Энергия упругой деформации формула. Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Потенциальной энергией может обладать не только система взаимодействующих тел, но и отдельно взятое упруго деформированное тело (например, сжатая пружина, растянутый стержень и т. п.). В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения отдельных частей тела (например, от расстояния между соседними витками пружины).

Согласно формуле (20.2) как для растяжения, так и длясжатия пружины на величину я необходимо затратить работу . Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Следовательно, зависимость потенциальной энергии пружины от удлинения х имеет вид

где - коэффициент жесткости пружины (см. § 14). Формула (25.4) написана в предположении, что потенциальная энергий недеформнированной пружины равна нулю. На рис. 25.1 показан график зависимости U от х.

При упругой продольной деформации стержня совершается работа, определяемая формулой (20.3). В соответствии с этим потенциальная энергия упруго деформированного стержня равна

Здесь Е - модуль Юнга, - относительное удлинение, - объем стержня;

Введем в рассмотрение плотность энергии упругой деформации и, которую определим как отношение энергии dU к тому объему в котором она заключена:

Поскольку стержень предполагается однородным и деформация, является равномерной, т. е. одинаковой в разных точках стержня, энергия (25.2) распределена в стержне также равномерно. Поэтому можно считать, что

Это выражение дает плотность энергии упругой деформации при растяжении (или сжатии) и в том случае, когда деформация неравномерна. В последнем случае для нахождения плотности энергия в «некоторой точке Стержня нужно подставлять в (25.4) значение в данной точке.

Учебная цель: добиться понимания физических понятийэнергии, работы, мощности и закона сохранения энергии. Привить навыки самостоятельного решения задач по данной теме.

Литература

Основная: Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989. – Гл. 3, § 3.1 – 3.4; гл. 5, § 5.2.

Дополнительная: Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1987. – Т. 1, гл. 3, § 19 – 24.

Контрольные вопросы для подготовки к занятию

1. Поясните физический смысл понятий энергии, работы, мощности. Их единицы измерения.

2. Какие виды механической энергии известны? Чем они определяются?

3. Запишите и объясните формулы кинетической энергии поступательного и вращательного движения тела.

4. Каковы способы определения работы?

5. Как определяется работа сил упругой деформации и потенциальная энергия упруго деформированного тела?

6. По какой формуле можно определить потенциальную энергию гравитационного взаимодействия двух материальных точек (шаров)? Поясните, почему она является отрицательной величиной?

7. Дайте определение консервативной и диссипативной систем тел. Приведите примеры.

8. Сформулируйте, поясните и запишите закон сохранения энергии в механике.

Краткие теоретические сведения и основные формулы

Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодействия всех видов материи.

Механическая энергия может быть обусловлена двумя причинами:

Движением тела с некоторой скоростью (кинетическая энергия);

Нахождением тела в потенциальном поле сил (потенциальная энергия).

Кинетическая энергия тела массой m , движущегося поступательно со скоростью

Кинетическая энергия вращающегося вокруг неподвижной оси тела

Потенциальная энергия тяготения двух материальных точек, массы которых и, находящихся на расстоянииr , при условии, что W  = 0, равна

где G = 6,67·10 -11 –гравитационная постоянная . Знак минус соответствует тому, что при r   потенциальная энергия двух взаимодействующих тел равна нулю; при сближении этих тел потенциальная энергия убывает.

Потенциальная энергия сил притяжения всегда является отрицательной. Область пространства, где действуют силы притяжения, называется потенциальной ямой.

Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h относительно тела отсчёта (например, Земли)

W n = m g h ,

где g = 9,81 – ускорение свободного падения.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

где -коэффициент упругости , определяемый отношением упругой силы к величинеупругой деформации.

Закон сохранения энергии в механике: полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, есть величина постоянная, т.е.

W k + W n = сonst.

Системы, в которых полная механическая энергия не сохраняется, называются диссипативными.

Мерой передачи движения, или мерой энергии, переданной от одного тела к другому, является работа .

На основании определения работы изменение полной механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех внешних и внутренних сил:

A = W 2 – W 1 Дж,

где W 2 и W 1 – полные энергии тел соответственно после и до взаимодействия.

Потенциальная энергия имеется у системы взаимодействующих тел. Но отдельное деформированное тело также обладает такого типа энергией. В таком случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения частей тела.

Энергия упругой деформации

Если груз, подвешенный на проволоке, растягивает подвес и опускается, значит, сила тяжести совершает работу. За счет такой работы увеличивается энергия деформированного тела, которое перешло из ненапряженного состояния в напряженное. Получается, что при деформации внутренняя энергия тела увеличивается. Рост внутренней энергии тела заключается в увеличении потенциальной энергии, которая связана со взаимным расположением молекул тела. Если мы имеем дело с упругой деформацией, то после снятия нагрузки, дополнительная энергия исчезает, и за ее счет силы упругости совершают работу. В ходе упругой деформации температура твердых тел существенно не увеличивается. В этом состоит их значительное отличие от газов, которые при сжатии нагреваются. При пластической деформации твердые тела могут значительно увеличивать свою температуру. В повышении температуры, следовательно, кинетической энергии молекул, отражается рост внутренней энергии тела при пластической деформации. При этом увеличение внутренней энергии происходит также за счет работы сил, вызывающих деформацию.

Для того чтобы растянуть или сжать пружину следует выполнить работу () равную:

где - величина характеризующая изменение длины пружины (удлинение пружины); - коэффициент упругости пружины. Данная работа идут на изменение потенциальной энергии пружины ():

При записи выражения (2) считаем, что потенциальная энергия пружины без деформации равна нулю.

