8.2. सामग्रियों की मजबूती में प्रयुक्त बुनियादी नियम

स्थैतिक संबंध. इन्हें निम्नलिखित संतुलन समीकरणों के रूप में लिखा गया है।

हुक का नियम ( 1678): बल जितना अधिक होगा, विरूपण उतना ही अधिक होगा, और, इसके अलावा, यह बल के समानुपाती होता है. भौतिक रूप से, इसका मतलब है कि सभी शरीर स्प्रिंग्स हैं, लेकिन बड़ी कठोरता के साथ। जब किसी किरण को अनुदैर्ध्य बल द्वारा आसानी से खींचा जाता है एन= एफइस कानून को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यहाँ
अनुदैर्ध्य बल, एल- बीम की लंबाई, ए- इसका पार-अनुभागीय क्षेत्र, इ- पहली तरह की लोच का गुणांक ( यंग मापांक).

तनाव और तनाव के सूत्रों को ध्यान में रखते हुए, हुक का नियम इस प्रकार लिखा गया है:
.

स्पर्शरेखा तनाव और कतरनी कोण के बीच प्रयोगों में एक समान संबंध देखा गया है:

.

जी बुलायाअपरूपण - मापांक , कम अक्सर - दूसरे प्रकार का लोचदार मापांक। किसी भी कानून की तरह, हुक के कानून की भी प्रयोज्यता की एक सीमा होती है। वोल्टेज
, जहां तक ​​हुक का नियम वैध है, कहलाता है आनुपातिकता की सीमा(यह सामग्रियों की मजबूती में सबसे महत्वपूर्ण विशेषता है)।

आइए निर्भरता को चित्रित करें  से  ग्राफ़िक रूप से (चित्र 8.1)। इस चित्र को कहा जाता है खिंचाव आरेख . बिंदु B के बाद (अर्थात् at
) यह निर्भरता रैखिक होना बंद कर देती है।

पर
इसलिए, उतारने के बाद शरीर में अवशिष्ट विकृतियाँ दिखाई देती हैं बुलाया इलास्टिक लिमिट .

जब वोल्टेज मान σ = σ t तक पहुँच जाता है, तो कई धातुएँ एक गुण प्रदर्शित करना शुरू कर देती हैं जिसे कहा जाता है द्रवता. इसका मतलब यह है कि निरंतर भार के तहत भी, सामग्री ख़राब होती रहती है (अर्थात यह तरल की तरह व्यवहार करती है)। ग्राफिक रूप से, इसका मतलब है कि आरेख एब्सिस्सा (सेक्शन डीएल) के समानांतर है। वह वोल्टेज σ t जिस पर सामग्री प्रवाहित होती है, कहलाती है नम्य होने की क्षमता .

कुछ सामग्रियां (सेंट 3 - निर्माण स्टील) थोड़े प्रवाह के बाद फिर से प्रतिरोध करना शुरू कर देती हैं। सामग्री का प्रतिरोध एक निश्चित अधिकतम मान σ pr तक जारी रहता है, फिर क्रमिक विनाश शुरू हो जाता है। मात्रा σ pr कहलाती है तन्यता ताकत (स्टील का पर्यायवाची: तन्य शक्ति, कंक्रीट के लिए - घन या प्रिज्मीय शक्ति)। निम्नलिखित पदनामों का भी उपयोग किया जाता है:

=आर बी

कतरनी तनाव और कतरनी के बीच प्रयोगों में एक समान संबंध देखा गया है।

3) डुहामेल-न्यूमैन नियम (रैखिक तापमान विस्तार):

तापमान अंतर की उपस्थिति में, पिंड अपना आकार बदलते हैं, और इस तापमान अंतर के सीधे अनुपात में।

तापमान में अंतर हो
. तब यह कानून इस प्रकार दिखता है:

यहाँ α - रैखिक तापीय विस्तार का गुणांक, एल - रॉड की लंबाई, Δ एल- यह लम्बा हो रहा है।

4) रेंगने का नियम .

शोध से पता चला है कि सभी सामग्रियां छोटे क्षेत्रों में अत्यधिक विषम हैं। स्टील की योजनाबद्ध संरचना चित्र 8.2 में दिखाई गई है।

कुछ घटकों में तरल के गुण होते हैं, इसलिए लोड के तहत कई सामग्रियों को समय के साथ अतिरिक्त बढ़ाव प्राप्त होता है
(चित्र 8.3.) (धातुएं उच्च तापमान पर, कंक्रीट, लकड़ी, प्लास्टिक - सामान्य तापमान पर)। इस घटना को कहा जाता है रेंगनासामग्री।

तरल पदार्थ के लिए नियम है: बल जितना अधिक होगा, तरल में पिंड की गति की गति उतनी ही अधिक होगी. यदि यह संबंध रैखिक है (अर्थात् बल गति के समानुपाती है), तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

इ
यदि हम सापेक्ष बलों और सापेक्ष बढ़ावों की ओर बढ़ते हैं, तो हमें मिलता है

यहाँ सूचकांक " करोड़ "इसका मतलब है कि बढ़ाव का वह हिस्सा जो सामग्री के रेंगने के कारण होता है, माना जाता है। यांत्रिक विशेषताएं श्यानता गुणांक कहलाता है।

ऊर्जा संरक्षण का नियम.

एक भरी हुई किरण पर विचार करें

आइए हम एक बिंदु को हिलाने की अवधारणा का परिचय दें, उदाहरण के लिए,

- बिंदु बी की ऊर्ध्वाधर गति;

- बिंदु C का क्षैतिज विस्थापन.

पॉवर्स
कुछ काम करते समय यू. यह मानते हुए कि बल
धीरे-धीरे बढ़ना शुरू होता है और यह मानते हुए कि वे विस्थापन के अनुपात में बढ़ते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

.

