8.2. Materiaalien lujuuden peruslait

Statiikan suhteet. Ne on kirjoitettu seuraavien tasapainoyhtälöiden muodossa.

Hooken laki ( 1678): mitä suurempi voima, sitä suurempi muodonmuutos, ja lisäksi se on suoraan verrannollinen voimaan. Fyysisesti tämä tarkoittaa, että kaikki kappaleet ovat jousia, mutta erittäin jäykkiä. Kun palkkia yksinkertaisesti venytetään pitkittäisvoimalla N= F tämä laki voidaan kirjoittaa näin:

Tässä
pituussuuntainen voima, l- säteen pituus, A- sen poikkileikkausala, E- ensimmäisen tyyppinen kimmokerroin ( Youngin moduuli).

Ottaen huomioon jännitysten ja venymien kaavat, Hooken laki kirjoitetaan seuraavasti:
.

Samanlainen suhde havaitaan kokeissa tangentiaalisten jännitysten ja leikkauskulman välillä:

.

G nimeltäänleikkausmoduuli , harvemmin – toisen tyyppinen kimmokerroin. Kuten kaikilla lailla, myös Hooken lailla on rajansa soveltamiselle. Jännite
, johon asti Hooken laki on voimassa, kutsutaan suhteellisuusraja(tämä on materiaalien lujuuden tärkein ominaisuus).

Kuvataanpa riippuvuutta  alkaen  graafisesti (kuva 8.1). Tämä kuva on ns venytyskaavio . Pisteen B jälkeen (eli klo
) tämä riippuvuus lakkaa olemasta lineaarinen.

klo
purkamisen jälkeen runkoon ilmestyy jäännösmuodonmuutoksia, joten nimeltään elastinen raja .

Kun jännite saavuttaa arvon σ = σ t, monet metallit alkavat osoittaa ominaisuutta ns. juoksevuus. Tämä tarkoittaa, että jopa jatkuvassa kuormituksessa materiaali jatkaa muotoaan (eli se käyttäytyy kuin neste). Graafisesti tämä tarkoittaa, että kaavio on samansuuntainen abskissan kanssa (osa DL). Kutsutaan jännitettä σ t, jolla materiaali virtaa myötöraja .

Jotkut materiaalit (St. 3 - rakennusteräs) alkavat lyhyen virtauksen jälkeen taas vastustaa. Materiaalin vastus jatkuu tiettyyn maksimiarvoon σpr asti, sitten alkaa asteittainen tuhoutuminen. Suuruutta σ pr kutsutaan Vetolujuus (synonyymi teräkselle: vetolujuus, betonille - kuutio- tai prismaattinen lujuus). Käytetään myös seuraavia nimityksiä:

=R b

Samanlainen suhde havaitaan kokeissa leikkausjännitysten ja leikkausten välillä.

3) Duhamel-Neumannin laki (lineaarinen lämpötilalaajeneminen):

Lämpötilaeron läsnä ollessa kappaleet muuttavat kokoaan ja suoraan suhteessa tähän lämpötilaeroon.

Olkoon lämpötilaero
. Sitten tämä laki näyttää tältä:

Tässä α - lineaarinen lämpölaajenemiskerroin, l - sauvan pituus, Δ l- sen pidentyminen.

4) Hiipumisen laki .

Tutkimukset ovat osoittaneet, että kaikki materiaalit ovat erittäin heterogeenisiä pienillä alueilla. Teräksen kaavamainen rakenne on esitetty kuvassa 8.2.

Joillakin komponenteilla on nesteen ominaisuuksia, joten monet kuormitetut materiaalit venyvät ajan myötä lisää
(Kuva 8.3.) (metallit korkeissa lämpötiloissa, betoni, puu, muovit - normaaleissa lämpötiloissa). Tätä ilmiötä kutsutaan hiipiä materiaalia.

Nesteitä koskeva laki on: mitä suurempi voima, sitä suurempi kehon liikenopeus nesteessä. Jos tämä suhde on lineaarinen (eli voima on verrannollinen nopeuteen), se voidaan kirjoittaa seuraavasti:

E
Jos siirrymme suhteellisiin voimiin ja suhteellisiin venymiin, saamme

Tässä indeksi" kr "tarkoittaa, että otetaan huomioon se osa venymästä, jonka materiaalin viruminen aiheuttaa. Mekaaniset ominaisuudet jota kutsutaan viskositeettikertoimeksi.

Energian säilymisen laki.

Harkitse kuormitettua palkkia

Esittelemme pisteen siirtämisen käsitettä, esim.

- pisteen B pystysuuntainen liike;

- pisteen C vaakasuora siirtymä.

Voimat
kun tekee töitä U. Ottaen huomioon, että voimat
alkavat kasvaa asteittain ja olettaen, että ne kasvavat suhteessa siirtymiin, saamme:

.

