მათემატიკა მცირეწლოვანთან. მათემატიკა მინორით სანიმუშო კითხვები მათემატიკური ანალიზის შესახებ

რისი მიცემაა ნებადართული ჩვილებისთვის? როგორ შეგიძლიათ შეამციროთ ტემპერატურა უფროს ბავშვებში? რომელი მედიკამენტებია ყველაზე უსაფრთხო?

თეორემები "ყველაზე დიდი" და "პატარა" მთელი რიცხვების შესახებ

თეორემა 4 („ყველაზე პატარა“ მთელი რიცხვის შესახებ). ქვემოდან შემოსაზღვრული მთელი რიცხვების ყოველი არა ცარიელი სიმრავლე შეიცავს უმცირეს რიცხვს. (აქ, ისევე როგორც ნატურალური რიცხვების შემთხვევაში, სიტყვა „ქვესიმრავლე“ E-ის ნაცვლად გამოიყენება სიტყვა „სიმრავლე“.< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

მტკიცებულება. მოდით O A C Z და A იყოს შემოსაზღვრული ქვემოთ, ე.ი. 36? ზვა? ა (ბ

მოდით ახლა b A.< а) и, значит, Уа А(а - Ь >შემდეგ უა ე აფ

შესახებ).

ჩამოვაყალიბოთ M სიმრავლე a - b ფორმის ყველა რიცხვიდან, სადაც a გადის A სიმრავლეს, ე.ი. M = (c [c = a - b, a E A)

ცხადია, M სიმრავლე ცარიელი არ არის, რადგან A 74 0< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

როგორც ზემოთ აღინიშნა, M C N. შესაბამისად, ნატურალური რიცხვების თეორემით (54, ჩ.III) M სიმრავლეში არის ყველაზე პატარა ნატურალური რიცხვი m მაშინ m = a1 - b ზოგიერთი რიცხვისთვის? A და რადგან m ყველაზე პატარაა M-ში, მაშინ უა? ა(ტ

თეორემა 5 („ყველაზე დიდი“ მთელი რიცხვის შესახებ). მთელი რიცხვების ყოველი არა ცარიელი, შეზღუდული სიმრავლე შეიცავს უდიდეს რიცხვს.< Ь). Тогда -а >მტკიცებულება. მოდით O 74 A C Z და A შემოიფარგლოს ზემოდან b რიცხვით, ე.ი. ? ზვა ე ა(ა

b ყველა რიცხვისთვის a? ა.< с).

შესაბამისად, M სიმრავლე (r = -a, a? A) ცარიელი არ არის და ქვემოთ შემოიფარგლება რიცხვით (-6). აქედან გამომდინარე, წინა თეორემის მიხედვით, უმცირესი რიცხვი გვხვდება M სიმრავლეში, ე.ი. ტუზი? MUs? მ (ს< -а), откуда Уа? А(-с >ეს ნიშნავს ვაჰ? A(c)

ა)

ჰ. მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის სხვადასხვა ფორმები მთელი რიცხვებისთვის. გაყოფის თეორემა ნაშთით

Р(а) მშვილდი > + 1)) Ус > аР(с)

ნებისმიერი ფიქსირებული მთელი რიცხვისთვის a

მტკიცებულება. ყველაფერი რაც ნათქვამია თეორემის პირობებში იყოს ჭეშმარიტი წინადადებისთვის P (c), ე.ი.

1) P(a) - ჭეშმარიტი;

2) UK Shch k + ასევე მართალია.

საპირისპიროდან. დავუშვათ, რომ არსებობს ასეთი რიცხვი

b > a, რომ RF) მცდარია. ცხადია, b a, რადგან P(a) მართალია. ჩამოვაყალიბოთ სიმრავლე M = (z ? > a, P(z) არის მცდარი).

მაშინ კომპლექტი M 0, ვინაიდან b? M და M- შემოიფარგლება ქვემოდან a რიცხვით. შესაბამისად, უმცირესი მთელი რიცხვის თეორემით (თეორემა 4, 2), არის უმცირესი მთელი რიცხვი c M სიმრავლეში. აქედან გამომდინარე c > a, რაც, თავის მხრივ, გულისხმობს c - 1 > a.

მოდით დავამტკიცოთ, რომ P(c-1) მართალია. თუ c-1 = a, მაშინ P (c-1) ჭეშმარიტია პირობის მიხედვით.

მოდით c- 1 > a. მაშინ ვარაუდი, რომ P(c- 1) მცდარია, გულისხმობს 1-ის კუთვნილებას? M, რაც არ შეიძლება მოხდეს, რადგან რიცხვი c ყველაზე პატარაა M სიმრავლეში.

ამრიგად, c - 1 > a და P(c - 1) მართალია.

მაშასადამე, ამ თეორემის პირობების მიხედვით, წინადადება P((c- 1) + 1) მართალია, ე.ი. R(s) - მართალია. ეს ეწინააღმდეგება c რიცხვის არჩევანს, ვინაიდან c? M თეორემა დადასტურებულია.

გაითვალისწინეთ, რომ ეს თეორემა აზოგადებს პეანოს აქსიომების დასკვნა 1-ს.

თეორემა 2 (მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის მეორე ფორმა მთელი რიცხვებისთვის). ვთქვათ P(c) არის რაღაც ერთადგილიანი პრედიკატი, რომელიც განისაზღვრება მთელი რიცხვების Z სიმრავლეზე. მაშინ, თუ წინადადება P(c) მოქმედებს K მთელი რიცხვისთვის და თვითნებური მთელი რიცხვისთვის s K წინადადების მართებულობიდან P(c) ყველა მთელი რიცხვისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს K უტოლობას.< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >TO.

ამ თეორემის მტკიცებულება დიდწილად იმეორებს მსგავსი თეორემის დადასტურებას ნატურალური რიცხვებისთვის (თეორემა 1, 55, თავი III).

თეორემა 3 (მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის მესამე ფორმა). მოდით P(c) იყოს ერთადგილიანი პრედიკატი, რომელიც განსაზღვრულია მთელი რიცხვების Z სიმრავლეზე. მაშინ თუ P(c) ჭეშმარიტია ნატურალური რიცხვების სიმრავლის M უსასრულო ქვესიმრავლის ყველა რიცხვისთვის და თვითნებური მთელი რიცხვისთვის a, P(a)-ის ჭეშმარიტება გულისხმობს P(a - 1-ის ჭეშმარიტებას), მაშინ წინადადება P(c) მოქმედებს ყველა მთელი რიცხვისთვის.