संरक्षण कानून के अनुसार: कोई भी काम गायब नहीं होता, वह दूसरे काम करने में खर्च हो जाता है या दूसरी ऊर्जा में बदल जाता है (ऊर्जा- यह वह कार्य है जो शरीर कर सकता है।)

बलों का कार्य
, हमारे शरीर में उत्पन्न होने वाली लोचदार शक्तियों के प्रतिरोध पर काबू पाने पर खर्च किया जाता है। इस कार्य की गणना करने के लिए, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि शरीर को छोटे लोचदार कणों से बना माना जा सकता है। आइए उनमें से एक पर विचार करें:

यह पड़ोसी कणों से तनाव के अधीन है . परिणाम स्वरूप तनाव होगा

प्रभाव में कण लंबा हो जाएगा. परिभाषा के अनुसार, बढ़ाव प्रति इकाई लंबाई में बढ़ाव है। तब:

आइए काम का हिसाब लगाएं डीडब्ल्यू, जो बल करता है डीएन (यहां यह भी ध्यान में रखा गया है कि बल डीएनधीरे-धीरे बढ़ने लगते हैं और वे आंदोलनों के आनुपातिक रूप से बढ़ते हैं):

पूरे शरीर के लिए हमें मिलता है:

.

काम डब्ल्यूजो प्रतिबद्ध था , बुलाया लोचदार विरूपण ऊर्जा.

ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:

6)सिद्धांत संभावित हलचलें .

यह ऊर्जा संरक्षण का नियम लिखने के विकल्पों में से एक है।

बलों को किरण पर कार्य करने दें एफ 1 , एफ 2 , … . वे शरीर में बिंदुओं को गति करने का कारण बनते हैं
और वोल्टेज
. चलिए शव दे दीजिए अतिरिक्त छोटे संभावित आंदोलन
. यांत्रिकी में, प्रपत्र का एक अंकन
वाक्यांश का अर्थ है "मात्रा का संभावित मूल्य।" ए" ये संभावित हलचलें शरीर का कारण बनेंगी अतिरिक्त संभावित विकृतियाँ
. वे अतिरिक्त बाहरी ताकतों और तनावों की उपस्थिति को जन्म देंगे
, δ.

आइए हम अतिरिक्त संभावित छोटे विस्थापनों पर बाहरी बलों के कार्य की गणना करें:

यहाँ
- उन बिंदुओं की अतिरिक्त हलचलें जिन पर बल लगाए जाते हैं एफ 1 , एफ 2 , …

एक क्रॉस सेक्शन वाले एक छोटे तत्व पर फिर से विचार करें दा और लंबाई dz (चित्र 8.5 और 8.6 देखें)। परिभाषा के अनुसार, अतिरिक्त बढ़ाव  dzइस तत्व की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

dz=  dz.

तत्व का तन्य बल होगा:

डीएन = (+δ) दा ≈  दा..

एक छोटे तत्व के लिए अतिरिक्त विस्थापन पर आंतरिक बलों के कार्य की गणना निम्नानुसार की जाती है:

डीडब्ल्यू = डीएन  डीजेड = दा डीजेड =  डीवी

साथ
सभी छोटे तत्वों की विरूपण ऊर्जा का योग करने पर हमें कुल विरूपण ऊर्जा प्राप्त होती है:

ऊर्जा संरक्षण का नियम डब्ल्यू = यूदेता है:

.

इस अनुपात को कहा जाता है संभावित आंदोलनों का सिद्धांत(इसे भी कहा जाता है आभासी आंदोलनों का सिद्धांत)।इसी प्रकार, हम उस मामले पर विचार कर सकते हैं जब स्पर्शरेखा तनाव भी कार्य करता है। तब हम उसे विरूपण ऊर्जा तक प्राप्त कर सकते हैं डब्ल्यूनिम्नलिखित शब्द जोड़ा जाएगा:

यहां  कतरनी तनाव है,  छोटे तत्व का विस्थापन है। तब संभावित आंदोलनों का सिद्धांतरूप लेगा:

ऊर्जा संरक्षण के नियम को लिखने के पिछले प्रारूप के विपरीत, यहां कोई धारणा नहीं है कि बल धीरे-धीरे बढ़ने लगते हैं, और वे विस्थापन के अनुपात में बढ़ते हैं

7) पॉइसन प्रभाव.

आइए नमूना बढ़ाव के पैटर्न पर विचार करें:

किसी शरीर के तत्व को बढ़ाव की दिशा में छोटा करने की घटना को कहा जाता है पॉइसन प्रभाव.

आइए हम अनुदैर्ध्य सापेक्ष विरूपण ज्ञात करें।

अनुप्रस्थ सापेक्ष विरूपण होगा:

पिज़ोन अनुपातमात्रा कहलाती है:

आइसोट्रोपिक सामग्रियों (स्टील, कच्चा लोहा, कंक्रीट) के लिए पॉइसन का अनुपात

इसका मतलब है कि अनुप्रस्थ दिशा में विकृति कमअनुदैर्ध्य

टिप्पणी : आधुनिक प्रौद्योगिकियां पॉइसन अनुपात >1 के साथ मिश्रित सामग्री बना सकती हैं, यानी, अनुप्रस्थ विरूपण अनुदैर्ध्य से अधिक होगा। उदाहरण के लिए, यह कम कोण पर कठोर रेशों से प्रबलित सामग्री का मामला है
<<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине
, अर्थात। कम , पॉइसन का अनुपात जितना बड़ा होगा।

चित्र.8.8. चित्र.8.9

(चित्र 8.9.) में दिखाई गई सामग्री और भी अधिक आश्चर्यजनक है, और इस तरह के सुदृढीकरण के लिए एक विरोधाभासी परिणाम है - अनुदैर्ध्य बढ़ाव से अनुप्रस्थ दिशा में शरीर के आकार में वृद्धि होती है।

8) सामान्यीकृत हुक का नियम.