Luonnonsuojelulain mukaan: mikään työ ei katoa, se kuluu muuhun työhön tai muuttuu toiseksi energiaksi (energiaa- tätä työtä keho voi tehdä.).

Voimien työtä
, käytetään kehossamme syntyvien elastisten voimien vastuksen voittamiseksi. Tämän työn laskemiseksi otamme huomioon, että rungon voidaan katsoa koostuvan pienistä elastisista hiukkasista. Tarkastellaanpa yhtä niistä:

Se on alttiina viereisten hiukkasten aiheuttamille jännityksille . Tuloksena oleva stressi tulee olemaan

Vaikutuksen alaisena hiukkanen venyy. Määritelmän mukaan venymä on venymä pituusyksikköä kohti. Sitten:

Lasketaan työ dW, jonka voima tekee dN (tässä otetaan myös huomioon, että voimat dN alkavat kasvaa vähitellen ja ne kasvavat suhteessa liikkeisiin):

Koko keholle saamme:

.

Job W joka oli sitoutunut , nimeltään elastinen muodonmuutosenergia.

Energian säilymislain mukaan:

6)Periaate mahdollisia liikkeitä .

Tämä on yksi vaihtoehdoista kirjoittaa energian säilymislaki.

Anna voimien vaikuttaa palkkiin F 1 , F 2 , … . Ne saavat pisteitä liikkumaan kehossa
ja jännite
. Annetaan vartalo ylimääräisiä pieniä mahdollisia liikkeitä
. Mekaniikassa muodon merkintä
tarkoittaa ilmausta "määrän mahdollinen arvo A" Nämä mahdolliset liikkeet aiheuttavat kehon mahdollisia lisämuodonmuutoksia
. Ne johtavat ylimääräisten ulkoisten voimien ja jännitysten ilmaantumiseen
, δ.

Lasketaan ulkoisten voimien työ mahdollisilla lisäsiirtymillä:

Tässä
- lisäliikkeet kohdissa, joihin kohdistuu voimia F 1 , F 2 , …

Harkitse jälleen pientä elementtiä, jolla on poikkileikkaus dA ja pituus dz (katso kuva 8.5. ja 8.6.). Määritelmän mukaan lisävenymä  dz tämän elementin määrä lasketaan kaavalla:

dz=  dz.

Elementin vetovoima on:

dN = (+δ) dA ≈  dA..

Sisäisten voimien työ lisäsiirtymiin lasketaan pienelle elementille seuraavasti:

dW = dN  dz = dA dz =  dV

KANSSA
summaamalla kaikkien pienten elementtien muodonmuutosenergia saadaan kokonaismuodonmuutosenergia:

Energian säilymisen laki W = U antaa:

.

Tätä suhdetta kutsutaan mahdollisten liikkeiden periaate(tätä kutsutaan myös virtuaalisten liikkeiden periaate). Vastaavasti voidaan tarkastella tapausta, jossa myös tangentiaaliset jännitykset vaikuttavat. Sitten voimme saada sen muodonmuutosenergiaksi W lisätään seuraava termi:

Tässä  on leikkausjännitys,  on pienen elementin siirtymä. Sitten mahdollisten liikkeiden periaate tulee muodossa:

Toisin kuin aiemmassa muodossa kirjoitettaessa energian säilymislakia, tässä ei ole oletettu, että voimat alkavat kasvaa vähitellen ja ne kasvavat suhteessa siirtymiin

7) Poisson-vaikutus.

Tarkastellaan näytteen venymän mallia:

Ilmiötä, jossa runko-osa lyhenee venymissuunnassa, kutsutaan Poisson-vaikutus.

Etsitään pituussuuntainen suhteellinen muodonmuutos.

Poikittainen suhteellinen muodonmuutos on:

poissonin luku määrää kutsutaan:

Isotrooppisille materiaaleille (teräs, valurauta, betoni) Poissonin suhde

Tämä tarkoittaa, että poikittaissuunnassa muodonmuutos Vähemmän pituussuuntainen

Huomautus : nykyaikaisilla tekniikoilla voidaan luoda komposiittimateriaaleja, joiden Poissonin suhde on >1, eli poikittaismuodonmuutos on suurempi kuin pituussuuntainen. Tämä koskee esimerkiksi materiaalia, joka on vahvistettu jäykillä kuiduilla pienessä kulmassa
<<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине
, eli vähemmän , sitä suurempi on Poissonin suhde.

Kuva 8.8. Kuva 8.9

Vielä yllättävämpää on (Kuva 8.9.) esitetty materiaali, ja tällaisella raudoituksella on paradoksaalinen tulos - pitkittäinen venymä johtaa rungon koon kasvuun poikittaissuunnassa.

8) Yleistetty Hooken laki.

Tarkastellaan elementtiä, joka venyy pituus- ja poikittaissuunnassa. Etsitään muodonmuutos, joka tapahtuu näissä suunnissa.