მტკიცებულება ნატურალური რიცხვების შესაბამისი თეორემის დამტკიცების მსგავსია.

გთავაზობთ, როგორც საინტერესო სავარჯიშოს.

გაითვალისწინეთ, რომ პრაქტიკაში, მათემატიკური ინდუქციის მესამე ფორმა სხვებთან შედარებით ნაკლებად გავრცელებულია. ეს აიხსნება იმით, რომ მის გამოსაყენებლად საჭიროა ვიცოდეთ ნატურალური რიცხვების სიმრავლის უსასრულო M ქვესიმრავლე, რომელიც განხილულია თეორემაში. ასეთი ნაკრების პოვნა შეიძლება არ იყოს ადვილი ამოცანა.

მაგრამ მესამე ფორმის უპირატესობა სხვებთან შედარებით არის ის, რომ მისი დახმარებით წინადადება P(c) შეიძლება დადასტურდეს ყველა მთელი რიცხვისთვის.

ქვემოთ მოვიყვანთ მესამე ფორმის გამოყენების საინტერესო მაგალითს“. მაგრამ პირველ რიგში, მოდით მივცეთ ერთი ძალიან მნიშვნელოვანი კონცეფცია.

განმარტება. a მთელი რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა არის წესით განსაზღვრული რიცხვი

0, თუ a O a, თუ a > O

და, თუ ა< 0.

ამრიგად, თუ არის 0, მაშინ? ნ.

მკითხველს ვიწვევთ, როგორც სავარჯიშო, დაამტკიცოს აბსოლუტური მნიშვნელობის შემდეგი თვისებები:

თეორემა (ნაშთით გაყოფის შესახებ). ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის a და b, სადაც b 0, არსებობს და, უფრო მეტიც, რიცხვების მხოლოდ ერთი წყვილი q U m ისეთი, რომ a r: bq + T L D.

მტკიცებულება.

1. წყვილის არსებობა (q, m).

მოდით a, b? Z და 0. ვაჩვენოთ, რომ არსებობს q რიცხვების წყვილი და აკმაყოფილებს პირობებს

ჩვენ ვახორციელებთ მტკიცებულებას ინდუქციით მესამე ფორმით რიცხვზე a ფიქსირებული რიცხვისთვის b.

M = (mlm= n lbl,n? N).

აშკარაა, რომ M C არის f: N M, განსაზღვრული წესით f(n) = nlbl ნებისმიერი n-სთვის? N, არის ბიექცია. ეს ნიშნავს, რომ M N, ე.ი. M- უსასრულოდ.

მოდით დავამტკიცოთ, რომ თვითნებური რიცხვისთვის a? თეორემის m (და b- ფიქსირებული) დებულება q და m რიცხვების წყვილის არსებობის შესახებ მართალია.

მართლაც, მოდით a (- M. მაშინ pf! ზოგიერთი n? N.

თუ b > 0, მაშინ a = n + O. ახლა ვაყენებთ q = n და m O, მივიღებთ საჭირო წყვილს q და m თუ b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

ახლა გავაკეთოთ ინდუქციური ვარაუდი. დავუშვათ, რომ თვითნებური მთელი რიცხვისთვის c (და თვითნებური ფიქსირებული b 0) თეორემის დებულება მართალია, ე.ი. არის რიცხვების წყვილი (q, m) ისეთი, რომ

დავამტკიცოთ, რომ ეს ასევე მართალია რიცხვისთვის (1-ით). c = bq -4- ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ bq + (m - 1). (1)

შეიძლება იყოს შემთხვევები.

1) m > 0. შემდეგ 7" - 1 > 0. ამ შემთხვევაში, - m - 1-ის დაყენებით, ვიღებთ c - 1 - bq + Tl, სადაც წყვილი (q, 7"1,) აშკარად აკმაყოფილებს პირობას.

0. შემდეგ c - 1 bq1 + 711 , სადაც q1

ჩვენ შეგვიძლია მარტივად დავამტკიცოთ, რომ 0< < Д.

ამრიგად, განცხადება ასევე მართალია წყვილი რიცხვისთვის

თეორემის პირველი ნაწილი დადასტურებულია.

პ. q წყვილის უნიკალურობა და ა.შ.

დავუშვათ, რომ a და b 0 რიცხვებისთვის არის ორი წყვილი რიცხვი (q, m) და (q1, შემდეგ, რომელიც აკმაყოფილებს პირობებს (*)

დავამტკიცოთ, რომ ისინი ერთმანეთს ემთხვევა. ასე რომ მოდით

და bq1 L O< Д.

ეს ნიშნავს, რომ b(q1 -q) m- 7 1 1. ამ ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ

თუ ახლა ვივარაუდებთ, რომ q ql, მაშინ q - q1 0, საიდანაც lq - q1l 1. ამ უტოლობების ვამრავლით ვამრავლით რიცხვით lbl, მივიღებთ φ! - q11 D. (3)

ამავე დროს, უტოლობებიდან 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

სავარჯიშოები:

1. შეავსეთ მე-2 და მე-3 თეორემების მტკიცებულებები 5 1-დან.

2. დაამტკიცეთ დასკვნა 2 თეორემიდან 3, 1.

3. დაამტკიცეთ, რომ ქვესიმრავლე H C Z, რომელიც შედგება ფორმის ყველა რიცხვისგან< п + 1, 1 >(n? N), დახურულია შეკრებისა და გამრავლების ქვეშ.

4. მოდით, H ნიშნავდეს იგივე სიმრავლეს, რაც მე-3 სავარჯიშოში. დაამტკიცეთ, რომ გამოსახვა ј : M აკმაყოფილებს პირობებს:

1) ј - ბიექცია;

2) ј(n + m) = ј(n) + j(m) და j(nm) = ј(n) j(m) ნებისმიერი რიცხვისთვის n, m (ანუ ј ახორციელებს ალგებრების იზომორფიზმს (N). , 4 და (H, + ,).

5. დაასრულეთ 2-დან 1-ლი თეორემას დადასტურება.

6. დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის a, b, c მოქმედებს შემდეგი მნიშვნელობა:

7. დაამტკიცეთ მეორე და მესამე თეორემა ზ.

8. დაამტკიცეთ, რომ მთელი რიცხვების Z რგოლი არ შეიცავს ნულოვან გამყოფებს.

ლიტერატურა

1. Bourbaki N. სიმრავლეების თეორია. მ.: მირი, 1965 წ.

2. ვინოგრადოვი I. M. რიცხვების თეორიის საფუძვლები. M.: Nauka, 1972. Z. DemiDov I. T. არითმეტიკის საფუძვლები. მ.: უჭპედგიზი, 1963 წ.

4. Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. ჯგუფის თეორიის საფუძვლები.

მ.: ნაუკა, 1972 წ.

5. კოსტრიკინი A.I. შესავალი ალგებრაში. მ.: ნაუკა, 1994 წ.

ბ. Kulikov L. Ya. ალგებრა და რიცხვების თეორია. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1979 წ.

7. კუროშ ა.გ. უმაღლესი ალგებრის კურსი. მ.: ნაუკა, 1971 წ.

8. Lyubetsky V. A. სასკოლო მათემატიკის ძირითადი ცნებები. მ.: განათლება, 1987 წ.

9. ლიაპინი ევროკავშირი. და სხვა სავარჯიშოები ჯგუფის თეორიაზე. მ.: ნაუკა, 1967 წ.

10. მალცევი ა.ი. მ.: ნაუკა, 1970 წ.

11. MenDelson E. შესავალი მათემატიკური ლოგიკაში. მ.: ნაუკა, 1971 წ.

12. ნეჩაევი V.I. მ.: განათლება, 1975 წ.

13. ნოვიკოვი პ.ს. მათემატიკური ლოგიკის ელემენტები. მ.. მეცნიერება, 1973 წ.

14. პეტროვა ვ.ტ. ლექციები ალგებრასა და გეომეტრიაზე.: 2 საათზე.

CHL. მ.: ვლადოსი, 1999 წ.

15. სასკოლო მათემატიკის კურსის თანამედროვე საფუძვლები ავტ. პოლკოვნიკი: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. მ.: განათლება, 1980 წ.

16. Skornyakov L. A. ალგებრის ელემენტები. მ.: ნაუკა, 1980 წ.

17. სტომ რ.რ. ნაკრები, ლოგიკა, აქსიომატური თეორიები. მ. განმანათლებლობა, 1968 წ.

18. Stolyar A. A. ლოგიკური შესავალი მათემატიკაში. მინსკი: ყველაზე მაღალი. სკოლა, 1971 წ.

19. ფილიპოვი V.P. ალგებრა და რიცხვების თეორია. ვოლგოგრადი: VGPI, 1975 წ.

20. Frenkel A., Bar-Hilel I. სიმრავლეების თეორიის საფუძვლები. მ.: მირი, 1966 წ.

21. Fuchs L. ნაწილობრივ მოწესრიგებული სისტემები. მ.: მირი, 1965 წ.

საგანმანათლებლო პუბლიკაცია გამოცემა

ვლადიმერ კონსტანტინოვიჩ კარტაშოვი

მათემატიკის შესავალი კურსი

სახელმძღვანელო

სარედაქციო მომზადება O. I. Molokanova-ს მიერ ორიგინალური განლაგება მოამზადა A. P. Boschenko-მ

„PR 020048 20/12/96 წ

ხელმოწერილია გამოსაქვეყნებლად 1999 წლის 28 აგვისტოს. ფორმატი 60x84/16. საოფისე ბეჭდვა ბუმი. ტიპი. მ 2. უელ. ღუმელი ლ. 8.2. აკადემიური რედ. ლ. 8.3. ტირაჟი 500 ეგზემპლარი. შეკვეთა 2

გამომცემლობა "პერმენა"

მოგეხსენებათ, ნატურალური რიცხვების სიმრავლის დალაგება შესაძლებელია "ნაკლები ვიდრე" მიმართებით. მაგრამ აქსიომური თეორიის აგების წესები მოითხოვს, რომ ეს მიმართება იყოს არა მხოლოდ განსაზღვრული, არამედ ამ თეორიაში უკვე განსაზღვრული ცნებების საფუძველზე. ეს შეიძლება გაკეთდეს მიმატების გზით "ნაკლები" მიმართების განსაზღვრით.

განმარტება. რიცხვი a ნაკლებია რიცხვზე b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = ბ.

ამ პირობებში იმასაც ამბობენ, რომ რიცხვი ბმეტი ადა დაწერე ბ > ა.

თეორემა 12.ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის ადა ბერთი და მხოლოდ ერთი სამი ურთიერთობა აქვს: a = b, a > b, ა < ბ.

ჩვენ გამოვტოვებთ ამ თეორემის დადასტურებას.. ამ თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ თუ

a¹ b,ან ა< b, ან a > b,იმათ. მიმართებას „ნაკლები“ ​​აქვს კავშირის თვისება.

თეორემა 13.თუ ა< b და ბ< с. რომ ა< с.

მტკიცებულება. ეს თეორემა გამოხატავს "ნაკლებად" მიმართების გარდამავალ თვისებას.

იმიტომ რომ ა< b და ბ< с. მაშინ „ნაკლები“ ​​მიმართების განმარტებით არის ნატურალური რიცხვები რომმერე რა b = a + k და c = b + I.მაგრამ შემდეგ c = (a + k)+ / და მიმატების ასოციაციური თვისებიდან გამომდინარე ვიღებთ: c = a + (k +/). მას შემდეგ, რაც k + I -ბუნებრივი რიცხვი, მაშინ, "ნაკლების" განმარტების მიხედვით, ა< с.

თეორემა 14. თუ ა< b, ეს არ არის მართალი ბ< а. მტკიცებულება. ეს თეორემა გამოხატავს თვისებას ანტისიმეტრია"ნაკლები" ურთიერთობა.

ჯერ დავამტკიცოთ, რომ არც ერთი ნატურალური რიცხვისთვის აარა შენ -!>! ■ )მისი დამოკიდებულება ა< ა.დავუშვათ პირიქით, ე.ი. რა ა< а ხდება. შემდეგ, "ნაკლები" მიმართების განმარტებით, არის ნატურალური რიცხვი თან,რა ა+ თან= A,და ეს ეწინააღმდეგება მე-6 თეორემას.

ახლა დავამტკიცოთ, რომ თუ ა< ბ, მაშინ ეს არ არის მართალი ბ < ა.დავუშვათ პირიქით, ე.ი. რა თუ ა< b , ეს ბ< а გაშვებულია. მაგრამ ამ თანასწორობიდან მე-12 თეორემა გვაქვს ა< а, რაც შეუძლებელია.

ვინაიდან ჩვენ მიერ განსაზღვრული „ნაკლები“ ​​მიმართება არის ანტისიმეტრიული და გარდამავალი და აქვს კავშირის თვისება, ეს არის წრფივი რიგის მიმართება და ნატურალური რიცხვების სიმრავლე. ხაზობრივად მოწესრიგებული ნაკრები.

