidutinėms išorinių jėgų vertėms, sukeliančioms mažas deformacijas, ir esant mažam apkrovos greičiui, kai energijos nuostoliai dėl temperatūros poveikio yra nereikšmingi. Medžiaga vadinama tiesiškai elastinga, jei įtempių tenzoriaus ir deformacijos tenzoriaus komponentai yra susiję tiesiniais ryšiais.

Esant dideliems apkrovų lygiams, atsiradus reikšmingoms kūno deformacijoms, medžiaga iš dalies praranda savo elastines savybes: iškraunant jos pirminiai matmenys ir forma visiškai neatkuriami, o visiškai pašalinus išorines apkrovas, fiksuojamos liekamosios deformacijos. Tokiu atveju ryšys tarp įtempių ir deformacijų nustoja būti vienareikšmis. Ši materialinė savybė vadinama plastiškumas. Plastinės deformacijos metu susikaupusios liekamosios deformacijos vadinamos plastinėmis.

Didelė apkrova gali sukelti destrukcija, t.y. kūno padalijimas į dalis. Kietosios medžiagos, pagamintos iš skirtingų medžiagų, sugenda esant skirtingam deformacijos dydžiui. Lūžis yra trapus esant mažoms deformacijoms ir paprastai vyksta be pastebimų plastinių deformacijų. Toks sunaikinimas būdingas ketui, legiruotam plienui, betonui, stiklui, keramikai ir kai kurioms kitoms konstrukcinėms medžiagoms. Mažai anglies dioksido išskiriantis plienas, spalvotieji metalai ir plastikai pasižymi plastišku gedimu, kai yra didelės liekamosios deformacijos. Tačiau medžiagų skirstymas į trapias ir plastiškas pagal jų sunaikinimo pobūdį yra labai savavališkas. Ta pati medžiaga, priklausomai nuo sąlygų (temperatūros, apkrovos pobūdžio, gamybos technologijos ir kt.), gali būti trapi arba plastiška. Pavyzdžiui, medžiagos, kurios normalioje temperatūroje yra plastikinės, žemoje temperatūroje skyla kaip trapios. Todėl teisingiau kalbėti ne apie trapias ir plastikines medžiagas, o apie trapią ar plastišką medžiagos būklę.

Tegul medžiaga yra tiesiškai elastinga ir izotropinė. Nagrinėkime elementarųjį tūrį vienaašės įtempimo būsenos sąlygomis (1 pav.), kad įtempių tenzorius turėtų formą

Esant tokiai apkrovai, matmenys didėja ašies kryptimi Oi, būdinga tiesine deformacija, kuri yra proporcinga įtempių dydžiui

1 pav. Vienaašė įtempio būsena

Šis ryšys yra matematinis žymėjimas Huko dėsnis nustatantis proporcingą ryšį tarp įtempių ir atitinkamos tiesinės deformacijos vienaašėje įtempių būsenoje. Proporcingumo koeficientas E vadinamas išilginiu tamprumo moduliu arba Youngo moduliu. Jis turi streso dimensiją.

Kartu su dydžio padidėjimu veiksmų kryptimi; Esant tokiam pat įtempimui, dydis mažėja dviem statmenomis kryptimis (1 pav.). Atitinkamas deformacijas žymime ir , ir šios deformacijos yra neigiamos, o teigiamos ir yra proporcingos:

Vienu metu veikiant įtempiams išilgai trijų stačiakampių ašių, kai nėra tangentinių įtempių, tiesiškai elastingai medžiagai galioja superpozicijos (sprendinių superpozicijos) principas:

Atsižvelgdami į formules (1 4) gauname

Tangentiniai įtempiai sukelia kampines deformacijas, o esant mažoms deformacijoms jie neturi įtakos linijinių matmenų pokyčiui, taigi ir tiesinėms deformacijoms. Todėl jie galioja ir esant savavališkai įtempių būsenai ir išreiškia vadinamąją apibendrintas Huko dėsnis.