Lasketaan muodonmuutos , jotka johtuvat toiminnasta :

Tarkastellaan toiminnan aiheuttamaa muodonmuutosta , joka syntyy Poisson-ilmiön seurauksena:

Kokonaismuodonmuutos on:

Jos voimassa ja , sitten lisätään toinen lyhennys x-akselin suuntaan
.

Siten:

Samoin:

Näitä suhteita kutsutaan yleistetty Hooken laki.

On mielenkiintoista, että Hooken lakia kirjoitettaessa oletetaan venymävenymien riippumattomuutta leikkausjännityksistä (riippumattomuudesta leikkausjännityksistä, mikä on sama asia) ja päinvastoin. Kokeet vahvistavat hyvin nämä oletukset. Tulevaisuudessa huomaamme, että lujuus päinvastoin riippuu voimakkaasti tangentiaalisten ja normaalien jännitysten yhdistelmästä.

Huomautus: Yllä olevat lait ja oletukset vahvistetaan lukuisilla suorilla ja epäsuorilla kokeilla, mutta kuten kaikilla muillakin laeilla, niillä on rajoitettu soveltamisala.

Kuten tiedät, fysiikka tutkii kaikkia luonnonlakeja: yksinkertaisimmista luonnontieteen yleisimpiin periaatteisiin. Jopa niillä alueilla, joilla näyttää siltä, ​​että fysiikka ei pysty ymmärtämään, sillä on silti ensisijainen rooli, ja jokainen pienin laki, jokainen periaate - mikään ei välty sitä.

Yhteydessä

Fysiikka on perustan perusta; se on kaikkien tieteiden alkuperä.

Fysiikka tutkii kaikkien kehojen vuorovaikutusta, sekä paradoksaalisen pieniä että uskomattoman suuria. Nykyaikainen fysiikka tutkii aktiivisesti paitsi pieniä, myös hypoteettisia kappaleita, ja tämäkin valaisee maailmankaikkeuden olemusta.

Fysiikka on jaettu osiin, tämä yksinkertaistaa paitsi itse tiedettä ja sen ymmärtämistä, myös tutkimusmetodologiaa. Mekaniikka käsittelee kappaleiden liikkeitä ja liikkuvien kappaleiden vuorovaikutusta, termodynamiikka lämpöprosesseja, elektrodynamiikka sähköprosesseja.

Miksi mekaniikan pitäisi tutkia muodonmuutoksia?

Kun puhutaan puristamisesta tai jännityksestä, sinun tulee kysyä itseltäsi kysymys: minkä fysiikan alan tulisi tutkia tätä prosessia? Voimakkailla vääristymillä lämpöä voi vapautua, ehkä termodynamiikan pitäisi käsitellä näitä prosesseja? Joskus kun nesteitä puristetaan, se alkaa kiehua, ja kun kaasut puristetaan, muodostuu nesteitä? Joten pitäisikö hydrodynamiikan ymmärtää muodonmuutos? Tai molekyylikineettistä teoriaa?

Se kaikki riippuu muodonmuutosvoimasta, sen asteesta. Jos muotoaan muuttava väliaine (materiaali, jota puristetaan tai venytetään) sallii ja puristus on pieni, on järkevää ajatella tätä prosessia kehon joidenkin pisteiden liikkeenä suhteessa muihin.

Ja koska kysymys liittyy puhtaasti, se tarkoittaa, että mekaniikka käsittelee sen.

Hooken laki ja sen täyttymisen ehto

Vuonna 1660 kuuluisa englantilainen tiedemies Robert Hooke löysi ilmiön, jota voidaan käyttää mekaanisesti kuvaamaan muodonmuutosprosessia.

Ymmärtääkseen, millä ehdoilla Hooken laki täyttyy, Rajoitamme itsemme kahteen parametriin:

• Keskiviikko;
• pakottaa.

On olemassa väliaineita (esim. kaasut, nesteet, erityisesti viskoosit nesteet, jotka ovat lähellä kiinteää olomuotoa tai päinvastoin hyvin juoksevia nesteitä), joiden prosessia on mahdotonta kuvata mekaanisesti. Toisaalta on ympäristöjä, joissa mekaniikka lakkaa "toimimasta" riittävän suurilla voimilla.

Tärkeä! Kysymykseen: "Millä ehdoilla Hooken laki pitää paikkansa?", voidaan antaa selvä vastaus: "Pienillä muodonmuutoksilla."

Hooken laki, määritelmä: Kappaleessa tapahtuva muodonmuutos on suoraan verrannollinen voimaan, joka aiheuttaa muodonmuutoksen.

Luonnollisesti tämä määritelmä tarkoittaa, että:

• puristus tai venytys on pieni;
• elastinen esine;
• se koostuu materiaalista, jossa ei esiinny puristuksen tai jännityksen aiheuttamia epälineaarisia prosesseja.