„ნაკლები“-ს და მისი თვისებების განმარტებიდან შეგვიძლია გამოვიტანოთ ნატურალური რიცხვების სიმრავლის ცნობილი თვისებები.

თეორემა 15.ყველა ნატურალური რიცხვიდან ერთი ყველაზე პატარა რიცხვია, ე.ი. მე< а для любого натурального числа a¹1.

მტკიცებულება. დაე A -ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი. მაშინ შესაძლებელია ორი შემთხვევა: a = 1 და a¹ 1. თუ a = 1, მაშინ არის ნატურალური რიცხვი ბ,მოჰყვა a: a = b " = b + I = 1 + ბ,ე.ი. „ნაკლები“ ​​მიმართების განმარტებით, 1< ა.მაშასადამე, ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი უდრის 1-ს ან 1-ზე მეტი. ან, ერთი არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი.

მიმართება „ნაკლები ვიდრე“ დაკავშირებულია რიცხვების შეკრებასთან და გამრავლებასთან მონოტონურობის თვისებებით.

თეორემა 16.

a = b => a + c = b + c და a c = b c;

ა< b =>a + c< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c და ac > bc.

მტკიცებულება. 1) ამ განცხადების მართებულობა გამომდინარეობს შეკრებისა და გამრავლების უნიკალურობიდან.

2) თუ ა< b, მაშინ არის ასეთი ნატურალური რიცხვი კ,რა ა + k = b.
მერე ბ+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (გ+ მდე)= (ა + გ) + კ.თანასწორობა ბ+ c = (a + c) + kნიშნავს იმას a + c< b + თან.

იგივენაირად დასტურდება რომ ა< b =>აწ< bс.

3) მტკიცებულება მსგავსია.

თეორემა 17(თეორემა 16-ის საპირისპირო).

1) ა+ c = b + cან ac ~ ძვ.Þ a = b

2) a + c< Ь + с ან აწ< ძვ.წÞ ა< Ь:

3) a + c > b+ ან ac > ძვ.წÞ a > b.

მტკიცებულება. მოდით დავამტკიცოთ, რომ მაგალითად აწ< bс უნდა ა< b დავუშვათ პირიქით, ე.ი. რომ თეორემის დასკვნა არ მოქმედებს. მაშინ ასე არ შეიძლება a = b.მას შემდეგ თანასწორობა დაკმაყოფილდებოდა ac = ძვ(თეორემა 16); ეს არ შეიძლება იყოს ა> ბ,რადგან მაშინ იქნებოდა ac > ძვ.წ(თეორემა!6). ამიტომ, მე-12 თეორემის მიხედვით, ა< b.

მე-16 და მე-17 თეორემებიდან შეგვიძლია გამოვიტანოთ უტოლობების ტერმინებით შეკრებისა და გამრავლების ცნობილი წესები. ჩვენ მათ გარეთ ვტოვებთ.

თეორემა 18. ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის ადა ბ; არის ნატურალური რიცხვი n ისეთი, რომ p b> a.

მტკიცებულება. ვინმესთვის აარის ასეთი რიცხვი ნ, რა n > a.ამისათვის საკმარისია მიიღოს n = a + 1. უტოლობების გამრავლება ვადით ნ> ადა ბ> 1, მივიღებთ პბ > ა.

„ნაკლები“ ​​მიმართების განხილული თვისებებიდან გამომდინარეობს ნატურალური რიცხვების სიმრავლის მნიშვნელოვანი ნიშნები, რომლებსაც წარმოგიდგენთ მტკიცებულების გარეშე.

1. არა რომელიმე ნატურალური რიცხვისთვის აასეთი ბუნებრივი რიცხვი არ არსებობს გვ,რა ა< п < а + 1. ეს თვისება ე.წ ქონება
დისკრეტულობანატურალური რიცხვებისა და რიცხვების სიმრავლეები ადა a + 1 ჰქვია მეზობელი.

2. ნატურალური რიცხვების ნებისმიერი არა ცარიელი ქვესიმრავლე შეიცავს
ყველაზე პატარა რიცხვი.

3. თუ მ- ნატურალური რიცხვების სიმრავლის არა ცარიელი ქვესიმრავლე
და არის ასეთი რიცხვი ბ,რომ ყველა x რიცხვისთვის მარ არის შესრულებული
თანასწორობა x< ბ,შემდეგ უხვად მყველაზე დიდი რიცხვია.

მოდით, მაგალითით ავხსნათ 2 და 3 თვისებები. დაე მ- ორნიშნა რიცხვების ნაკრები. იმიტომ რომ მარის ნატურალური რიცხვების ქვესიმრავლე და ამ სიმრავლის ყველა რიცხვისთვის x უტოლობა< 100, то в множестве მარის უდიდესი რიცხვი 99. მოცემულ სიმრავლეში შემავალი უმცირესი რიცხვი M, -ნომერი 10.

ამრიგად, „ნაკლები“ ​​მიმართებამ შესაძლებელი გახადა ნატურალური რიცხვების სიმრავლის თვისებების მნიშვნელოვანი რაოდენობის გათვალისწინება (და ზოგიერთ შემთხვევაში დამტკიცება). კერძოდ, ის არის წრფივი მოწესრიგებული, დისკრეტული და აქვს უმცირესი რიცხვი 1.

დაწყებითი სკოლის მოსწავლეები სწავლის დასაწყისშივე ეცნობიან ნატურალური რიცხვების „ნაკლები“ ​​(„მეტი“) მიმართებას. და ხშირად, მის სიმრავლე-თეორიულ ინტერპრეტაციასთან ერთად, ირიბად გამოიყენება ჩვენს მიერ აქსიომური თეორიის ფარგლებში მოცემული განმარტება. მაგალითად, მოსწავლეებს შეუძლიათ ახსნან, რომ 9 > 7, რადგან 9 არის 7+2. ასევე ხშირია შეკრებისა და გამრავლების ერთფეროვნების თვისებების ნაგულისხმევი გამოყენება. მაგალითად, ბავშვები განმარტავენ, რომ „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

სავარჯიშოები

1. რატომ არ შეიძლება ნატურალური რიცხვების სიმრავლის დალაგება „მყისიერად მიჰყევი“ მიმართებით?

განსაზღვრეთ დამოკიდებულება a > bდა დაამტკიცეთ, რომ ის გარდამავალი და ანტისიმეტრიულია.

3. დაამტკიცეთ, რომ თუ ა, ბ, გარის ბუნებრივი რიცხვები, მაშინ:

ა) ა< b Þ ас < bс;

ბ) ა+ თან< b + сÞ> ა< Ь.