आइए एक ऐसे तत्व पर विचार करें जो अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ दिशाओं में फैला है। आइए इन दिशाओं में होने वाली विकृति का पता लगाएं।

आइए विरूपण की गणना करें क्रिया से उत्पन्न होना :

आइए क्रिया से होने वाली विकृति पर विचार करें , जो पॉइसन प्रभाव के परिणामस्वरूप उत्पन्न होता है:

समग्र विकृति होगी:

यदि वैध है और , फिर x अक्ष की दिशा में एक और छोटाकरण जोड़ा जाएगा
.

इस तरह:

वैसे ही:

ये रिश्ते कहलाते हैं सामान्यीकृत हुक का नियम.

यह दिलचस्प है कि हुक के नियम को लिखते समय, कतरनी तनाव से बढ़ाव तनाव की स्वतंत्रता (कतरनी तनाव से स्वतंत्रता के बारे में, जो एक ही बात है) और इसके विपरीत एक धारणा बनाई जाती है। प्रयोग इन धारणाओं की अच्छी तरह पुष्टि करते हैं। आगे देखते हुए, हम ध्यान देते हैं कि ताकत, इसके विपरीत, दृढ़ता से स्पर्शरेखीय और सामान्य तनावों के संयोजन पर निर्भर करती है।

टिप्पणी: उपरोक्त कानूनों और मान्यताओं की पुष्टि कई प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष प्रयोगों से होती है, लेकिन, अन्य सभी कानूनों की तरह, उनकी प्रयोज्यता का दायरा सीमित है।

जैसा कि आप जानते हैं, भौतिकी प्रकृति के सभी नियमों का अध्ययन करती है: प्राकृतिक विज्ञान के सबसे सरल से लेकर सबसे सामान्य सिद्धांतों तक। यहां तक ​​कि उन क्षेत्रों में भी जहां ऐसा प्रतीत होता है कि भौतिकी समझने में सक्षम नहीं है, यह अभी भी प्राथमिक भूमिका निभाता है, और हर सबसे छोटा कानून, हर सिद्धांत - कुछ भी इससे बच नहीं पाता है।

के साथ संपर्क में

यह भौतिकी ही है जो नींव का आधार है; यही वह है जो सभी विज्ञानों के मूल में निहित है।

भौतिक विज्ञान सभी निकायों की परस्पर क्रिया का अध्ययन करता है,दोनों विरोधाभासी रूप से छोटे और अविश्वसनीय रूप से बड़े। आधुनिक भौतिकी सक्रिय रूप से न केवल छोटे, बल्कि काल्पनिक पिंडों का अध्ययन कर रही है और यहां तक ​​कि यह ब्रह्मांड के सार पर भी प्रकाश डालती है।

भौतिकी को खंडों में विभाजित किया गया है,यह न केवल विज्ञान और उसकी समझ को सरल बनाता है, बल्कि अध्ययन पद्धति को भी सरल बनाता है। यांत्रिकी पिंडों की गति और गतिमान पिंडों की परस्पर क्रिया से संबंधित है, थर्मोडायनामिक्स तापीय प्रक्रियाओं से संबंधित है, इलेक्ट्रोडायनामिक्स विद्युत प्रक्रियाओं से संबंधित है।

यांत्रिकी को विरूपण का अध्ययन क्यों करना चाहिए?

संपीड़न या तनाव के बारे में बात करते समय, आपको अपने आप से यह प्रश्न पूछना चाहिए: भौतिकी की किस शाखा को इस प्रक्रिया का अध्ययन करना चाहिए? मजबूत विकृतियों के साथ, गर्मी जारी की जा सकती है, शायद थर्मोडायनामिक्स को इन प्रक्रियाओं से निपटना चाहिए? कभी-कभी जब तरल पदार्थ को दबाया जाता है तो वह उबलने लगता है और जब गैसों को दबाया जाता है तो तरल पदार्थ बनता है? तो, क्या हाइड्रोडायनामिक्स को विरूपण को समझना चाहिए? या आणविक गतिज सिद्धांत?

यह सब निर्भर करता है विरूपण के बल पर, उसकी डिग्री पर।यदि विकृत माध्यम (संपीड़ित या फैला हुआ पदार्थ) अनुमति देता है, और संपीड़न छोटा है, तो इस प्रक्रिया को दूसरों के सापेक्ष शरीर के कुछ बिंदुओं की गति के रूप में मानना ​​​​समझ में आता है।

और चूंकि प्रश्न विशुद्ध रूप से संबंधित है, इसका मतलब है कि यांत्रिकी इससे निपटेंगे।

हुक का नियम और उसके पूरा होने की शर्त

1660 में, प्रसिद्ध अंग्रेजी वैज्ञानिक रॉबर्ट हुक ने एक ऐसी घटना की खोज की जिसका उपयोग यांत्रिक रूप से विरूपण की प्रक्रिया का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।

यह समझने के लिए कि हुक का नियम किन परिस्थितियों में संतुष्ट होता है, आइए खुद को दो मापदंडों तक सीमित रखें:

• बुधवार;
• बल।

ऐसे मीडिया हैं (उदाहरण के लिए, गैसें, तरल पदार्थ, विशेष रूप से ठोस अवस्था के करीब चिपचिपे तरल पदार्थ या, इसके विपरीत, बहुत तरल तरल पदार्थ) जिनके लिए यांत्रिक रूप से प्रक्रिया का वर्णन करना असंभव है। इसके विपरीत, ऐसे वातावरण होते हैं जिनमें, पर्याप्त बड़ी ताकतों के साथ, यांत्रिकी "काम करना" बंद कर देते हैं।

महत्वपूर्ण!इस प्रश्न का: "हुक का नियम किन परिस्थितियों में सत्य है?", एक निश्चित उत्तर दिया जा सकता है: "छोटी विकृतियों पर।"

हुक का नियम, परिभाषा: किसी पिंड में होने वाली विकृति सीधे उस बल के समानुपाती होती है जो उस विकृति का कारण बनता है।