Hooken laki matemaattisessa muodossa

Hooken formulaatio, johon mainitsimme yllä, mahdollistaa sen kirjoittamisen seuraavassa muodossa:

missä on kehon pituuden muutos puristamisesta tai venyttämisestä, F on kehoon kohdistuva voima, joka aiheuttaa muodonmuutoksen (kimmovoima), k on kimmokerroin mitattuna N/m.

On syytä muistaa, että Hooken laki voimassa vain pienille osuuksille.

Huomaa myös, että se näyttää samalta venytettynä ja puristettuna. Kun otetaan huomioon, että voima on vektorisuure ja sillä on suunta, puristuksen tapauksessa seuraava kaava on tarkempi:

Mutta jälleen kerran, kaikki riippuu siitä, mihin akseli, johon mitataan, suunnataan.

Mikä on perustavanlaatuinen ero pakkaamisen ja laajentamisen välillä? Ei mitään, jos se on merkityksetöntä.

Soveltamisastetta voidaan pitää seuraavasti:

Kiinnitämme huomiota kaavioon. Kuten näemme, pienillä venytyksillä (koordinaattien ensimmäinen neljännes) voimalla koordinaatin kanssa on pitkään lineaarinen suhde (punainen viiva), mutta sitten todellinen suhde (pisteviiva) muuttuu epälineaariseksi ja laki lakkaa olemasta totta. Käytännössä tämä heijastuu niin voimakkaana venytyksenä, että jousi lakkaa palaamasta alkuperäiseen asentoonsa ja menettää ominaisuutensa. Vielä enemmän venyttämällä murtuma tapahtuu ja rakenne romahtaa materiaalia.

Pienillä puristuksilla (kolmas neljännes koordinaateista) voimalla koordinaatin kanssa on pitkään myös lineaarinen suhde (punainen viiva), mutta sitten todellinen suhde (pisteviiva) muuttuu epälineaariseksi ja kaikki lakkaa toimimasta. Käytännössä tämä johtaa niin vahvaan puristukseen, että lämpöä alkaa vapautua ja jousi menettää ominaisuutensa. Vielä suuremmalla puristuksella jousen kelat "tarttuvat yhteen" ja se alkaa muotoutua pystysuunnassa ja sitten sulaa kokonaan.

Kuten näet, lakia ilmaisevan kaavan avulla voit löytää voiman, tietäen kehon pituuden muutoksen, tai, tietäen kimmovoiman, mitata pituuden muutos:

Joissakin tapauksissa voit myös löytää elastisuuskertoimen. Ymmärtääksesi, kuinka tämä tehdään, harkitse esimerkkitehtävää:

Jousiin on kytketty dynamometri. Sitä venytettiin käyttämällä 20 voimaa, minkä ansiosta siitä tuli 1 metri pitkä. Sitten he vapauttivat hänet, odottivat kunnes värähtely loppui, ja hän palasi normaalitilaansa. Normaalissa kunnossa sen pituus oli 87,5 senttimetriä. Yritetään selvittää, mistä materiaalista jousi on valmistettu.

Etsitään jousen muodonmuutoksen numeerinen arvo:

Tästä voimme ilmaista kertoimen arvon:

Katsomalla taulukkoa voimme havaita, että tämä indikaattori vastaa jousiterästä.

Ongelma joustokertoimen kanssa

Fysiikka, kuten tiedämme, on erittäin tarkka tiede; lisäksi se on niin tarkka, että se on luonut kokonaisia ​​soveltavia tieteitä, jotka mittaavat virheitä. Hän on vankkumattoman tarkkuuden malli, eikä hänellä ole varaa olla kömpelö.

Käytäntö osoittaa, että tarkastelemamme lineaarinen riippuvuus ei ole muuta kuin Hooken laki ohuelle ja vetolujuukselle. Vain poikkeuksena sitä voidaan käyttää jousiin, mutta tämäkään ei ole toivottavaa.

Osoittautuu, että kerroin k on muuttuva arvo, joka ei riipu vain siitä, mistä materiaalista runko on valmistettu, vaan myös halkaisijasta ja sen lineaarisista mitoista.

Tästä syystä johtopäätöksemme vaativat selvennystä ja kehittämistä, koska muuten kaava:

voidaan kutsua vain riippuvuudeksi kolmen muuttujan välillä.

Youngin moduuli

Yritetään selvittää elastisuuskerroin. Tämä parametri, kuten huomasimme, riippuu kolmesta määrästä:

• materiaali (joka sopii meille melko hyvin);
• pituus L (joka osoittaa sen riippuvuuden);
• alue S.

Tärkeä! Siten, jos onnistumme jotenkin "erottamaan" pituuden L ja alueen S kertoimesta, niin saadaan kerroin, joka riippuu täysin materiaalista.

Mitä tiedämme:

• mitä suurempi rungon poikkileikkauspinta-ala, sitä suurempi kerroin k ja riippuvuus on lineaarinen;
• mitä suurempi kehon pituus, sitä pienempi kerroin k, ja riippuvuus on kääntäen verrannollinen.