4. რა თეორემები შეიძლება შეკრებისა და გამრავლების ერთფეროვნებაზე
გამოყენება უმცროსი სკოლის მოსწავლეების მიერ დავალების „შედარება გამოთვლების გარეშე“ შესრულებისას:

ა) 27 + 8 ... 27 + 18;

ბ) 27-8 ... 27 -18.

5. ნატურალური რიცხვების სიმრავლის რა თვისებებს იყენებენ დაწყებითი სკოლის მოსწავლეები შემდეგი ამოცანების შესრულებისას:

ა) ჩაწერეთ რიცხვები, რომლებიც 65-ზე მეტია და 75-ზე ნაკლები.

ბ) დაასახელეთ წინა და მომდევნო რიცხვები 300 რიცხვთან მიმართებაში (800,609,999).

გ) დაასახელეთ ყველაზე პატარა და უდიდესი სამნიშნა რიცხვი.

გამოკლება

ნატურალური რიცხვების თეორიის აქსიომატურ კონსტრუქციაში გამოკლება ჩვეულებრივ განისაზღვრება, როგორც შეკრების შებრუნებული მოქმედება.

განმარტება. a და b ნატურალური რიცხვების გამოკლება არის ოპერაცია, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას: a - b = c თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ b + c = a.

ნომერი ა - ბეწოდება ა და რიცხვებს შორის სხვაობა ბ,ნომერი ა– შეუმჩნეველი, რიცხვი ბ-გამოიქვითება.

თეორემა 19.ნატურალური რიცხვების სხვაობა ა- ბარსებობს თუ და მხოლოდ მაშინ ბ< а.

მტკიცებულება. დაე სხვაობა ა- ბარსებობს. შემდეგ, განსხვავების განმარტებით, არის ნატურალური რიცხვი თან,რა b + c = a,რაც იმას ნიშნავს, რომ ბ< а.

თუ ბ< а, მაშინ, „ნაკლები ვიდრე“ მიმართების განსაზღვრებით არის ნატურალური რიცხვი c ისეთი, რომ b + c = a.შემდეგ, განსხვავების განმარტებით, c = a - b,იმათ. განსხვავება ა - ბარსებობს.

თეორემა 20. თუ ნატურალური რიცხვების სხვაობა ადა ბარსებობს, მაშინ ის უნიკალურია.

მტკიცებულება. დავუშვათ, რომ არსებობს რიცხვებს შორის განსხვავების ორი განსხვავებული მნიშვნელობა ადა ბ;: ა – ბ= s1და ა - ბ= s₂, და s1 1 s2 .შემდეგ, განსხვავების განმარტებით, გვაქვს: a = b + c1,და a = b + c2: .აქედან გამომდინარეობს ბ+ c 1 = b + c2 :და მე-17 თეორემაზე დაყრდნობით ჩვენ დავასკვნით, с1 = с2..ჩვენ წინააღმდეგობამდე მივედით ვარაუდთან, რაც ნიშნავს, რომ ის მცდარია, მაგრამ ეს თეორემა სწორია.

ნატურალური რიცხვების განსხვავების განსაზღვრისა და მისი არსებობის პირობების საფუძველზე შესაძლებელია დაადასტუროს რიცხვის ჯამიდან და ჯამის გამოკლების ცნობილი წესები.

თეორემა 21. დაე ა. ბდა თან- ნატურალური რიცხვები.

ა) თუ a > c, შემდეგ (a + b) - c = (a - c) + b.

ბ) თუ ბ > გ. შემდეგ (a + b) - c - a + (b - c).

გ) თუ a > c და b > c.მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ფორმულა.
მტკიცებულება. ა) რიცხვთა სხვაობის შემთხვევაში ადა გარსებობს იმიტომ a > s.მოდით აღვნიშნოთ x: a - c = x.სადაც a = c + x. თუ (ა+ ბ) - c = y.შემდეგ, განსხვავების განმარტებით, ა+ ბ = თან+ ზე. მოდით ჩავანაცვლოთ ამ თანასწორობით აგამოხატულება c + x:(c + x) + b = c + y.მოდით გამოვიყენოთ მიმატების ასოციაციურობის თვისება: c + (x + b) = გ+ ზე. მოდით გარდავქმნათ ეს თანასწორობა მიმატების ერთფეროვნების თვისებიდან გამომდინარე და მივიღოთ:

x + b = u..ამ ტოლობაში x ჩანაცვლება გამოსახულებით ა - გ,გვექნება (A -გ) + b = y.ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ თუ a > c, შემდეგ (a + b) - c = (a - c) + b

მტკიცებულება ხორციელდება ანალოგიურად ბ) შემთხვევაში.

დადასტურებული თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს დასამახსოვრებლად მოსახერხებელი წესის სახით: იმისათვის, რომ გამოვაკლოთ რიცხვი ჯამს, საკმარისია ეს რიცხვი გამოვაკლოთ ჯამის ერთ წევრს და მივიღოთ კიდევ ერთი წევრი შედეგს.

თეორემა 22.დაე a, b და c -ნატურალური რიცხვები. თუ a > b+ s, მაშინ ა- (ბ + გ) = (ა - ბ) - გან a - (b + c) = (a - c) - b.

ამ თეორიის მტკიცებულება 21-ე თეორემის დამტკიცების მსგავსია.

22-ე თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს წესით: რიცხვთა ჯამის გამოკლების მიზნით, საკმარისია ამ რიცხვს სათითაოდ გამოვაკლოთ თითოეული წევრი.

დაწყებითი მათემატიკის სწავლებაში გამოკლების, როგორც შეკრების შებრუნების განმარტება, როგორც წესი, არ არის მოცემული ზოგადი ფორმით, მაგრამ იგი მუდმივად გამოიყენება, დაწყებული ერთნიშნა რიცხვებზე მოქმედებების შესრულებით. მოსწავლეებმა ნათლად უნდა გაიგონ, რომ გამოკლება დაკავშირებულია შეკრებასთან და გამოიყენონ ეს ურთიერთობა გამოთვლებში. 40-ს, მაგალითად, 16-ის გამოკლებით, მოსწავლეები ასე მსჯელობენ: „16 რიცხვის გამოკლება 40-ს ნიშნავს ისეთი რიცხვის პოვნას, რომ როცა 16-ს დაემატება, შედეგი იყოს 40; ეს რიცხვი იქნება 24, ვინაიდან 24 + 16 = 40. ასე რომ. 40 - 16 = 24."