स्वाभाविक रूप से, इस परिभाषा का तात्पर्य यह है कि:

• संपीड़न या खिंचाव छोटा है;
• लोचदार वस्तु;
• इसमें एक ऐसी सामग्री होती है जिसमें संपीड़न या तनाव के परिणामस्वरूप कोई गैर-रैखिक प्रक्रिया नहीं होती है।

गणितीय रूप में हुक का नियम

हुक का सूत्रीकरण, जिसे हमने ऊपर उद्धृत किया है, इसे निम्नलिखित रूप में लिखना संभव बनाता है:

जहां संपीड़न या खिंचाव के कारण शरीर की लंबाई में परिवर्तन होता है, एफ शरीर पर लगाया गया बल है और विरूपण (लोचदार बल) का कारण बनता है, के लोच गुणांक है, जिसे एन/एम में मापा जाता है।

यह याद रखना चाहिए कि हुक का नियम केवल छोटे हिस्सों के लिए मान्य।

हम यह भी ध्यान देते हैं कि खींचने और दबाने पर इसका स्वरूप एक जैसा होता है। यह मानते हुए कि बल एक सदिश राशि है और इसकी एक दिशा होती है, संपीड़न के मामले में, निम्नलिखित सूत्र अधिक सटीक होगा:

लेकिन फिर, यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि आप जिस अक्ष के सापेक्ष माप कर रहे हैं वह कहाँ निर्देशित होगा।

संपीड़न और विस्तार के बीच मूलभूत अंतर क्या है? यदि यह महत्वहीन है तो कुछ भी नहीं।

प्रयोज्यता की डिग्री को इस प्रकार माना जा सकता है:

आइए ग्राफ़ पर ध्यान दें। जैसा कि हम देख सकते हैं, छोटे विस्तार (निर्देशांक की पहली तिमाही) के साथ, लंबे समय तक निर्देशांक के साथ बल का एक रैखिक संबंध (लाल रेखा) होता है, लेकिन फिर वास्तविक संबंध (बिंदीदार रेखा) गैर-रैखिक हो जाता है, और कानून सच होना बंद हो जाता है. व्यवहार में, यह इतने मजबूत खिंचाव से परिलक्षित होता है कि स्प्रिंग अपनी मूल स्थिति में लौटना बंद कर देता है और अपने गुणों को खो देता है। और भी अधिक खिंचाव के साथ एक फ्रैक्चर होता है और संरचना ढह जाती हैसामग्री।

छोटे संपीड़न (निर्देशांक की तीसरी तिमाही) के साथ, लंबे समय तक समन्वय के साथ बल का एक रैखिक संबंध (लाल रेखा) भी होता है, लेकिन फिर वास्तविक संबंध (बिंदीदार रेखा) गैर-रैखिक हो जाता है, और सब कुछ फिर से काम करना बंद कर देता है। व्यवहार में, इसका परिणाम इतना मजबूत संपीड़न होता है गर्मी निकलने लगती हैऔर वसंत अपने गुण खो देता है। और भी अधिक संपीड़न के साथ, स्प्रिंग की कुंडलियाँ "एक साथ चिपक जाती हैं" और यह लंबवत रूप से विकृत होने लगती है और फिर पूरी तरह से पिघल जाती है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, कानून को व्यक्त करने वाला सूत्र आपको शरीर की लंबाई में परिवर्तन को जानकर बल खोजने की अनुमति देता है, या, लोचदार बल को जानकर, लंबाई में परिवर्तन को मापता है:

इसके अलावा, कुछ मामलों में, आप लोच गुणांक पा सकते हैं। यह कैसे किया जाता है यह समझने के लिए, एक उदाहरण कार्य पर विचार करें:

एक डायनेमोमीटर स्प्रिंग से जुड़ा होता है। इसे 20 का बल लगाकर खींचा गया, जिससे यह 1 मीटर लंबा हो गया। फिर उन्होंने उसे छोड़ दिया, कंपन बंद होने तक इंतजार किया और वह अपनी सामान्य स्थिति में लौट आई। सामान्य स्थिति में इसकी लंबाई 87.5 सेंटीमीटर होती थी. आइए यह पता लगाने का प्रयास करें कि स्प्रिंग किस सामग्री से बना है।

आइए स्प्रिंग विरूपण का संख्यात्मक मान ज्ञात करें:

यहां से हम गुणांक का मान व्यक्त कर सकते हैं:

तालिका को देखकर, हम पा सकते हैं कि यह संकेतक स्प्रिंग स्टील से मेल खाता है।

लोच गुणांक के साथ परेशानी

भौतिकी, जैसा कि हम जानते हैं, एक बहुत ही सटीक विज्ञान है; इसके अलावा, यह इतना सटीक है कि इसने त्रुटियों को मापने वाले संपूर्ण व्यावहारिक विज्ञान का निर्माण किया है। अटूट परिशुद्धता का एक मॉडल, वह अनाड़ी होने का जोखिम नहीं उठा सकती।

अभ्यास से पता चलता है कि हमने जिस रैखिक निर्भरता पर विचार किया है वह इससे अधिक कुछ नहीं है पतली और तन्य छड़ के लिए हुक का नियम।केवल एक अपवाद के रूप में इसका उपयोग स्प्रिंग्स के लिए किया जा सकता है, लेकिन यह भी अवांछनीय है।

यह पता चला है कि गुणांक k एक परिवर्तनीय मान है जो न केवल इस बात पर निर्भर करता है कि शरीर किस सामग्री से बना है, बल्कि व्यास और उसके रैखिक आयामों पर भी निर्भर करता है।

इस कारण से, हमारे निष्कर्षों को स्पष्टीकरण और विकास की आवश्यकता है, क्योंकि अन्यथा, सूत्र:

इसे तीन चरों के बीच निर्भरता से अधिक कुछ नहीं कहा जा सकता।

यंग मापांक

आइए लोच गुणांक जानने का प्रयास करें। यह पैरामीटर, जैसा कि हमें पता चला, तीन मात्राओं पर निर्भर करता है:

• सामग्री (जो हमें काफी उपयुक्त लगती है);
• लंबाई एल (जो इसकी निर्भरता को इंगित करता है);
• क्षेत्र एस.