Tämä tarkoittaa, että voimme kirjoittaa elastisuuskertoimen tällä tavalla:

jossa E on uusi kerroin, joka nyt riippuu tarkasti vain materiaalityypistä.

Otetaanpa käyttöön "suhteellisen venymän" käsite:

. 

Johtopäätös

Muotoilkaamme Hooken laki jännitykselle ja puristukselle: Pienillä puristuksilla normaali jännitys on suoraan verrannollinen venymään.

Kerrointa E kutsutaan Youngin moduuliksi ja se riippuu yksinomaan materiaalista.

Havainnot osoittavat, että useimpien elastisten kappaleiden, kuten teräksen, pronssin, puun jne., muodonmuutosten suuruus on verrannollinen vaikuttavien voimien suuruuteen. Tyypillinen esimerkki tämän ominaisuuden selittämisestä on jousitasaus, jossa jousen venymä on verrannollinen vaikuttavaan voimaan. Tämä näkyy siitä tosiasiasta, että tällaisten asteikkojen jakoasteikko on yhtenäinen. Elastisten kappaleiden yleisenä ominaisuutena voiman ja muodonmuutoksen välisen suhteellisuuslain muotoili ensimmäisen kerran R. Hooke vuonna 1660 ja julkaisi sen vuonna 1678 teoksessa "De potentia restitutiva". Tämän lain nykyaikaisessa muotoilussa ei oteta huomioon voimia ja niiden soveltamispisteiden liikkeitä, vaan jännitystä ja muodonmuutosta.

Siten puhtaalla jännityksellä oletetaan:

Tässä on minkä tahansa segmentin suhteellinen venymä venytyssuunnassa otettuna. Jos esimerkiksi kuvassa 2 näkyvät kylkiluut. 11 prismat ennen kuormitusta olivat a, b ja c, kuten piirustuksessa on esitetty, ja muodonmuutoksen jälkeen ne ovat vastaavasti, sitten .

Vakiota E, jolla on jännitysmitta, kutsutaan kimmomoduuliksi tai Youngin moduuliksi.

Elementtien jännitykseen yhdensuuntaisesti vaikuttavien jännitysten o kanssa liittyy kohtisuorien elementtien supistuminen, eli tangon poikittaismittojen pieneneminen (mitat piirustuksessa). Suhteellinen poikittaisvenymä

tulee olemaan negatiivinen arvo. Osoittautuu, että elastisen kappaleen pituus- ja poikittaismuodonmuutokset liittyvät vakiosuhteeseen:

Mittatonta suuruutta v, joka on vakio jokaiselle materiaalille, kutsutaan sivupuristussuhteeksi tai Poissonin suhteeksi. Poisson itse, myöhemmin vääriksi osoittautuneiden teoreettisten näkemysten perusteella, uskoi, että kaikkien materiaalien osalta (1829). Itse asiassa tämän kertoimen arvot ovat erilaisia. Kyllä, teräkselle

Korvaamalla lausekkeen viimeisessä kaavassa saamme:

Hooken laki ei ole tarkka laki. Teräkselle poikkeamat suhteellisuudesta ovat merkityksettömiä, kun taas valurauta tai kaiverrus eivät selvästikään noudata tätä lakia. Niille, ja se voidaan approksimoida lineaarisella funktiolla vain karkeimmassa approksimaatiossa.

Pitkään materiaalien lujuus koski vain materiaaleja, jotka noudattavat Hooken lakia, ja materiaalien lujuuskaavojen soveltaminen muihin kappaleisiin voitiin tehdä vain suurella varauksella. Tällä hetkellä epälineaarisia elastisuuslakeja aletaan tutkia ja soveltaa tiettyjen ongelmien ratkaisemiseen.

Hooken laki joita kutsutaan yleensä lineaarisiksi suhteiksi jännityskomponenttien ja jännityskomponenttien välillä.

Otetaan alkeellinen suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö, jonka pinnat ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakseleiden kanssa, kuormitettu normaalilla jännityksellä σ x, jakautuvat tasaisesti kahdelle vastakkaiselle pinnalle (kuva 1). Jossa σy = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.

Suhteellisuusrajaan asti suhteellinen venymä saadaan kaavasta

Missä E— vetokimmokerroin. Teräkselle E = 2*10 5 MPa, siksi muodonmuutokset ovat hyvin pieniä ja mitataan prosentteina tai 1 * 10 5 (muodonmuutoksia mittaavissa venymämittarilaitteissa).

Elementin laajentaminen akselin suunnassa X mukana sen kapeneminen poikittaissuunnassa muodonmuutoskomponenttien määräämänä

Missä μ - vakio, jota kutsutaan lateraalipuristussuhteeksi tai Poissonin suhteeksi. Teräkselle μ yleensä otetaan 0,25-0,3.