Потенциальная энергия упруго деформированного стержня

Потенциальная энергия упруго деформированного стержня при его продольной деформации равна:

где - модуль Юнга; - относительное удлинение; - объем стержня. Для однородного стержня при равномерной его деформации плотность энергии упругой деформации можно найти как:

Если деформация стержня является неравномерной, то при использовании формулы (3) для поиска энергии в точке стержня в эту формулу подставляют значение для рассматриваемой точки.

Плотность энергии упругой деформации при сдвиге находят, используя выражение:

где - модуль сдвига; - относительный сдвиг.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

Деформированное упругое тело (например, растянутая или сжатая пружина) способно, возвращаясь в недеформированное состояние, совершить работу над соприкасающимися с ним телами. Следовательно, упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией. Она зависит от взаимного положения частей тела, например витков пружины. Работа, которую может совершить растянутая пружина, зависит от начального и конечного растяжений пружины. Найдем работу, которую может совершить растянутая пружина, возвращаясь к нерастянутому состоянию, т. е. найдем потенциальную энергию растянутой пружины.

Пусть растянутая пружина закреплена одним концом, а второй конец, перемещаясь, совершает работу. Нужно учитывать, что сила, с которой действует пружина, не остается постоянной, а изменяется пропорционально растяжению. Если первоначальное растяжение пружины, считая от нерастянутого состояния, равнялось , то первоначальное значение силы упругости составляло , где - коэффициент пропорциональности, который называют жесткостью пружины. По мере сокращения пружины эта сила линейно убывает от значения до нуля. Значит, среднее значение силы равно . Можно показать, что работа равна этому среднему, умноженному на перемещение точки приложения силы:

Таким образом, потенциальная энергия растянутой пружины

Такое же выражение получается для сжатой пружины.

В формуле (98.1) потенциальная энергия выражена через жесткость пружины и через ее растяжение . Заменив на , где - упругая сила, соответствующая растяжению (или сжатию) пружины , получим выражение

которое определяет потенциальную энергию пружины, растянутой (или сжатой) силой . Из этой формулы видно, что, растягивая с одной и той же силой разные пружины, мы сообщим им различный запас потенциальной энергии: чем жестче пружина, т.е. чем больше ее упругость, тем меньше потенциальная энергия; и наоборот: чем мягче пружина, тем больше энергия, которую она запасет при данной растягивающей, силе. Это можно уяснить себе наглядно, если учесть, что при одинаковых действующих силах растяжение мягкой пружины больше, чем жесткой, а потому больше и произведение силы на перемещение точки приложения силы, т. е. работа.

Эта закономерность имеет большое значение, например, при устройстве различных рессор и амортизаторов: при посадке на землю самолета амортизатор шасси, сжимаясь, должен произвести большую работу, гася вертикальную скорость самолета. В амортизаторе с малой жесткостью сжатие будет больше, зато возникающие силы упругости будут меньше и самолет будет лучше предохранен от повреждений. По той же причине при тугой накачке шин велосипеда дорожные толчки ощущаются резче, чем при слабой накачке.

Потенциальная энергия упругих деформаций является физической величиной, которая равна половине произведения квадрата деформации тела и его жесткости. Рассмотрим некоторые теоретические вопросы, связанные с данной величиной.

Особенности

Потенциальная энергия упругих деформаций зависит от расположения частей анализируемого тела. Например, выявлена связь между количеством витков пружин и энергией

Потенциальная энергия упругих деформаций определяется начальным и конечным положением пружины, то есть ее деформацией. Сначала вычисляют работу, совершаемую растянутой пружиной в момент возвращения в исходный вид. После этого рассчитывается потенциальная энергия упругой деформации пружины.

Вычисления

Она равна работе, совершаемой силой упругости при переходе упругого тела в состояние, при котором величина деформации равна нулю.

При растяжении с одинаковой силой различных пружин, им будет сообщаться разная величина потенциальной энергии. Выявлена обратно пропорциональная зависимость между жесткостью пружины и величиной потенциальной энергии. Чем более жесткой будет взятая пружина, тем меньшее значение будет принимать Ер.

Таким образом, потенциальная энергия при упругой деформации тел связана с коэффициентом упругости. Работа силы упругости представляет собой величину, которая совершается силой во время изменения величины деформации пружины от первоначального (исходного) значения Х1 до конченого положения Х2.

Разницу между этими значениями называют деформацией пружины. Потенциальная энергия упругих деформаций определяется именно с учетом данного показателя.

Коэффициент жесткости пружины зависит от качества материала, из которого изготавливают рабочее тело. Кроме того, на него влияют геометрические размеры и форма анализируемого объекта. Данную физическую величину обозначают буквой к, используют единицы измерения Н/м.

Выявлена зависимость силы упругости от расстояния между взаимодействующими участками рассматриваемого упругого тела.

Работа силы упругости не связана с формой траектории. В случае перемещения по замкнутому циклу, ее суммарное значение равно нулю. Именно поэтому силы упругости считают потенциальными, и вычисляют их с учетом коэффициента жесткости пружины, величиной деформации пружины.

Заключение

Независимо от внешнего вида, любая современная конструкция в определенной степени деформируется, то есть изменяет свои первоначальные размеры, при действии внешних нагрузок, приложенных к телу. Для того чтобы проверить устойчивость и жесткость такой конструкции, важно определять те перемещения, которые вызваны деформацией ее отдельных элементов. Важным моментом является и определение перемещений рассматриваемой системы. Подобные вычисления проводят при расчетах прочности зданий и сооружений. Проведение разнообразных расчетов, касающихся определения работы потенциальных сил, является обязательным этапом при создании чертежей будущих конструкций во всех сферах промышленности.