महत्वपूर्ण!इस प्रकार, यदि हम किसी तरह गुणांक से लंबाई एल और क्षेत्र एस को "अलग" करने का प्रबंधन करते हैं, तो हमें एक गुणांक प्राप्त होगा जो पूरी तरह से सामग्री पर निर्भर करता है।

हम क्या जानते हैं:

• शरीर का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र जितना बड़ा होगा, गुणांक k उतना ही अधिक होगा, और निर्भरता रैखिक होगी;
• शरीर की लंबाई जितनी अधिक होगी, गुणांक k उतना ही कम होगा, और निर्भरता व्युत्क्रमानुपाती होगी।

इसका मतलब है कि हम लोच गुणांक को इस प्रकार लिख सकते हैं:

जहां ई एक नया गुणांक है, जो अब पूरी तरह से सामग्री के प्रकार पर निर्भर करता है।

आइए हम "सापेक्ष बढ़ाव" की अवधारणा का परिचय दें:

. 

निष्कर्ष

आइए हम तनाव और संपीड़न के लिए हुक का नियम बनाएं: छोटे संपीड़न के लिए, सामान्य तनाव सीधे बढ़ाव के समानुपाती होता है।

गुणांक E को यंग मापांक कहा जाता है और यह पूरी तरह से सामग्री पर निर्भर करता है।

अवलोकनों से पता चलता है कि अधिकांश लोचदार निकायों, जैसे स्टील, कांस्य, लकड़ी, आदि के लिए, विरूपण का परिमाण अभिनय बलों के परिमाण के समानुपाती होता है। इस गुण को समझाने वाला एक विशिष्ट उदाहरण स्प्रिंग बैलेंस है, जिसमें स्प्रिंग का बढ़ाव अभिनय बल के समानुपाती होता है। इसे इस तथ्य से देखा जा सकता है कि ऐसे पैमानों का विभाजन पैमाना एक समान होता है। लोचदार निकायों की एक सामान्य संपत्ति के रूप में, बल और विरूपण के बीच आनुपातिकता का नियम पहली बार 1660 में आर. हुक द्वारा तैयार किया गया था और 1678 में "डी पोटेंशिया रेस्टिटुटिवा" कार्य में प्रकाशित हुआ था। इस कानून के आधुनिक सूत्रीकरण में, बल और उनके अनुप्रयोग के बिंदुओं की गति पर विचार नहीं किया जाता है, बल्कि तनाव और विरूपण पर विचार किया जाता है।

इस प्रकार, शुद्ध तनाव के लिए यह माना जाता है:

यहां खिंचाव की दिशा में लिए गए किसी भी खंड का सापेक्ष बढ़ाव दिया गया है। उदाहरण के लिए, यदि चित्र में पसलियां दिखाई गई हैं। 11 लोड लगाने से पहले प्रिज्म ए, बी और सी थे, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, और विरूपण के बाद वे क्रमशः होंगे, फिर।

स्थिरांक E, जिसमें तनाव का आयाम होता है, को लोचदार मापांक या यंग मापांक कहा जाता है।

अभिनय तनाव ओ के समानांतर तत्वों का तनाव लंबवत तत्वों के संकुचन के साथ होता है, यानी, रॉड के अनुप्रस्थ आयामों में कमी (ड्राइंग में आयाम)। सापेक्ष अनुप्रस्थ तनाव

एक ऋणात्मक मान होगा. यह पता चलता है कि एक लोचदार शरीर में अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ विकृतियाँ एक स्थिर अनुपात से संबंधित होती हैं:

प्रत्येक सामग्री के लिए स्थिर आयाम रहित मात्रा v को पार्श्व संपीड़न अनुपात या पॉइसन अनुपात कहा जाता है। पॉइसन ने स्वयं, सैद्धांतिक विचारों से आगे बढ़ते हुए, जो बाद में गलत निकले, माना कि सभी सामग्रियों के लिए (1829)। वास्तव में, इस गुणांक के मान भिन्न-भिन्न हैं। हाँ, स्टील के लिए

अंतिम सूत्र में व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:

हुक का नियम कोई सटीक कानून नहीं है। स्टील के लिए, बीच आनुपातिकता से विचलन महत्वहीन हैं, जबकि कच्चा लोहा या नक्काशी स्पष्ट रूप से इस कानून का पालन नहीं करती है। उनके लिए, और केवल सबसे मोटे सन्निकटन में एक रैखिक फ़ंक्शन द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

लंबे समय तक, सामग्रियों की ताकत का संबंध केवल उन सामग्रियों से था जो हुक के नियम का पालन करती हैं, और अन्य निकायों के लिए सामग्रियों की ताकत के सूत्रों का अनुप्रयोग केवल बड़े रिजर्व के साथ ही किया जा सकता था। वर्तमान में, गैर-रैखिक लोच कानूनों का अध्ययन किया जाने लगा है और विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए उन्हें लागू किया जा रहा है।

हुक का नियमइसे आमतौर पर तनाव घटकों और तनाव घटकों के बीच रैखिक संबंध कहा जाता है।

आइए एक प्रारंभिक आयताकार समांतर चतुर्भुज लें, जिसके फलक निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं, जो सामान्य तनाव से भरा हुआ है σ एक्स, दो विपरीत फलकों पर समान रूप से वितरित (चित्र 1)। जिसमें σय = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.