Jos kyseistä elementtiä kuormitetaan samanaikaisesti normaaleilla jännityksillä σx, σy, σ z, jakautuu tasaisesti sen pintoja pitkin, sitten muodonmuutoksia lisätään

Asettamalla kunkin kolmen jännityksen aiheuttamat muodonmuutoskomponentit päällekkäin saadaan suhteet

Nämä suhteet on vahvistettu lukuisilla kokeilla. Sovellettu peittomenetelmä tai superpositiot useiden voimien aiheuttamien kokonaisvenymien ja jännitysten löytäminen on perusteltua niin kauan kuin venymät ja jännitykset ovat pieniä ja lineaarisesti riippuvaisia ​​kohdistetuista voimista. Tällaisissa tapauksissa jätämme huomiotta pienet muutokset epämuodostuneen kappaleen mitoissa ja ulkoisten voimien vaikutuspisteiden pienet liikkeet ja perustamme laskelmamme rungon alkumittoihin ja alkuperäiseen muotoon.

On huomattava, että siirtymien pienuus ei välttämättä tarkoita, että voimien ja muodonmuutosten väliset suhteet ovat lineaarisia. Siis esimerkiksi puristetussa voimassa K sauva kuormitettu lisäksi leikkausvoimalla R, jopa pienellä taipumalla δ tulee lisäpiste M = Qδ, mikä tekee ongelmasta epälineaarisen. Tällaisissa tapauksissa kokonaispoikkeamat eivät ole voimien lineaarisia funktioita, eikä niitä voida saada yksinkertaisella superpositiolla.

Kokeellisesti on todettu, että jos leikkausjännitykset vaikuttavat elementin kaikilla pinnoilla, niin vastaavan kulman vääristymä riippuu vain vastaavista leikkausjännityksen komponenteista.

Jatkuva G kutsutaan leikkauskimmomoduuliksi tai leikkausmoduuliksi.

Yleinen tapaus elementin muodonmuutoksesta, joka johtuu kolmen normaalin ja kolmen tangentiaalisen jännityskomponentin vaikutuksesta siihen voidaan saada käyttämällä superpositiota: kolme relaatioilla (5.2b) määritettyä leikkausmuodonmuutosta on päällekkäin kolmella lausekkeilla määritetyllä lineaarisella muodonmuutoksella ( 5.2a). Yhtälöt (5.2a) ja (5.2b) määrittävät venymien ja jännitysten komponenttien välisen suhteen ja niitä ns. yleistetty Hooken laki. Osoitetaan nyt, että leikkausmoduuli G ilmaistaan ​​vetokimmomoduulina E ja Poissonin suhde μ . Harkitse tätä varten erityistapausta, jolloin σ x = σ , σy = -σ Ja σ z = 0.

Leikataan elementti pois abcd akselin suuntaiset tasot z ja kallistettu 45° kulmassa akseleihin nähden X Ja klo(Kuva 3). Kuten alkuaineen 0 tasapainoolosuhteista seuraa bс, normaali stressi σ v elementin kaikilla pinnoilla abcd ovat nolla, ja leikkausjännitykset ovat yhtä suuret

Tätä jännitystilaa kutsutaan puhdasta leikkausta. Yhtälöistä (5.2a) seuraa, että

eli vaakaelementin laajennus on 0 c yhtä suuri kuin pystyelementin lyhennys 0 b: εy = -ε x.

Kasvojen välinen kulma ab Ja eKr muutokset ja vastaava leikkausjännitysarvo γ löytyy kolmiosta 0 bс:

Seuraa, että

Ulkoisten voimien vaikutus kiinteään kappaleeseen johtaa jännitysten ja muodonmuutosten esiintymiseen sen tilavuuden kohdissa. Tässä tapauksessa pisteen jännitystila, tämän pisteen läpi kulkevien eri alueiden jännitysten välinen suhde määräytyy staattisen yhtälön avulla eivätkä ne riipu materiaalin fysikaalisista ominaisuuksista. Epämuodostunut tila, siirtymien ja muodonmuutosten välinen suhde määritetään geometristen tai kinemaattisten näkökohtien avulla, eivätkä ne myöskään riipu materiaalin ominaisuuksista. Jännitysten ja venymien välisen suhteen määrittämiseksi on tarpeen ottaa huomioon materiaalin todelliset ominaisuudet ja kuormitusolosuhteet. Jännitysten ja venymien välisiä suhteita kuvaavia matemaattisia malleja kehitetään kokeellisen tiedon perusteella. Näiden mallien tulee kuvastaa materiaalien todellisia ominaisuuksia ja kuormitusolosuhteita riittävällä tarkkuudella.