მათემატიკის საწყის კურსში რიცხვის ჯამიდან და ჯამის გამოკლების წესები წარმოადგენს სხვადასხვა გამოთვლის ტექნიკის თეორიულ საფუძველს. მაგალითად, გამოთქმის (40 + 16) - 10 მნიშვნელობის პოვნა შესაძლებელია არა მხოლოდ ფრჩხილებში ჩასმული ჯამის გამოთვლით და შემდეგ 10 რიცხვის გამოკლებით, არამედ ამ გზითაც;

ა) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

ბ) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.

სავარჯიშოები

1. მართალია თუ არა, რომ ყოველი ნატურალური რიცხვი მიიღება უშუალო მომდევნოდან ერთის გამოკლებით?

2. რა არის განსაკუთრებული თეორემა 19-ის ლოგიკურ სტრუქტურაში? შეიძლება თუ არა მისი ჩამოყალიბება სიტყვებით „აუცილებელი და საკმარისი“?

3. დაამტკიცეთ, რომ:

ა) თუ ბ > გ,რომ (a + b) - c = a + (b - c);

ბ) თუ a > b + c, ეს ა - (ბ+ გ) = (ა - ბ) - გ.

4. შესაძლებელია თუ არა, გამოთვლების განხორციელების გარეშე ვთქვათ, რომელ გამონათქვამებს ექნება იგივე მნიშვნელობები:

ა) (50 + 16)- 14; დ) 50 + (16 -14 ),

ბ) (50 - 14) + 16; ე) 50 - (16 - 14);
გ) (50 - 14) - 16, ვ) (50 + 14) - 16.

ა) 50 - (16 + 14); დ) (50 - 14) + 16;

ბ) (50 - 16) + 14; ე) (50 - 14) - 16;

გ) (50 - 16) - 14; ე) 50 - 16-14.

5. გამოკლების რა თვისებებია თეორიული საფუძველი მათემატიკის საწყის კურსში შესწავლილი შემდეგი გამოთვლითი ტექნიკისთვის:

12 - 2-3 12 -5 = 7

ბ) 16-7 = 16-6 - P;

გ) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 =18;

დ) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. აღწერეთ ფორმის გამოხატვის მნიშვნელობის შეფასების შესაძლო გზები. ა - ბ- თანდა კონკრეტული მაგალითებით აჩვენეთ ისინი.

7. დაამტკიცეთ, რომ როცა ბ< а და ნებისმიერი ბუნებრივი c თანასწორობა მართალია (a – b) c = ac - bc.

შენიშვნა: მტკიცებულება ემყარება მე-4 აქსიომას.

8. გამოთქმის მნიშვნელობის განსაზღვრა წერილობითი გამოთვლების შესრულების გარეშე. დაასაბუთეთ თქვენი პასუხები.

ა) 7865 × 6 – 7865 ×5: ბ) 957 × 11 – 957; გ) 12 × 36 – 7 × 36.

განყოფილება

ნატურალური რიცხვების თეორიის აქსიომატურ კონსტრუქციაში გაყოფა ჩვეულებრივ განისაზღვრება, როგორც გამრავლების შებრუნებული ოპერაცია.

განმარტება. a და b ნატურალური რიცხვების გაყოფა არის ოპერაცია, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას: a: b = c თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თურომ როდესაც ბ× c = a.

ნომერი ა:ბდაურეკა კერძონომრები ადა ბ,ნომერი აიყოფა, რიცხვი ბ- გამყოფი.

მოგეხსენებათ, ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე გაყოფა ყოველთვის არ არსებობს და არ არსებობს ისეთი მოსახერხებელი ნიშანი, რომლითაც არსებობს სხვაობა. კონკრეტულის არსებობისთვის მხოლოდ აუცილებელი პირობაა.

თეორემა 23.იმისათვის, რომ არსებობდეს ორი ნატურალური რიცხვის კოეფიციენტი ადა ბ, აუცილებელია რომ ბ< а.

მტკიცებულება. მოდით ნატურალური რიცხვების კოეფიციენტი ადა ბარსებობს, ე.ი. არის ბუნებრივი რიცხვი c ისეთი, რომ ძვ = ა.ვინაიდან ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის 1 უტოლობაა 1 £ თან,შემდეგ, მისი ორივე ნაწილის გამრავლება ნატურალურ რიცხვზე ბ, ვიღებთ ბ£ ძვ.წ.მაგრამ bc = a,აქედან გამომდინარე, ბ£ ა.

თეორემა 24.თუ ნატურალური რიცხვების კოეფიციენტი ადა ბარსებობს, მაშინ ის უნიკალურია.

ამ თეორემის მტკიცებულება ნატურალური რიცხვების განსხვავების უნიკალურობის შესახებ თეორემის დამტკიცების მსგავსია.

ნატურალური რიცხვების კოეფიციენტის განსაზღვრის და მისი არსებობის პირობების საფუძველზე შესაძლებელია ჯამის (განსხვავების, ნამრავლის) რიცხვზე გაყოფის ცნობილი წესების დასაბუთება.

თეორემა 25.თუ ნომრები ადა ბიყოფა რიცხვზე თან,შემდეგ მათი ჯამი a + bგაყოფილი c-ზე და ჯამის გაყოფით მიღებული კოეფიციენტი ა+ ბთითო რიცხვზე თან,გაყოფით მიღებული კოეფიციენტების ჯამის ტოლია ა on თანდა ბ on თან, ე.ი. (a + b):c = a:c + b:თან.

მტკიცებულება. ნომრიდან გამომდინარე აიყოფა თან,მაშინ არის ნატურალური რიცხვი x = ა;ეს არის a = cx.ანალოგიურად, არსებობს ასეთი ბუნებრივი რიცხვი y = b:თან,რა

ბ= სუ.მაგრამ შემდეგ a + b = cx+ cy = - c(x + y).ეს იმას ნიშნავს, რომ a + bიყოფა c-ზე, ხოლო კოეფიციენტი მიღებული ჯამის გაყოფით ა+ ბ c რიცხვით, x +-ის ტოლი y,იმათ. ცული + ბ: გ.

დადასტურებული თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს ჯამის რიცხვზე გაყოფის წესით: იმისთვის, რომ ჯამი გავყოთ რიცხვზე, საკმარისია თითოეული წევრი გავყოთ ამ რიცხვზე და მივიღოთ მიღებული შედეგები.

თეორემა 26.თუ ნატურალური რიცხვები ადა ბიყოფა რიცხვზე თანდა a > b,მაშინ განსხვავება ა - ბიყოფა c-ზე, ხოლო სხვაობის c რიცხვზე გაყოფით მიღებული კოეფიციენტი უდრის გაყოფით მიღებულ კოეფიციენტთა სხვაობას. ა on თანდა ბ c-ზე, ე.ი. (a - b):c = a:c - b:c.