आनुपातिकता की सीमा तक सापेक्ष बढ़ाव सूत्र द्वारा दिया जाता है

कहाँ इ- लोच का तन्य मापांक। स्टील के लिए इ = 2*10 5 एमपीएइसलिए, विकृतियाँ बहुत छोटी होती हैं और इन्हें प्रतिशत या 1 * 10 5 (स्ट्रेन गेज उपकरणों में जो विकृतियों को मापते हैं) के रूप में मापा जाता है।

किसी तत्व को अक्ष दिशा में विस्तारित करना एक्सअनुप्रस्थ दिशा में इसके संकुचन के साथ, विरूपण घटकों द्वारा निर्धारित किया जाता है

कहाँ μ - एक स्थिरांक जिसे पार्श्व संपीड़न अनुपात या पॉइसन अनुपात कहा जाता है। स्टील के लिए μ आमतौर पर 0.25-0.3 माना जाता है।

यदि प्रश्न में तत्व सामान्य तनाव के साथ एक साथ लोड किया गया है σ एक्स, σय, σ z, समान रूप से इसके चेहरों पर वितरित किया जाता है, फिर विकृतियाँ जोड़ी जाती हैं

तीनों तनावों में से प्रत्येक के कारण होने वाले विरूपण घटकों को सुपरइम्पोज़ करके, हम संबंध प्राप्त करते हैं

इन संबंधों की पुष्टि अनेक प्रयोगों से होती है। लागू ओवरले विधिया सुपरपोजीशनकई बलों के कारण होने वाले कुल तनाव और तनाव का पता लगाना तब तक वैध है जब तक तनाव और तनाव छोटे होते हैं और लागू बलों पर रैखिक रूप से निर्भर होते हैं। ऐसे मामलों में, हम विकृत शरीर के आयामों में छोटे बदलावों और बाहरी बलों के आवेदन के बिंदुओं के छोटे आंदोलनों की उपेक्षा करते हैं और अपनी गणना को शरीर के प्रारंभिक आयामों और प्रारंभिक आकार पर आधारित करते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विस्थापन की लघुता का मतलब यह नहीं है कि बलों और विकृतियों के बीच संबंध रैखिक हैं। तो, उदाहरण के लिए, एक संपीड़ित बल में क्यूरॉड को कतरनी बल के साथ अतिरिक्त रूप से लोड किया गया आर, छोटे विक्षेपण के साथ भी δ एक अतिरिक्त मुद्दा उठता है एम = Qδ, जो समस्या को अरेखीय बनाता है। ऐसे मामलों में, कुल विक्षेपण बलों के रैखिक कार्य नहीं होते हैं और इन्हें सरल सुपरपोजिशन द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

यह प्रयोगात्मक रूप से स्थापित किया गया है कि यदि कतरनी तनाव तत्व के सभी चेहरों पर कार्य करता है, तो संबंधित कोण की विकृति केवल कतरनी तनाव के संबंधित घटकों पर निर्भर करती है।

स्थिर जीलोच का अपरूपण मापांक या अपरूपण मापांक कहा जाता है।

किसी तत्व पर तीन सामान्य और तीन स्पर्शरेखा तनाव घटकों की कार्रवाई के कारण विरूपण का सामान्य मामला सुपरपोजिशन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है: संबंधों (5.2 बी) द्वारा निर्धारित तीन कतरनी विकृतियां, अभिव्यक्तियों द्वारा निर्धारित तीन रैखिक विकृतियों पर आरोपित होती हैं ( 5.2ए)। समीकरण (5.2ए) और (5.2बी) तनाव और तनाव के घटकों के बीच संबंध निर्धारित करते हैं और कहलाते हैं सामान्यीकृत हुक का नियम. आइए अब हम दिखाते हैं कि कतरनी मापांक जीलोच के तन्य मापांक के रूप में व्यक्त किया गया इऔर पॉइसन का अनुपात μ . ऐसा करने के लिए, विशेष मामले पर विचार करें जब σ एक्स = σ , σय = -σ और σ z = 0.

आइए तत्व को काटें ए बी सी डीअक्ष के समानांतर समतल जेडऔर अक्षों से 45° के कोण पर झुका हुआ है एक्सऔर पर(चित्र 3)। तत्व 0 की संतुलन स्थितियों से निम्नानुसार है bс, साधारण तनाव σ वीतत्व के सभी चेहरों पर ए बी सी डीशून्य के बराबर हैं, और अपरूपण प्रतिबल बराबर हैं

यह तनाव की स्थिति कहलाती है शुद्ध कतरनी. समीकरण (5.2ए) से यह निष्कर्ष निकलता है

अर्थात् क्षैतिज तत्व का विस्तार 0 है सीऊर्ध्वाधर तत्व 0 को छोटा करने के बराबर बी: εय = -ε एक्स.

चेहरों के बीच का कोण अबऔर ईसा पूर्वपरिवर्तन, और संबंधित कतरनी तनाव मान γ त्रिभुज 0 से पाया जा सकता है bс:

यह इस प्रकार है कि

किसी ठोस पिंड पर बाहरी बलों की कार्रवाई से उसके आयतन के बिंदुओं पर तनाव और विकृति उत्पन्न होती है। इस मामले में, एक बिंदु पर तनावग्रस्त स्थिति, इस बिंदु से गुजरने वाले विभिन्न क्षेत्रों पर तनाव के बीच संबंध, स्थैतिक समीकरणों द्वारा निर्धारित होते हैं और सामग्री के भौतिक गुणों पर निर्भर नहीं होते हैं। विकृत अवस्था, विस्थापन और विकृति के बीच संबंध, ज्यामितीय या गतिक विचारों का उपयोग करके स्थापित किया जाता है और यह सामग्री के गुणों पर भी निर्भर नहीं करता है। तनाव और तनाव के बीच संबंध स्थापित करने के लिए, सामग्री के वास्तविक गुणों और लोडिंग स्थितियों को ध्यान में रखना आवश्यक है। प्रयोगात्मक डेटा के आधार पर तनाव और तनाव के बीच संबंधों का वर्णन करने वाले गणितीय मॉडल विकसित किए गए हैं। इन मॉडलों को सामग्री के वास्तविक गुणों और लोडिंग स्थितियों को पर्याप्त सटीकता के साथ प्रतिबिंबित करना चाहिए।