Rakennemateriaalien yleisimmät mallit ovat elastisuus ja plastisuus. Kimmoisuus on kappaleen ominaisuus muuttaa muotoa ja kokoa ulkoisten kuormien vaikutuksesta ja palauttaa alkuperäisen muodon, kun kuorma poistetaan. Matemaattisesti elastisuuden ominaisuus ilmaistaan ​​jännitystensorin ja venymätensorin komponenttien välisen yksi-yhteen toiminnallisen suhteen muodostamisessa. Elastisuusominaisuus ei heijasta vain materiaalien ominaisuuksia, vaan myös kuormitusolosuhteita. Useimmissa rakennemateriaaleissa elastisuusominaisuus ilmenee pieniin muodonmuutoksiin johtavien ulkoisten voimien kohtalaisilla arvoilla ja alhaisilla kuormitusnopeuksilla, kun lämpötilavaikutuksista johtuvat energiahäviöt ovat mitättömiä. Materiaalia kutsutaan lineaarisesti elastiseksi, jos jännitystensorin ja venymätensorin komponentit liittyvät toisiinsa lineaarisilla suhteilla.

Suurilla kuormitustasoilla, kun rungossa tapahtuu merkittäviä muodonmuutoksia, materiaali menettää osittain elastiset ominaisuutensa: kuormittamattomana sen alkuperäisiä mittoja ja muotoa ei palauteta täysin, ja kun ulkoiset kuormat poistetaan kokonaan, jäännösmuodonmuutokset kirjataan. Tässä tapauksessa jännitysten ja venymien välinen suhde lakkaa olemasta yksiselitteinen. Tätä materiaalista ominaisuutta kutsutaan plastisuus. Muovisen muodonmuutoksen aikana kertyneitä jäännösmuodonmuutoksia kutsutaan muoviksi.

Korkea kuormitus voi aiheuttaa tuho, eli ruumiin jakaminen osiin. Eri materiaaleista valmistetut kiinteät aineet epäonnistuvat erilaisilla muodonmuutosmäärillä. Murtuma on hauras pienissä muodonmuutoksissa ja tapahtuu pääsääntöisesti ilman havaittavia plastisia muodonmuutoksia. Tällainen tuhoutuminen on tyypillistä valuraudalle, seosteräksille, betonille, lasille, keramiikalle ja joillekin muille rakennemateriaaleille. Vähähiiliselle teräkselle, ei-rautametallille ja muoveille on ominaista muovityyppinen rikkoutuminen merkittävien jäännösmuodonmuutosten esiintyessä. Materiaalien jako hauraiksi ja sitkeiksi niiden tuhoutumisen luonteen mukaan on kuitenkin hyvin mielivaltaista, se viittaa yleensä joihinkin vakiokäyttöolosuhteisiin. Sama materiaali voi käyttäytyä olosuhteista (lämpötila, kuorman luonne, valmistustekniikka jne.) riippuen hauraana tai sitkeänä. Esimerkiksi materiaalit, jotka ovat muovia normaaleissa lämpötiloissa, hajoavat hauraiksi matalissa lämpötiloissa. Siksi on oikeampaa puhua ei hauraista ja muovimateriaaleista, vaan materiaalin hauraudesta tai muovista.

Olkoon materiaali lineaarisesti elastista ja isotrooppista. Tarkastellaan alkeistilavuutta yksiakselisen jännitystilan olosuhteissa (kuva 1), jotta jännitystensorilla on muoto

Tällaisella kuormalla mitat kasvavat akselin suunnassa Vai niin, ominaista lineaarinen muodonmuutos, joka on verrannollinen jännityksen suuruuteen

Kuva 1. Yksiakselinen jännitystila

Tämä relaatio on matemaattinen merkintä Hooken laki määritetään suhteellinen suhde jännityksen ja vastaavan lineaarisen muodonmuutoksen välille yksiakselisessa jännitystilassa. Suhteellisuuskerrointa E kutsutaan pitkittäiskimmomoduuliksi tai Youngin moduuliksi. Sillä on stressin ulottuvuus.

Yhdessä koon kasvun kanssa toiminnan suunnassa; Saman jännityksen alaisena koon pieneneminen tapahtuu kahdessa kohtisuorassa suunnassa (kuva 1). Merkitsemme vastaavat muodonmuutokset ja , ja nämä muodonmuutokset ovat negatiivisia, kun taas positiivisia ja ovat verrannollisia:

Kun jännitykset vaikuttavat samanaikaisesti kolmea ortogonaalista akselia pitkin, kun tangentiaalisia jännityksiä ei ole, superpositioperiaate (ratkaisujen superpositio) pätee lineaarisesti elastiselle materiaalille:

Ottaen huomioon kaavat (1 4) saadaan

Tangentiaaliset jännitykset aiheuttavat kulmamuodonmuutoksia, eivätkä pienillä muodonmuutoksilla vaikuta lineaaristen mittojen muutokseen ja siten lineaarisiin muodonmuutoksiin. Siksi ne pätevät myös mielivaltaisen jännitystilan tapauksessa ja ilmaisevat ns yleistetty Hooken laki.