ამ თეორემის მტკიცებულება წინა თეორემის მტკიცებულების მსგავსია.

ეს თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს სხვაობის რიცხვზე გაყოფის წესით: ამისთვისიმისთვის, რომ სხვაობა გავყოთ რიცხვზე, საკმარისია ამ რიცხვზე გავყოთ მინუენდი და სუბტრაჰენდი და გამოვაკლოთ მეორე პირველ კოეფიციენტს.

თეორემა 27.თუ ნატურალური რიცხვია აიყოფა ნატურალურ რიცხვზე c, შემდეგ ნებისმიერ ნატურალურ რიცხვზე ბმუშაობა აბიყოფა ს. ამ შემთხვევაში პროდუქტის გაყოფით მიღებული კოეფიციენტი აბნომერზე s , გაყოფით მიღებული კოეფიციენტის ნამრავლის ტოლია ა on თან,და ნომრები b: (a × b): c - (a:c) × b.

მტკიცებულება. იმიტომ რომ აიყოფა თან,მაშინ არის ნატურალური რიცხვი x ისეთი რომ ა: გ= x, სად a = cx.ტოლობის ორივე მხარის გამრავლება ბ,ვიღებთ ab = (cx)b.ვინაიდან გამრავლება ასოციაციურია, მაშინ (cx) b = c(x b).აქედან (a b):c = x b= (a:c) ბ.თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს ნამრავლის რიცხვზე გაყოფის წესით: იმისათვის, რომ ნამრავლი გავყოთ რიცხვზე, საკმარისია ერთ-ერთი ფაქტორი გავყოთ ამ რიცხვზე და მიღებული შედეგი გავამრავლოთ მეორე ფაქტორზე.

დაწყებითი მათემატიკის სწავლებაში გაყოფის, როგორც გამრავლების შებრუნებული მოქმედების განმარტება, როგორც წესი, ზოგადი ტერმინებით არ არის მოცემული, მაგრამ ის მუდმივად გამოიყენება, გაყოფის გაცნობის პირველი გაკვეთილებიდან დაწყებული. მოსწავლეებმა ნათლად უნდა გაიგონ, რომ გაყოფა დაკავშირებულია გამრავლებასთან და გამოიყენონ ეს კავშირი გამოთვლების კეთებისას. მაგალითად, 48-ის 16-ზე გაყოფისას მოსწავლეები ასე მსჯელობენ: „48-ის 16-ზე გაყოფა ნიშნავს ისეთი რიცხვის პოვნას, რომელიც 16-ზე გამრავლებისას მივიღებთ 48-ს; ასეთი რიცხვი იქნება 3, ვინაიდან 16×3 = 48. ამიტომ, 48: 16 = 3.

სავარჯიშოები

1. დაამტკიცეთ, რომ:

ა) თუ ნატურალური რიცხვების კოეფიციენტი ა და ბარსებობს, მაშინ ის უნიკალურია;

ბ) თუ რიცხვები ა და ბიყოფა თანდა a > b,რომ (ა - ბ): გ = ა: გ - ბ: გ.
2. შესაძლებელია თუ არა იმის თქმა, რომ ყველა ეს თანასწორობა მართალია:
ა) 48:(2×4) = 48:2:4; ბ) 56:(2×7) = 56:7:2;

გ) 850:170 =850:10:17.

რა წესი აზოგადებს ამ შემთხვევებს? ჩამოაყალიბეთ და დაამტკიცეთ.

3. გაყოფის რა თვისებებია თეორიული საფუძველი
დაწყებითი სკოლის მოსწავლეებისთვის შემოთავაზებული შემდეგი ამოცანების შესრულება:

შესაძლებელია თუ არა, დაყოფის შესრულების გარეშე, იმის თქმა, რომელ გამონათქვამებს ექნება იგივე მნიშვნელობა:

ა) (40+ 8):2; გ) 48:3; ე) (20+ 28):2;

ბ) (30 + 16):3; ზ)(21+27):3; ვ) 48:2;

მართალია თუ არა თანასწორობა:

ა) 48:6:2 = 48:(6:2); ბ) 96:4:2 = 96:(4-2);

გ) (40 - 28): 4 = 10-7?

4. აღწერეთ გამოხატვის მნიშვნელობის გამოთვლის შესაძლო გზები
ტიპი:

ა) (ა+ ბ): გ;ბ) ა:ბ: თან; V) ( a × ბ): თან .

შემოთავაზებული მეთოდების ილუსტრირება კონკრეტული მაგალითებით.

5. რაციონალურად იპოვე გამოთქმის მნიშვნელობა; მათი
დაასაბუთეთ თქვენი ქმედებები:

ა) (7 × 63):7; გ) (15 × 18):(5× 6);

ბ) (3 × 4× 5): 15; დ) (12 × 21): 14.

6. დაასაბუთეთ ორნიშნა რიცხვზე გაყოფის შემდეგი მეთოდები:

ა) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;

ბ) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;

გ) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

დ) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560 × 2 = 1120.

7. კუთხით გაყოფის გარეშე იპოვე ყველაზე რაციონალური
თანაბრად; დაასაბუთეთ არჩეული მეთოდი:

ა) 495:15; გ) 455:7; ე) 275:55;

6) 425:85; დ) 225:9; ე) 455:65.

ლექცია 34. არაუარყოფითი მთელი რიცხვების სიმრავლის თვისებები

1. არაუარყოფითი მთელი რიცხვების სიმრავლე. არაუარყოფითი მთელი რიცხვების სიმრავლის თვისებები.

2. რიცხვების ბუნებრივი რიგისა და სასრულ სიმრავლის ელემენტების მთვლელის სეგმენტის ცნება. რიგითი და კარდინალური ნატურალური რიცხვები.

სპეციალობის სახელმწიფო გამოცდისთვის

1. ხაზოვანი (ვექტორული) სივრცე ველზე. მაგალითები. ქვესივრცეები, უმარტივესი თვისებები. ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა.

2. ვექტორული სივრცის საფუძველი და განზომილება. ვექტორული სისტემის საკოორდინატო მატრიცა. ერთი საფუძვლიდან მეორეზე გადასვლა. ვექტორული სივრცეების იზომორფიზმი.

3. რთული რიცხვების ველის ალგებრული ჩაკეტვა.

4. მთელი რიცხვების ბეჭედი. მთელი რიცხვების დალაგება. თეორემები "ყველაზე დიდი" და "პატარა" მთელი რიცხვების შესახებ.