संरचनात्मक सामग्रियों के लिए सबसे आम मॉडल लोच और प्लास्टिसिटी हैं। लोच बाहरी भार के प्रभाव में आकार और आकार बदलने और भार हटा दिए जाने पर अपने मूल विन्यास को बहाल करने का शरीर का गुण है। गणितीय रूप से, लोच की संपत्ति तनाव टेंसर और तनाव टेंसर के घटकों के बीच एक-से-एक कार्यात्मक संबंध की स्थापना में व्यक्त की जाती है। लोच का गुण न केवल सामग्रियों के गुणों को दर्शाता है, बल्कि लोडिंग की स्थिति को भी दर्शाता है। अधिकांश संरचनात्मक सामग्रियों के लिए, लोच का गुण बाहरी ताकतों के मध्यम मूल्यों पर प्रकट होता है, जिससे छोटे विरूपण होते हैं, और कम लोडिंग दर पर, जब तापमान प्रभाव के कारण ऊर्जा हानि नगण्य होती है। एक सामग्री को रैखिक रूप से लोचदार कहा जाता है यदि तनाव टेंसर और तनाव टेंसर के घटक रैखिक संबंधों से संबंधित होते हैं।

लोडिंग के उच्च स्तर पर, जब शरीर में महत्वपूर्ण विकृतियाँ होती हैं, तो सामग्री आंशिक रूप से अपने लोचदार गुणों को खो देती है: जब उतार दिया जाता है, तो इसके मूल आयाम और आकार पूरी तरह से बहाल नहीं होते हैं, और जब बाहरी भार पूरी तरह से हटा दिए जाते हैं, तो अवशिष्ट विकृतियाँ दर्ज की जाती हैं। इस मामले में तनाव और तनाव के बीच संबंध स्पष्ट होना बंद हो जाता है। यह भौतिक संपत्ति कहलाती है प्लास्टिसिटीप्लास्टिक विरूपण के दौरान संचित अवशिष्ट विकृतियों को प्लास्टिक कहा जाता है।

उच्च भार स्तर का कारण बन सकता है विनाश, अर्थात् शरीर का भागों में विभाजन।विभिन्न सामग्रियों से बने ठोस विभिन्न मात्रा में विरूपण पर विफल होते हैं। छोटी-छोटी विकृतियों पर फ्रैक्चर भंगुर होता है और, एक नियम के रूप में, ध्यान देने योग्य प्लास्टिक विकृतियों के बिना होता है। इस तरह का विनाश कच्चा लोहा, मिश्र धातु इस्पात, कंक्रीट, कांच, चीनी मिट्टी की चीज़ें और कुछ अन्य संरचनात्मक सामग्रियों के लिए विशिष्ट है। निम्न-कार्बन स्टील्स, अलौह धातुओं और प्लास्टिक में महत्वपूर्ण अवशिष्ट विकृतियों की उपस्थिति में प्लास्टिक प्रकार की विफलता की विशेषता होती है। हालाँकि, उनके विनाश की प्रकृति के अनुसार सामग्रियों का भंगुर और तन्य में विभाजन बहुत मनमाना है; यह आमतौर पर कुछ मानक परिचालन स्थितियों को संदर्भित करता है। एक ही सामग्री परिस्थितियों (तापमान, भार की प्रकृति, विनिर्माण प्रौद्योगिकी, आदि) के आधार पर भंगुर या नमनीय के रूप में व्यवहार कर सकती है। उदाहरण के लिए, जो सामग्रियां सामान्य तापमान पर प्लास्टिक होती हैं, वे कम तापमान पर भंगुर हो जाती हैं। इसलिए, भंगुर और प्लास्टिक सामग्री के बारे में नहीं, बल्कि सामग्री की भंगुर या प्लास्टिक अवस्था के बारे में बात करना अधिक सही है।

मान लीजिए कि सामग्री रैखिक रूप से लोचदार और आइसोट्रोपिक है। आइए हम एक अक्षीय तनाव अवस्था (चित्र 1) की स्थितियों के तहत एक प्राथमिक आयतन पर विचार करें, ताकि तनाव टेंसर का रूप हो

ऐसे भार से अक्ष की दिशा में आयाम बढ़ जाते हैं ओह,रैखिक विरूपण की विशेषता, जो तनाव के परिमाण के समानुपाती होती है

चित्र .1।एकअक्षीय तनाव की स्थिति

यह संबंध एक गणितीय संकेतन है हुक का नियमएकअक्षीय तनाव अवस्था में तनाव और संबंधित रैखिक विरूपण के बीच आनुपातिक संबंध स्थापित करना। आनुपातिकता गुणांक ई को लोच का अनुदैर्ध्य मापांक या यंग मापांक कहा जाता है।इसमें तनाव का आयाम है.

क्रिया की दिशा में आकार में वृद्धि के साथ-साथ; एक ही तनाव के तहत, आकार में कमी दो ऑर्थोगोनल दिशाओं में होती है (चित्र 1)। हम संबंधित विकृतियों को और द्वारा निरूपित करते हैं , और ये विकृतियाँ सकारात्मक होते हुए भी नकारात्मक हैं और इनके समानुपाती हैं:

तीन ऑर्थोगोनल अक्षों के साथ तनाव की एक साथ कार्रवाई के साथ, जब कोई स्पर्शरेखा तनाव नहीं होता है, तो सुपरपोजिशन (समाधान का सुपरपोजिशन) का सिद्धांत एक रैखिक रूप से लोचदार सामग्री के लिए मान्य होता है:

सूत्रों को ध्यान में रखते हुए (1 4) हम प्राप्त करते हैं

स्पर्शरेखीय तनाव कोणीय विकृति का कारण बनते हैं, और छोटी विकृतियों पर वे रैखिक आयामों में परिवर्तन को प्रभावित नहीं करते हैं, और इसलिए रैखिक विकृति होती है। इसलिए, वे मनमाने ढंग से तनाव की स्थिति के मामले में भी मान्य हैं और तथाकथित व्यक्त करते हैं सामान्यीकृत हुक का नियम.