Kulmamuodonmuutos aiheutuu tangentiaalisesta jännityksestä ja muodonmuutoksesta ja vastaavasti jännityksistä ja. Lineaarisesti elastisen isotrooppisen kappaleen vastaavien tangentiaalisten jännitysten ja kulmamuodonmuutosten välillä on suhteellisia suhteita

jotka ilmaisevat lakia Hooken leikkuri. Suhteellisuustekijää G kutsutaan leikkausmoduuli. On tärkeää, että normaalijännitys ei vaikuta kulmamuutoksiin, koska tällöin vain segmenttien lineaariset mitat muuttuvat, eivät niiden väliset kulmat (kuva 1).

Lineaarinen suhde on myös jännitystensorin ensimmäiseen invariantiin verrannollisen keskijännityksen (2.18) ja tilavuusvenymän (2.32) välillä, joka on yhtäpitävä jännitystensorin ensimmäisen invariantin kanssa:

Vastaava suhteellisuuskerroin TO nimeltään tilavuuskimmokerroin.

Kaavat (1 7) sisältävät materiaalin elastiset ominaisuudet E, , G Ja TO, määrittää sen elastiset ominaisuudet. Nämä ominaisuudet eivät kuitenkaan ole riippumattomia. Isotrooppisella materiaalilla on kaksi riippumatonta kimmo-ominaisuutta, jotka yleensä valitaan kimmomoduuliksi E ja Poissonin suhde. Ilmaista leikkausmoduuli G kautta E Ja , Tarkastellaan tasoleikkausmuodonmuutosta tangentiaalisten jännitysten vaikutuksesta (kuva 2). Laskelmien yksinkertaistamiseksi käytämme neliöelementtiä, jossa on sivu A. Lasketaan pääjännitykset , . Nämä jännitykset vaikuttavat alueisiin, jotka ovat kulmassa alkuperäisiin alueisiin nähden. Kuvasta 2 löydämme yhteyden jännityssuuntaisen lineaarisen muodonmuutoksen ja kulmamuodonmuutoksen välillä . Rombin iso diagonaali, joka kuvaa muodonmuutosta, on yhtä suuri kuin

Pienille muodonmuutoksille

Nämä suhteet huomioon ottaen

Ennen muodonmuutosta tällä diagonaalilla oli koko . Sitten meillä on

Yleistetystä Hooken laista (5) saamme

Tuloksena olevan kaavan vertailu Hooken lain merkintään siirtymälle (6) antaa

Tuloksena saamme

Vertaamalla tätä lauseketta Hooken volumetriseen lakiin (7), saamme tuloksen

Mekaaniset ominaisuudet E, , G Ja TO havaitaan, kun on käsitelty kokeellisia tietoja, jotka on saatu näytteistä erityyppisillä kuormituksilla. Fysikaalisesta näkökulmasta katsottuna kaikki nämä ominaisuudet eivät voi olla negatiivisia. Lisäksi viimeisestä lausekkeesta seuraa, että Poissonin suhde isotrooppiselle materiaalille ei ylitä 1/2. Siten saamme seuraavat rajoitukset isotrooppisen materiaalin elastisille vakioille:

Raja-arvo johtaa raja-arvoon , joka vastaa kokoonpuristumatonta materiaalia (at). Yhteenvetona voidaan todeta, että joustosuhteista (5) ilmaistamme jännityksen muodonmuutoksilla. Kirjoitetaan ensimmäinen suhteista (5) muotoon

Käyttämällä tasa-arvoa (9) saamme

Samanlaisia ​​suhteita voidaan johtaa ja . Tuloksena saamme

Tässä käytetään relaatiota (8) leikkausmoduulille. Lisäksi nimitys

Elastisen MUUTON MAHDOLLINEN ENERGIA

Tarkastellaanpa ensin alkeistilavuutta dV=dxdydz yksiakselisissa jännitysolosuhteissa (kuva 1). Korjaa sivusto henkisesti x=0(Kuva 3). Vastakkaiseen pintaan vaikuttaa voima . Tämä voima vaikuttaa siirtymiseen . Kun jännite nousee nollasta arvoon myös vastaava Hooken lain aiheuttama muodonmuutos kasvaa nollasta arvoon , ja työ on verrannollinen kuvan 1 varjostettuun kuvioon. 4 ruutua: . Jos jätämme huomiotta kineettisen energian ja lämpö-, sähkömagneettisiin ja muihin ilmiöihin liittyvät häviöt, niin energian säilymisen lain vuoksi suoritettu työ muuttuu Mahdollinen energia, muodonmuutoksen aikana kertynyt: . Arvo Ф= dU/dV nimeltään muodonmuutoksen erityinen potentiaalienergia, jolla tarkoitetaan kehon tilavuusyksikköön kertynyttä potentiaalienergiaa. Yksiaksiaalisen jännitystilan tapauksessa