5. ჯგუფი, ჯგუფების მაგალითები. ჯგუფების უმარტივესი თვისებები. ქვეჯგუფები. ჯგუფების ჰომორფიზმი და იზომორფიზმი.

6. მთელი რიცხვების გაყოფის ძირითადი თვისებები. მარტივი რიცხვები. მარტივი რიცხვების სიმრავლის უსასრულობა. კომპოზიტური რიცხვის კანონიკური დაშლა და მისი უნიკალურობა.

7. კრონეკერ-კაპელის თეორემა (თანმიმდევრულობის კრიტერიუმი წრფივი განტოლებათა სისტემისათვის).

8. შედარების ძირითადი თვისებები. მოდულის გამოკლების სრული და შემცირებული სისტემები. მოდულის ნარჩენების კლასის ბეჭედი. ეილერის და ფერმას თეორემები.

9. შედარების თეორიის გამოყენება გაყოფის კრიტერიუმების წარმოშობაზე. წილადის ათწილადად გადაქცევა და მისი პერიოდის ხანგრძლივობის დადგენა.

10. მრავალწევრის წარმოსახვითი ფესვების კონიუგაცია ნამდვილ კოეფიციენტებთან. შეუქცევადი მრავალწევრები რეალური რიცხვების ველზე.

11. წრფივი შედარება ერთ ცვლადთან (ხსნადობის კრიტერიუმი, ამოხსნის მეთოდები).

12. წრფივი განტოლებათა ეკვივალენტური სისტემები. უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი.

13. ბეჭედი. ბეჭდების მაგალითები. ბეჭდების უმარტივესი თვისებები. ქვერგოლი. რგოლების ჰომორფიზმი და იზომორფიზმი. ველი. ველების მაგალითები. უმარტივესი თვისებები. რაციონალური რიცხვების ველის მინიმალურობა.

14. ნატურალური რიცხვები (ნატურალური რიცხვების აქსიომატური თეორიის საფუძვლები). თეორემები „ყველაზე დიდი“ და „უმცირესი“ ნატურალური რიცხვების შესახებ.

15. პოლინომები ველზე. თეორემა ნაშთით გაყოფის შესახებ. ორი მრავალწევრის უდიდესი საერთო გამყოფი, მისი თვისებები და პოვნის მეთოდები.

16. ორობითი ურთიერთობები. ეკვივალენტურობის მიმართება. ეკვივალენტობის კლასები, ფაქტორების ნაკრები.

17. მათემატიკური ინდუქცია ნატურალური და მთელი რიცხვებისთვის.

18. შედარებით მარტივი რიცხვების თვისებები. მთელი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი, მისი თვისებები და პოვნის მეთოდები.

19. კომპლექსური რიცხვების ველი, რიცხვითი ველები. რთული რიცხვის გეომეტრიული გამოსახულება და ტრიგონომეტრიული ფორმა.

20. თეორემა ნაშთით გაყოფის შესახებ მთელი რიცხვებისთვის. მთელი რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი, მისი თვისებები და პოვნის მეთოდები.

21. ვექტორული სივრცის წრფივი ოპერატორები. წრფივი ოპერატორის ბირთვი და გამოსახულება. წრფივი ოპერატორების ალგებრა ვექტორულ სივრცეში. წრფივი ოპერატორის საკუთარი მნიშვნელობები და საკუთრივვექტორები.

22. სიბრტყის აფინური გარდაქმნები, მათი თვისებები და დაზუსტების მეთოდები. სიბრტყისა და მისი ქვეჯგუფების აფინური გარდაქმნების ჯგუფი.

23. მრავალკუთხედები. მრავალკუთხედის ფართობი. არსებობისა და უნიკალურობის თეორემა.

24. მრავალკუთხედების თანაბარი ზომა და თანაბარი შემადგენლობა.

25. ლობაჩევსკის გეომეტრია. ლობაჩევსკის გეომეტრიის აქსიომების სისტემის თანმიმდევრულობა.

26. პარალელიზმის ცნება ლობაჩევსკის გეომეტრიაში. ხაზების შედარებითი პოზიცია ლობაჩევსკის თვითმფრინავზე.

27. მოძრაობის ფორმულები. თვითმფრინავის მოძრაობების კლასიფიკაცია. აპლიკაციები პრობლემის გადასაჭრელად.

28. ორი სიბრტყის, სწორი ხაზის და სიბრტყის ფარდობითი პოზიცია სივრცეში (ანალიტიკურ წარმოდგენაში).

29. პროექციული გარდაქმნები. არსებობისა და უნიკალურობის თეორემა. პროექციული გარდაქმნების ფორმულები.

30. ვექტორების სკალარული, ვექტორული და შერეული ნაწარმოებები, მათი გამოყენება ამოცანის ამოხსნაში.

31. სამგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცის ვეილის აქსიომური სისტემა და მისი შინაარსის თანმიმდევრულობა.

32. სიბრტყის მოძრაობები და მათი თვისებები. თვითმფრინავის მოძრაობათა ჯგუფი. არსებობის თეორემა და მოძრაობის უნიკალურობა.

33. პროექციული სიბრტყე და მისი მოდელები. პროექციული გარდაქმნები, მათი თვისებები. პროექციული გარდაქმნების ჯგუფი.

34. სიბრტყის მსგავსების გარდაქმნები, მათი თვისებები. სიბრტყის მსგავსების გარდაქმნების ჯგუფი და მისი ქვეჯგუფები.

35. გლუვი ზედაპირები. ზედაპირის პირველი კვადრატული ფორმა და მისი გამოყენება.

36. პარალელური დიზაინი და მისი თვისებები. ბრტყელი და სივრცითი ფიგურების გამოსახულება პარალელურ პროექციაში.

37. გლუვი ხაზები. სივრცითი მრუდის გამრუდება და მისი გამოთვლა.

38. ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა, როგორც კონუსური მონაკვეთები. კანონიკური განტოლებები.

39. ელიფსის, ჰიპერბოლისა და პარაბოლის რეჟისორული თვისება. პოლარული განტოლებები.

40. წრფეზე ოთხი წერტილის ორმაგი შეფარდება, მისი თვისებები და გამოთვლა. წერტილთა წყვილის ჰარმონიული გამოყოფა. სრული ოთხკუთხედი და მისი თვისებები. განაცხადი სამშენებლო პრობლემების გადასაჭრელად.

41. პასკალისა და ბრიანშონის თეორემები. პოლუსები და პოლარები.

კითხვების ნიმუში მათემატიკური ანალიზის შესახებ