Kampinę deformaciją sukelia tangentinis įtempis, o deformacija ir atitinkamai įtempiai ir. Yra proporcingi ryšiai tarp atitinkamų tangentinių įtempių ir kampinių deformacijų tiesiškai elastingam izotropiniam kūnui

kurios išreiškia teisę Huko žirklės. Proporcingumo koeficientas G vadinamas šlyties modulis. Svarbu, kad normalus įtempis neturėtų įtakos kampinėms deformacijoms, nes tokiu atveju keičiasi tik atkarpų linijiniai matmenys, o ne kampai tarp jų (1 pav.).

Taip pat yra tiesinis ryšys tarp vidutinio įtempio (2.18), proporcingo pirmajam įtempio tenzoriaus invariantui, ir tūrinės deformacijos (2.32), sutampančiu su pirmuoju deformacijos tenzoriaus invariantu:

Atitinkamas proporcingumo koeficientas KAM paskambino tūrinis tamprumo modulis.

Formulės (1 7) apima medžiagos elastingumo charakteristikas E, , G Ir Į, nustatant jo elastines savybes. Tačiau šios savybės nėra nepriklausomos. Izotropinei medžiagai yra dvi nepriklausomos tamprumo charakteristikos, kurios dažniausiai pasirenkamos kaip tamprumo modulis E ir Puasono koeficientas. Šlyties moduliui išreikšti G per E Ir , Panagrinėkime plokštumos šlyties deformaciją veikiant tangentiniams įtempiams (2 pav.). Norėdami supaprastinti skaičiavimus, naudojame kvadratinį elementą su šonine A. Apskaičiuokime pagrindinius įtempius , . Šie įtempiai veikia sritis, esančias kampu į pradines sritis. Iš pav. 2 rasime ryšį tarp tiesinės deformacijos įtempių kryptimi ir kampinės deformacijos . Didžioji rombo įstrižainė, apibūdinanti deformaciją, lygi

Mažoms deformacijoms

Atsižvelgiant į šiuos santykius

Prieš deformaciją ši įstrižainė buvo tokio dydžio . Tada turėsime

Iš apibendrinto Huko dėsnio (5) gauname

Gautos formulės palyginimas su Huko dėsnio poslinkiui (6) žymėjimu duoda

Kaip rezultatas, mes gauname

Palyginę šią išraišką su Huko tūriniu dėsniu (7), gauname rezultatą

Mechaninės charakteristikos E, , G Ir KAM randami apdorojus eksperimentinius duomenis, gautus tiriant mėginius esant įvairioms apkrovoms. Fiziniu požiūriu visos šios savybės negali būti neigiamos. Be to, iš paskutinės išraiškos matyti, kad Puasono santykis izotropinei medžiagai neviršija 1/2. Taigi gauname tokius izotropinės medžiagos tamprumo konstantų apribojimus:

Ribinė vertė veda prie ribinės vertės , kuri atitinka nesuspaudžiamą medžiagą (at). Apibendrinant, iš elastingumo santykių (5) įtempį išreiškiame deformacijos reikšme. Pirmąjį iš santykių (5) parašykime formoje

Naudodami lygybę (9) turėsime

Panašius ryšius galima išvesti ir . Kaip rezultatas, mes gauname

Čia mes naudojame santykį (8) šlyties moduliui. Be to, pavadinimas

POTENCIALI ELASTINIO DEFORMACIJOS ENERGIJA

Pirmiausia panagrinėkime elementarų tūrį dV=dxdydz vienaašių įtempių sąlygomis (1 pav.). Psichiškai sutvarkykite svetainę x=0(3 pav.). Jėga veikia priešingą paviršių . Ši jėga veikia poslinkį . Kai įtampa didėja nuo nulinio lygio iki vertės atitinkama deformacija dėl Huko dėsnio taip pat didėja nuo nulio iki reikšmės , ir darbas yra proporcingas tamsintai figūrai pav. 4 kvadratai: . Jei nepaisysime kinetinės energijos ir nuostolių, susijusių su šiluminiais, elektromagnetiniais ir kitais reiškiniais, tai dėl energijos tvermės dėsnio atliktas darbas virs potencinė energija, susikaupę deformacijos metu: . Vertė Ф= dU/dV paskambino specifinė potenciali deformacijos energija, turinčios potencialios energijos, sukauptos kūno tūrio vienete, reikšmę. Esant vienaašiai įtempių būsenai