कोणीय विकृति स्पर्शरेखीय तनाव के कारण होती है, और विकृति और, क्रमशः, तनाव और के कारण होती है। एक रैखिक रूप से लोचदार आइसोट्रोपिक शरीर के लिए संबंधित स्पर्शरेखीय तनाव और कोणीय विकृतियों के बीच आनुपातिक संबंध होते हैं

जो कानून को व्यक्त करते हैं हुक की कतरनी.आनुपातिकता कारक G कहलाता है कतरनी मॉड्यूल.यह महत्वपूर्ण है कि सामान्य तनाव कोणीय विकृतियों को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि इस मामले में केवल खंडों के रैखिक आयाम बदलते हैं, न कि उनके बीच के कोण (चित्र 1)।

औसत तनाव (2.18), तनाव टेंसर के पहले अपरिवर्तनीय के आनुपातिक, और वॉल्यूमेट्रिक तनाव (2.32) के बीच एक रैखिक संबंध भी मौजूद है, जो तनाव टेंसर के पहले अपरिवर्तनीय के साथ मेल खाता है:

संगत आनुपातिकता कारक कोबुलाया लोच का आयतन मापांक.

सूत्र (1 7) में सामग्री की लोचदार विशेषताएं शामिल हैं इ, , जीऔर को,इसके लोचदार गुणों का निर्धारण। हालाँकि, ये विशेषताएँ स्वतंत्र नहीं हैं। एक आइसोट्रोपिक सामग्री के लिए, दो स्वतंत्र लोचदार विशेषताएं होती हैं, जिन्हें आमतौर पर लोचदार मापांक के रूप में चुना जाता है इऔर पॉइसन का अनुपात। कतरनी मापांक व्यक्त करने के लिए जीके माध्यम से इऔर , आइए हम स्पर्शरेखीय तनावों की क्रिया के तहत समतल कतरनी विरूपण पर विचार करें (चित्र 2)। गणना को सरल बनाने के लिए, हम एक भुजा वाले वर्गाकार तत्व का उपयोग करते हैं एक।आइए प्रमुख तनावों की गणना करें , . ये तनाव मूल क्षेत्रों के कोण पर स्थित क्षेत्रों पर कार्य करते हैं। चित्र से. 2 हम तनाव की दिशा में रैखिक विरूपण और कोणीय विरूपण के बीच संबंध पाएंगे . समचतुर्भुज का प्रमुख विकर्ण, विरूपण की विशेषता, के बराबर है

छोटी विकृतियों के लिए

इन संबंधों को ध्यान में रखते हुए

विरूपण से पहले, इस विकर्ण का आकार था . फिर हमारे पास होगा

सामान्यीकृत हुक के नियम (5) से हम प्राप्त करते हैं

शिफ्ट (6) के लिए हुक के नियम के संकेतन के साथ परिणामी सूत्र की तुलना करने से पता चलता है

परिणाम हमें मिलता है

इस अभिव्यक्ति की तुलना हुक के आयतन नियम (7) से करने पर हम परिणाम पर पहुंचते हैं

यांत्रिक विशेषताएं इ, , जीऔर कोविभिन्न प्रकार के भार के तहत परीक्षण नमूनों से प्रयोगात्मक डेटा को संसाधित करने के बाद पाए जाते हैं। भौतिक दृष्टि से ये सभी विशेषताएँ नकारात्मक नहीं हो सकतीं। इसके अलावा, अंतिम अभिव्यक्ति से यह पता चलता है कि एक आइसोट्रोपिक सामग्री के लिए पॉइसन का अनुपात 1/2 से अधिक नहीं है। इस प्रकार, हम एक आइसोट्रोपिक सामग्री के लोचदार स्थिरांक के लिए निम्नलिखित प्रतिबंध प्राप्त करते हैं:

सीमा मूल्य सीमा मूल्य की ओर ले जाता है , जो एक असंपीड्य पदार्थ (at) से मेल खाता है। निष्कर्ष में, लोच संबंध (5) से हम तनाव को विरूपण के रूप में व्यक्त करते हैं। आइए पहले संबंध (5) को फॉर्म में लिखें

समानता (9) का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होगा

और के लिए समान संबंध निकाले जा सकते हैं। परिणाम हमें मिलता है

यहां हम अपरूपण मापांक के लिए संबंध (8) का उपयोग करते हैं। इसके अलावा, पदनाम

लोचदार विरूपण की संभावित ऊर्जा

आइए पहले प्राथमिक आयतन पर विचार करें dV=dxdydzएकअक्षीय तनाव की स्थिति में (चित्र 1)। साइट को मानसिक रूप से ठीक करें एक्स=0(चित्र 3)। विपरीत सतह पर एक बल कार्य करता है . यह बल विस्थापन पर कार्य करता है . जब वोल्टेज शून्य स्तर से मान तक बढ़ जाता है हुक के नियम के कारण संबंधित विकृति भी शून्य से मान तक बढ़ जाती है , और कार्य चित्र में छायांकित आकृति के समानुपाती है। 4 वर्ग: . यदि हम गतिज ऊर्जा और थर्मल, विद्युत चुम्बकीय और अन्य घटनाओं से जुड़े नुकसान की उपेक्षा करते हैं, तो, ऊर्जा के संरक्षण के नियम के कारण, किया गया कार्य बदल जाएगा संभावित ऊर्जा,विरूपण के दौरान संचित: . मान Ф= डीयू/डीवीबुलाया विरूपण की विशिष्ट संभावित ऊर्जा,किसी पिंड के एक इकाई आयतन में संचित स्थितिज ऊर्जा का अर्थ होना। एकअक्षीय तनाव स्थिति के मामले में